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NEETUBOTの完全座標幾何学
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n次元正単体について


n次元単体の全ての辺の長さが等しいとき正単体と呼び、そのとき、
\mathbf{L}^T \mathbf{L} = v_{ll} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \cdots & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \cdots & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} となり、(n+1)×(n+1)行列 \tilde{\mathbf{B}} = v_{ll} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \cdots & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \cdots & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} とすると、 \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{1} \tilde{\mathbf{b}}_\sigma^T + \tilde{\mathbf{b}}_\sigma \mathbf{1}^T - \tilde{\mathbf{B}} とも書ける。n次元単体が正単体となるときに限り重心・垂心・内心・外心が一致し、その一致する中心からn次元正単体の1辺を見込む角度 \theta は、どこも等しく \cos \theta = - \frac{1}{n} となる。

n次元正単体のk次元面接半径 r_{K_k} = \sqrt{\frac{n - k}{2(n+1)(k+1)}} b


n次元正単体の1辺の長さを b としたとき、垂線の長さは \sqrt{\frac{n+1}{2n}} b となることから、n次元正単体のk次元面接超球の半径 r_{K_k} は下記のように表せる。
nの値 0次元 1次元 2次元 3次元 (n-1)次元面接超球の半径
1 \frac{1}{2} b
2 \frac{\sqrt{3}}{3} b \frac{\sqrt{3}}{6} b
3 \frac{\sqrt{6}}{4} b \frac{\sqrt{2}}{4} b \frac{\sqrt{6}}{12} b
4 \frac{\sqrt{10}}{5} b \frac{\sqrt{15}}{10} b \frac{\sqrt{15}}{15} b \frac{\sqrt{10}}{20} b
n \sqrt{\frac{n}{2(n+1)}} b \cdots k次元のとき \sqrt{\frac{n - k}{2(n+1)(k+1)}} b \cdots \frac{1}{\sqrt{2n(n+1)}} b

面接半径不等式 \Biggl( k \leq k' において r_{K_k} \geq \left( \textstyle \frac{\sqrt{\frac{n - k}{k + 1}}}{\sqrt{\frac{n - k'}{k' + 1}}} \right) r_{K_{k'}} \Biggr)


任意のn次元単体は、外接超球が同じとなる正単体よりもつぶれた形となり、k次元面接超球はより小さくなる。
よって、 k \leq k' においてその次元の面接超球が存在する場合、 r_{K_k} \geq \left( \textstyle \frac{\sqrt{\frac{n - k}{k + 1}}}{\sqrt{\frac{n - k'}{k' + 1}}} \right) r_{K_{k'}} が成り立つ。
内接超球・外接超球は任意のn次元単体で存在するので、常に r_{K_0} = r_O \geq n r_{K_{n-1}} = n r_I が成り立つ。

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最終更新：2008年07月07日 06:15