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重心

最終更新：2008年09月08日 00:12

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n次元単体の重心の定義

n次元単体の各i点(i=0～n)からある点に向かうベクトルの全ての合成がちょうど
ゼロベクトルとなりつりあうようなそのある点をn次元単体の重心と定義する。

これより、n次元単体の0点からこの重心への方向ベクトルを $\mathbf{l}_G$ 、
原点からn次元単体の重心への位置ベクトルを $\mathbf{p}_G$ とすれば、
$\mathbf{l}_G + \sum_{i=1}^n (\mathbf{l}_G - \mathbf{l}_i) = \sum_{i=0}^n (\mathbf{p}_G - \mathbf{p}_i) = \overset{[m]}{\mathbb{0}}$ が成り立つ。

n次元単体の重心への方向ベクトル $\mathbf{l}_G$

定義より、n次元単体の重心への方向ベクトルは
$\mathbf{l}_G = \frac{\mathbf{L} \overset{[n]}{\mathbb{1}}}{n+1}$ と書ける。

n次元単体の重心への位置ベクトル $\mathbf{p}_G$

定義より、n次元単体の重心への位置ベクトルは
$\mathbf{p}_G = \frac{\mathbf{P} \overset{[n+1]}{\mathbb{1}}}{n+1} = \frac{\mathbf{P} \mathbb{1}}{\mathbb{1}^T \mathbb{1}}$ と書ける。

重均半径 $r_G$

また、(n+1)点 $\mathbf{p}_i (i = 0 \sim n)$ からのベクトルの長さの自乗和 $F_G$ が最小となる点を $\mathbf{p}_x$ とすれば、 $F_G = \sum_{i=0}^n (\mathbf{p}_x - \mathbf{p}_i)^T (\mathbf{p}_x - \mathbf{p}_i) = (n+1) \mathbf{p}_x^T \mathbf{p}_x - 2 (n+1) \mathbf{p}_x^T \mathbf{p}_G + (\sum_{i=0}^n \mathbf{p}_i^T \mathbf{p}_i)$ が極小値をとる条件 $\frac{\partial F_G}{\partial \mathbf{p}_x} = 2 (n+1) (\mathbf{p}_x - \mathbf{p}_G) = 0$ から、重心 $\mathbf{p}_x = \mathbf{p}_G$ においてこの自乗和は最小値 $\min[F_G] = \left( \sum_{i=0}^n \mathbf{p}_i^T \mathbf{p}_i \right) - (n+1) \mathbf{p}_G^T \mathbf{p}_G$ をとることがわかる。

よって、 $F_G$ の最小値をベクトルの数で割った値の平方根を重均半径 $r_G = \sqrt{\frac{\min[F_G]}{n+1}}$ とし、正方行列 $\mathbf{X}$ の対角成分の総和（トレースと呼ばれる）を $\tr[\mathbf{X}] = \mathbb{1}^T \mathbf{\Sigma}[\mathbf{X}] \mathbb{1}$ で表せば、
$r_G = \sqrt{\frac{\mathbb{1}^T \mathbf{\Sigma}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \mathbb{1}}{\mathbb{1}^T \mathbb{1}} - \frac{\mathbb{1}^T \mathbf{P}^T \mathbf{P} \mathbb{1}}{\mathbb{1}^T \mathbb{1} \mathbb{1}^T \mathbb{1}}}$ より、
$r_G = \sqrt{\frac{\overset{[n]}{\mathbb{1}}^T \mathbf{\Sigma}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \overset{[n]}{\mathbb{1}}}{n+1} - \frac{\overset{[n]}{\mathbb{1}}^T \mathbf{L}^T \mathbf{L} \overset{[n]}{\mathbb{1}}}{(n+1)^2}} = \frac{\sqrt{\mathbb{1}^T \tilde{\mathbf{B}} \mathbb{1}}}{\mathbb{1}^T \mathbb{1}}$ と書ける。