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k次元面心

最終更新：2008年07月13日 10:46

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n次元単体のk次元面心の定義

n次元単体の(k+1)個（k=0～n-1）の頂点で作られる全てのk次元平面との距離が等しい内部点をk次元面心と呼ぶ。n次元単体においてk次元面心から(k+2)個の頂点で作られる(k+1)次元単体面への垂線の足はその(k+1)次元単体の内心となる。逆に言えば、n次元単体の内部にある(k+1)次元単体面についてその内心を通る(n-k-1)次元直交補空間の ${}_{n+1} C_{k+2}$ 通り全てが一点で交わるとき、そこがk次元面心となる。

どんなn次元単体でもk次元面心が存在すれば唯一であり、(n-1)次元面心は内心として常に求まり、0次元面心は後述の外心として常に求まるが、k=1から k=n-2までの k次元面心が存在する n次元単体は限られる。例えば、n次元正単体の場合はk=0から k=n-1までの k次元面心が全て同じ点として唯一求まる。

n次元単体の(n-2)次元面心

n次元単体の1次元面心（辺心）

n次元単体の全ての辺に接するn次元超球を辺接球と呼び、その中心を辺心と仮に呼ぶ。
$\mathbf{b}_0 = \begin{pmatrix} \sqrt{\mathbf{l}_1^T \mathbf{l}_1} \\ \vdots \\ \sqrt{\mathbf{l}_n^T \mathbf{l}_n} \end{pmatrix}$ とすれば、 $\mathbf{l}_B = \frac{\mathbf{L} \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{b}_0}{\sqrt{\mathbf{b}_0^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{b}_0}} \sqrt{\mathbf{l}_B^T \mathbf{l}_B}$ と書ける。