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角心

最終更新：2008年07月08日 04:39

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n次元単体の角心

n次元単体の角心（等角中心・特に2次元ではフェルマー点と呼ばれる）への方向ベクトル $\mathbf{l}_F = \mathbf{L} \mathbf{a}_F$ を、分点心と同様に $\mathbf{l}_F^T \mathbf{l}_F = R_F$ 、および、 $(\mathbf{l}_F - \mathbf{l}_i)^T (\mathbf{l}_F - \mathbf{l}_i) = R_F t_i^2$ とおき、n次元単体の1辺を見込む角度 $\theta$ が等しく $\cos \theta = - \frac{1}{n}$ となる点を角心と呼ぶことにすれば、 $\mathbf{l}_F^T (\mathbf{l}_F - \mathbf{l}_i) = - R_F \frac{t_i}{n}$ 、および、 $(\mathbf{l}_F - \mathbf{l}_i)^T (\mathbf{l}_F - \mathbf{l}_j) = - R_F \frac{t_i t_j}{n} (i \neq j)$ が成り立つ。そのとき、 $\mathbf{a}_F = (\mathbf{L}^T \mathbf{L})^{-1} \begin{pmatrix} 1 + \frac{t_1}{n} \\ \vdots \\ 1 + \frac{t_n}{n} \end{pmatrix} R_F = (\mathbf{L}^T \mathbf{L})^{-1} \mathbf{t}'_f R_F$ となり、 $R_F = \frac{v^n}{\mathbf{t}'_f^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{t}'_f}$ であるので、 $\mathbf{l}_F = \mathbf{L} (\mathbf{L}^T \mathbf{L})^{-1} \mathbf{t}'_f R_F = \frac{\mathbf{L} \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{t}'_f}{\mathbf{t}'_f^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{t}'_f}$ と書ける。

このとき、 $t_i (i = 1 \sim n)$ は、 $\mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_j = \left{ \begin{matrix} R_F (t_i^2 + 2 \frac{t_i}{n} + 1) & (i = j) \\ R_F (- \frac{t_i t_j}{n} + \frac{t_i}{n} + \frac{t_j}{n} + 1) & (i \neq j) \end{matrix} \right.$ を満たす値となる。

$F_{ii} = \frac{\mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_i}{(n+1) R_F} - \frac{2}{n}$ ,　 $F_{jj} = \frac{\mathbf{l}_j^T \mathbf{l}_j}{(n+1) R_F} - \frac{2}{n}$ ,　 $F_{ij} = \frac{n \mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_j}{(n+1) R_F} - 1$ とすると、
$t_i = 1 + \frac{n}{2} \left( \frac{F_{ii} F_{jj} - F_{ij}^2}{F_{jj} - F_{ij}} \right)$ ,　 $t_j = 1 + \frac{n}{2} \left( \frac{F_{ii} F_{jj} - F_{ij}^2}{F_{ii} - F_{ij}} \right)$ となり、
$\left( \frac{F_{ii} F_{jj} - F_{ij}^2}{F_{jj} - F_{ij}} \right) \left( \frac{F_{ii} F_{jj} - F_{ij}^2}{F_{ii} - F_{ij}} \right) = - \frac{4 (n+1) F_{ij}}{n^2}$ を満たすので、

$n^2 \left( (R_F - \frac{n \mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_j}{n+1})^2 - (\frac{2}{n} R_F - \frac{\mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_i}{n+1}) (\frac{2}{n} R_F - \frac{\mathbf{l}_j^T \mathbf{l}_j}{n+1}) \right)^2 = 4 (n+1) \Biggl( R_F$
$(R_F - \frac{n \mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_j}{n+1}) \left( (R_F - \frac{n \mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_j}{n+1}) - (\frac{2}{n} R_F - \frac{\mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_i}{n+1}) \right) \left( (R_F - \frac{n \mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_j}{n+1}) - (\frac{2}{n} R_F - \frac{\mathbf{l}_j^T \mathbf{l}_j}{n+1}) \right) \Biggr)$
で表される $R_F$ についての4次方程式を解ければ、n次元単体の0点から角心への距離の自乗値 $R_F$ が求まる。ちなみに、n次元単体における隣り合う辺のなす角 $\theta$ の全てにおいて $\cos \theta \geq - \frac{1}{n}$ となるときに限り、角心が存在する。