単体導出/外心 - NEETUBOTの完全座標幾何学 | 超現代和算二大最重要概念Bipolar双極座標系Elliptic楕円座標系で射影幾何問題も一発よ Complete Coordinate System Geometry 唵ーん！

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n次元単体の外心の定義

n次元単体の各i点(i=0～n)からの距離が全て等しくなる点を外心と呼ぶ。n次元単体の外心からある辺に下ろした垂線の足はその辺の中点となる。

n次元単体の0点から外心への方向ベクトル $\mathbb{l}_O$

n次元単体の外心の方向を $\mathbf{l}_O = \mathbf{L} \mathbf{a}_O$ とすると、 $\mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_O = \frac{\mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_i}{2}$ と書けることから、 $\mathbf{L}^T \mathbf{L} \mathbf{a}_O = \begin{pmatrix} \frac{\mathbf{l}_1^T \mathbf{l}_1}{2} \\ \vdots \\ \frac{\mathbf{l}_n^T \mathbf{l}_n}{2} \end{pmatrix} = \mathbf{b}_0$ とおけば、 $\mathbf{l}_O = \mathbf{L} \frac{\mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}]}{v^n} \mathbf{b}_0$ と書ける。

原点からn次元単体の外心への位置ベクトル $\mathbf{p}_O$

このとき、外心の位置は $\mathbf{p}_O = \mathbf{p}_0 + \mathbf{l}_O = \mathbf{p}_0 + \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \begin{pmatrix} 0 \\ \mathbf{b}_0 \end{pmatrix}$ となるので、
原点からn次元単体のあるn次元部分空間への垂線を $\left( \overset{[m \times m]}{\mathbf{E}} - \mathbf{W}[\mathbf{L}] \right) \mathbf{p}_0 = \mathbf{p}_y$ とおけば、 $\mathbf{p}_O = \left( \overset{[m \times m]}{\mathbf{E}} - \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \mathbf{P}^T \right) \mathbf{p}_0 + \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \begin{pmatrix} \frac{\mathbf{p}_0^T \mathbf{p}_0}{2} \\ \vdots \\ \frac{\mathbf{p}_n^T \mathbf{p}_n}{2} \end{pmatrix}$ となり、 $\begin{pmatrix} \frac{\mathbf{p}_0^T \mathbf{p}_0}{2} \\ \vdots \\ \frac{\mathbf{p}_n^T \mathbf{p}_n}{2} \end{pmatrix} = \tilde{\mathbf{b}}_\sigma$ とすれば、 $\mathbf{p}_O = \mathbf{p}_y + \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \tilde{\mathbf{b}}_\sigma = \frac{\mathbf{P} \left(\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}} + \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{b}}_\sigma\right)}{\tilde{\mathbb{1}}^T \mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}}}$ と書ける。

i対面の外心（i外垂足）

n次元単体の外心 $\mathbf{p}_O$ とi対面で作られる外心i分積 $\tilde{a}_{i O}$ は、絶対分積座標より $\tilde{\mathbf{a}}_O = \begin{pmatrix} \tilde{a}_{0 O} \\ \vdots \\ \tilde{a}_{n O} \end{pmatrix} = \frac{\left(\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}} + \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{b}}_\sigma\right)}{(n !) \sqrt{\tilde{\mathbb{1}}^T \mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}}}}$ となる。

また、外心からi対面への垂線は、 $\frac{\mathbf{h}_i \tilde{a}_{i O}}{v^n} = -\frac{\mathbf{P} \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{e}}_i \tilde{\mathbf{e}}_i^T \left(\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}} + \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{b}}_\sigma\right)}{(\tilde{\mathbf{e}}_i^T \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{e}}_i) (\tilde{\mathbb{1}}^T \mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}})}$ となることから、外心からi対面への垂足（i対面の外心）は $\mathbf{P} \left(\tilde{\mathbf{E}} - \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{e}}_i \tilde{\mathbf{e}}_i^T}{\tilde{\mathbf{e}}_i^T \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{e}}_i}\right) \frac{\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}} + \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{b}}_\sigma}{\tilde{\mathbb{1}}^T \mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbb{1}}}$ となる。

n次元単体の外接超球の半径 $r_O$

これより、n次元単体の外接超球の半径は $r_O = \sqrt{\mathbf{l}_O^T \mathbf{l}_O} = \sqrt{\mathbf{b}_0^T \frac{\mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}]}{v^n} \mathbf{b}_0}$ であり、 $r_O = \sqrt{(\mathbf{p}_O - \mathbf{p}_i)^T (\mathbf{p}_O - \mathbf{p}_i)} = \sqrt{\left(\tilde{\mathbf{b}}_\sigma - \mathbf{P}^T \mathbf{p}_i \right)^T \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \left(\tilde{\mathbf{b}}_\sigma - \mathbf{P}^T \mathbf{p}_i \right)}$ となる。

また、上記を $r_O = \sqrt{\frac{- \det\left[\begin{pmatrix} 0 & \mathbf{b}_0^T \\ \mathbf{b}_0 & \mathbf{L}^T \mathbf{L} \end{pmatrix}\right]}{v^n} }$ のように式変形することによって、辺乗行列 $\tilde{\mathbf{B}}$ によって $r_O = \sqrt{\frac{- \det[ - \tilde{\mathbf{B}} ]}{\overset{[n+1]}{\mathbf{1}}^T \mathbf{C}[ - \tilde{\mathbf{B}} ] \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}}}$ とも表せる。