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NEETUBOTの完全座標幾何学
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n次元単体の角心


n次元単体の角心（等角中心・特に2次元ではフェルマー点と呼ばれる）への方向ベクトル \mathbf{l}_F = \mathbf{L} \mathbf{a}_F を、分点心と同様に \mathbf{l}_F^T \mathbf{l}_F = R_F 、および、 (\mathbf{l}_F - \mathbf{l}_i)^T (\mathbf{l}_F - \mathbf{l}_i) = R_F t_i^2 とおき、n次元単体の1辺を見込む角度 \theta が等しく \cos \theta = - \frac{1}{n} となる点を角心と呼ぶことにすれば、 \mathbf{l}_F^T (\mathbf{l}_F - \mathbf{l}_i) = - R_F \frac{t_i}{n} 、および、 (\mathbf{l}_F - \mathbf{l}_i)^T (\mathbf{l}_F - \mathbf{l}_j) = - R_F \frac{t_i t_j}{n} (i \neq j) が成り立つ。そのとき、 \mathbf{a}_F = (\mathbf{L}^T \mathbf{L})^{-1} \begin{pmatrix} 1 + \frac{t_1}{n} \\ \vdots \\ 1 + \frac{t_n}{n} \end{pmatrix} R_F = (\mathbf{L}^T \mathbf{L})^{-1} \mathbf{t}'_f R_F となり、 R_F = \frac{v^n}{\mathbf{t}'_f^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{t}'_f} であるので、 \mathbf{l}_F = \mathbf{L} (\mathbf{L}^T \mathbf{L})^{-1} \mathbf{t}'_f R_F = \frac{\mathbf{L} \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{t}'_f}{\mathbf{t}'_f^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{t}'_f} と書ける。

このとき、 t_i (i = 1 \sim n) は、 \mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_j = \left{ \begin{matrix} R_F (t_i^2 + 2 \frac{t_i}{n} + 1) & (i = j) \\ R_F (- \frac{t_i t_j}{n} + \frac{t_i}{n} + \frac{t_j}{n} + 1) & (i \neq j) \end{matrix} \right. を満たす値となる。

F_{ii} = \frac{\mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_i}{(n+1) R_F} - \frac{2}{n} ,　 F_{jj} = \frac{\mathbf{l}_j^T \mathbf{l}_j}{(n+1) R_F} - \frac{2}{n} ,　 F_{ij} = \frac{n \mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_j}{(n+1) R_F} - 1 とすると、
t_i = 1 + \frac{n}{2} \left( \frac{F_{ii} F_{jj} - F_{ij}^2}{F_{jj} - F_{ij}} \right) ,　 t_j = 1 + \frac{n}{2} \left( \frac{F_{ii} F_{jj} - F_{ij}^2}{F_{ii} - F_{ij}} \right) となり、
\left( \frac{F_{ii} F_{jj} - F_{ij}^2}{F_{jj} - F_{ij}} \right) \left( \frac{F_{ii} F_{jj} - F_{ij}^2}{F_{ii} - F_{ij}} \right) = - \frac{4 (n+1) F_{ij}}{n^2} を満たすので、

n^2 \left( (R_F - \frac{n \mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_j}{n+1})^2 - (\frac{2}{n} R_F - \frac{\mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_i}{n+1}) (\frac{2}{n} R_F - \frac{\mathbf{l}_j^T \mathbf{l}_j}{n+1}) \right)^2 = 4 (n+1) \Biggl( R_F
(R_F - \frac{n \mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_j}{n+1}) \left( (R_F - \frac{n \mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_j}{n+1}) - (\frac{2}{n} R_F - \frac{\mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_i}{n+1}) \right) \left( (R_F - \frac{n \mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_j}{n+1}) - (\frac{2}{n} R_F - \frac{\mathbf{l}_j^T \mathbf{l}_j}{n+1}) \right) \Biggr)
で表される R_F についての4次方程式を解ければ、n次元単体の0点から角心への距離の自乗値 R_F が求まる。ちなみに、n次元単体における隣り合う辺のなす角 \theta の全てにおいて \cos \theta \geq - \frac{1}{n} となるときに限り、角心が存在する。

この角心は、n次元単体の(n+1)個ある各頂点からの距離の総和が最小になる点（シュタイナー点）として知られている。

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最終更新：2008年07月08日 04:39