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正単体

最終更新：2008年07月07日 06:15

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n次元正単体について

n次元単体の全ての辺の長さが等しいとき正単体と呼び、そのとき、
$\mathbf{L}^T \mathbf{L} = v_{ll} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \cdots & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \cdots & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$ となり、(n+1)×(n+1)行列 $\tilde{\mathbf{B}} = v_{ll} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \cdots & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \cdots & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$ とすると、 $\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{1} \tilde{\mathbf{b}}_\sigma^T + \tilde{\mathbf{b}}_\sigma \mathbf{1}^T - \tilde{\mathbf{B}}$ とも書ける。n次元単体が正単体となるときに限り重心・垂心・内心・外心が一致し、その一致する中心からn次元正単体の1辺を見込む角度 $\theta$ は、どこも等しく $\cos \theta = - \frac{1}{n}$ となる。

n次元正単体のk次元面接半径 $r_{K_k} = \sqrt{\frac{n - k}{2(n+1)(k+1)}} b$

n次元正単体の1辺の長さを $b$ としたとき、垂線の長さは $\sqrt{\frac{n+1}{2n}} b$ となることから、n次元正単体のk次元面接超球の半径 $r_{K_k}$ は下記のように表せる。

nの値	0次元	1次元	2次元	3次元	(n-1)次元面接超球の半径
1	$\frac{1}{2} b$
2	$\frac{\sqrt{3}}{3} b$	$\frac{\sqrt{3}}{6} b$
3	$\frac{\sqrt{6}}{4} b$	$\frac{\sqrt{2}}{4} b$	$\frac{\sqrt{6}}{12} b$
4	$\frac{\sqrt{10}}{5} b$	$\frac{\sqrt{15}}{10} b$	$\frac{\sqrt{15}}{15} b$	$\frac{\sqrt{10}}{20} b$
$n$	$\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}} b$	$\cdots$	k次元のとき $\sqrt{\frac{n - k}{2(n+1)(k+1)}} b$	$\cdots$	$\frac{1}{\sqrt{2n(n+1)}} b$

面接半径不等式 $\Biggl( k \leq k'$ において $r_{K_k} \geq \left( \textstyle \frac{\sqrt{\frac{n - k}{k + 1}}}{\sqrt{\frac{n - k'}{k' + 1}}} \right) r_{K_{k'}} \Biggr)$

任意のn次元単体は、外接超球が同じとなる正単体よりもつぶれた形となり、k次元面接超球はより小さくなる。
よって、 $k \leq k'$ においてその次元の面接超球が存在する場合、 $r_{K_k} \geq \left( \textstyle \frac{\sqrt{\frac{n - k}{k + 1}}}{\sqrt{\frac{n - k'}{k' + 1}}} \right) r_{K_{k'}}$ が成り立つ。
内接超球・外接超球は任意のn次元単体で存在するので、常に $r_{K_0} = r_O \geq n r_{K_{n-1}} = n r_I$ が成り立つ。