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外心

最終更新：2010年03月22日 00:30

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n次元単体の外心の定義

n次元単体の各i点(i=0～n)からの距離が全て等しくなる点を外心と呼ぶ。n次元単体の外心からある辺に下ろした垂線の足はその辺の中点となる。

n次元単体の0点から外心への方向ベクトル $\mathbb{l}_O$

n次元単体の外心の方向を $\mathbf{l}_O = \mathbf{L} \mathbf{a}_O$ とすると、 $\mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_O = \frac{\mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_i}{2}$ と書けることから、 $\mathbf{L}^T \mathbf{L} \mathbf{a}_O = \begin{pmatrix} \frac{\mathbf{l}_1^T \mathbf{l}_1}{2} \\ \vdots \\ \frac{\mathbf{l}_n^T \mathbf{l}_n}{2} \end{pmatrix} = \mathbf{b}_0$ とおけば、 $\mathbf{l}_O = \mathbf{L} \frac{\mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}]}{v^n} \mathbf{b}_0$ と書ける。

原点からn次元単体の外心への位置ベクトル $\mathbf{p}_O$

このとき、外心の位置は $\mathbf{p}_O = \mathbf{p}_0 + \mathbf{l}_O = \mathbf{p}_0 + \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \begin{pmatrix} 0 \\ \mathbf{b}_0 \end{pmatrix}$ となるので、
原点からn次元単体のあるn次元部分空間への垂線を $\left( \overset{[m \times m]}{\mathbf{E}} - \mathbf{W}[\mathbf{L}] \right) \mathbf{p}_0 = \mathbf{p}_y$ とおけば、 $\mathbf{p}_O = \left( \overset{[m \times m]}{\mathbf{E}} - \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \mathbf{P}^T \right) \mathbf{p}_0 + \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \begin{pmatrix} \frac{\mathbf{p}_0^T \mathbf{p}_0}{2} \\ \vdots \\ \frac{\mathbf{p}_n^T \mathbf{p}_n}{2} \end{pmatrix}$ となり、 $\begin{pmatrix} \frac{\mathbf{p}_0^T \mathbf{p}_0}{2} \\ \vdots \\ \frac{\mathbf{p}_n^T \mathbf{p}_n}{2} \end{pmatrix} = \tilde{\mathbf{b}}_\sigma$ とすれば、 $\mathbf{p}_O = \mathbf{p}_y + \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \tilde{\mathbf{b}}_\sigma = \frac{\mathbf{P} \left(\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}} + \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{b}}_\sigma\right)}{\tilde{\mathbb{1}}^T \mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}}}$ と書ける。

i対面の外心（i外垂足）

n次元単体の外心 $\mathbf{p}_O$ とi対面で作られる外心i分積 $\tilde{a}_{i O}$ は、絶対分積座標より $\tilde{\mathbf{a}}_O = \begin{pmatrix} \tilde{a}_{0 O} \\ \vdots \\ \tilde{a}_{n O} \end{pmatrix} = \frac{\left(\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}} + \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{b}}_\sigma\right)}{(n !) \sqrt{\tilde{\mathbb{1}}^T \mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}}}}$ となる。

また、外心からi対面への垂線は、 $\frac{\mathbf{h}_i \tilde{a}_{i O}}{v^n} = -\frac{\mathbf{P} \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{e}}_i \tilde{\mathbf{e}}_i^T \left(\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}} + \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{b}}_\sigma\right)}{(\tilde{\mathbf{e}}_i^T \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{e}}_i) (\tilde{\mathbb{1}}^T \mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}})}$ となることから、外心からi対面への垂足（i対面の外心）は $\mathbf{P} \left(\tilde{\mathbf{E}} - \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{e}}_i \tilde{\mathbf{e}}_i^T}{\tilde{\mathbf{e}}_i^T \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{e}}_i}\right) \frac{\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}} + \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{b}}_\sigma}{\tilde{\mathbb{1}}^T \mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}}}$ となる。

n次元単体の外接超球の半径 $r_O$

これより、n次元単体の外接超球の半径は $r_O = \sqrt{\mathbf{l}_O^T \mathbf{l}_O} = \sqrt{\mathbf{b}_0^T \frac{\mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}]}{v^n} \mathbf{b}_0}$ であり、 $r_O = \sqrt{(\mathbf{p}_O - \mathbf{p}_i)^T (\mathbf{p}_O - \mathbf{p}_i)} = \sqrt{\left(\tilde{\mathbf{b}}_\sigma - \mathbf{P}^T \mathbf{p}_i \right)^T \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \left(\tilde{\mathbf{b}}_\sigma - \mathbf{P}^T \mathbf{p}_i \right)}$ となる。

また、上記を $r_O = \sqrt{\frac{- \det\left[\begin{pmatrix} 0 & \mathbf{b}_0^T \\ \mathbf{b}_0 & \mathbf{L}^T \mathbf{L} \end{pmatrix}\right]}{v^n} }$ のように式変形することによって、辺乗行列 $\tilde{\mathbf{B}}$ によって $r_O = \sqrt{\frac{- \det[ - \tilde{\mathbf{B}} ]}{\overset{[n+1]}{\mathbf{1}}^T \mathbf{C}[ - \tilde{\mathbf{B}} ] \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}}}$ とも表せる。