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2ch数学神の認定まとめ

２ちゃんねるの 2009-2010 ★年越し数学★ のスレで行われている2ch数学神の認定問題と認定解答のまとめ。

初代2ch数学神　　：　KingGold ◆3waIkAJWrg
第２代2ch数学神　：　猫 ◆ghclfYsc82
第３代2ch数学神　：　１３２人目の素数さん
ーーー終了ーーー

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初代2ch数学神認定問題

11 ：１３２人目の素数さん：2010/01/02(土) 03:19:57

   オイラーの神の存在証明
   　X=(a+b^n)/n について。
   
   a素数　b素数　nは三以上の整数とする。
   X=2010 となる　｛a,b,n} の組を見つけろ。
   
   最も美しい解を見つけた人は、今年の数学神であろう。

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初代2ch数学神認定解答

12 ：KingGold ◆3waIkAJWrg：2010/01/05(火) 17:05:26

   a=prime, b=prime, n=integer>2
   (a+b^n)/n=2010
   {a, b, n}={3833, 13, 3}
   {a, b, n}={1117, 17, 3}
   {a, b, n}={5639, 7, 4}
   以上はなかなか見つかりませんでした。
   perlで試したんだけど、スクリプト見たかったら言ってやーあけおめ

14 ：KingGold ◆3waIkAJWrg：2010/01/09(土) 21:13:06

   >>13 いい問題をありがとーちなみに2009は、
   a=prime, b=prime, n=integer>2
   (a+b^n)/n=2009
   {a, b, n}={7411, 5, 4}
   {a, b, n}={9511, 3, 8}
   {a, b, n}={17569, 2, 9}
   {a, b, n}={20051, 2, 11}
   でした。nが大きくなるとX*n - 2^n = a < 2となりそれ以上のnでは満たす値は無くなるので2010も上記で全部だと思います。
   いろいろやってみて、7の{a, b, n}={3, 2, 5}や10の{a, b, n}={3, 3, 3}などが美しかったけど、満たす値が全く無い数もありました。

perlスクリプト例

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第２代2ch数学神認定問題

18 ：KingGold ◆3waIkAJWrg：2010/01/10(日) 14:10:17

   >>15の>>11さんありがとうございます！
   ２ちゃんねる数学板には、>>16の猫先生を筆頭に様々な活動をしている方々がいらっしゃるので
   2ch数学神認定は誠に恐縮であります。そこでひとつ考えたのですが、数学神認定を受けたものは
   がんばれば解けそうな問題を一つ出題し、それを最初に解けた人に次の数学神を引き継ぐという
   システムをこのスレに実装しようと思います。。↓
   
   【第２代2ch数学神 認定問題】
   「n≧2とし、Σ_{i=0}^n a_i = 1 で 全てのi=0,1,…,nに対し 0≦a_i であるとき、
   　Π_{i=0}^n (a_i/(1-a_i)) がとりうる値の範囲を求めよ。」

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第２代2ch数学神認定解答

20 ：猫＠2ch数学神 ◆ghclfYsc82：2010/01/11(月) 13:18:36

   >>18 の解答例。
   　
   まず、(Π_{i=0}^n a_i)^(1/(n+1)) = xとおけば、仮定と相加相乗平均より、
   0 ≦ x = (Π_{i=0}^n a_i)^(1/(n+1)) ≦ (Σ_{i=0}^n a_i)/(n+1) = 1/(n+1)
   と書ける。
   　
   このとき、Π_{i=0}^n (a_i/(1-a_i)) = x^n/(Π_{i=0}^n (1-a_i))
   = x^(n+1) / (1 - (Σ a_i) + (Σ a_i a_j) - … + (-1)^(n+1) (Π_{i=0}^n a_i))
   （ここで、分母の各項に対して相加相乗平均を適用するとxの一変数関数で上限を表せる）
   ≦ x^(n+1) / (1 - (n+1) x + (n+1)C2 x^2 - (n+1)C3 x^3 + … +(-x)^(n+1))
   = (x/(1-x))^(n+1) = (1/((1/x)-1))^(n+1)（等号成立はa_0=…=a_n=1/(n+1)のとき）
   となり、0 ≦ x ≦ 1/(n+1)で単調増加な関数(1/((1/x)-1))^(n+1)は上記と同じ等号成立条件の
   x=1/(n+1)で最大値1/(n^(n+1))をとるため、Π_{i=0}^n (a_i/(1-a_i)) ≦ 1/(n^(n+1))が成り立つ。
   　
   また、0 ≦ a_j = 1 - Σ_{i(≠j)=0}^n a_i ≦ 1であり、例えばa_0が1に近づくときも
   lim_{a_0→1} Π_{i=0}^n (a_i/(1-a_i)) = lim_{a_0→1} (a_0/(a_1+…+a_n) Π_{i=1}^n (a_i/(1-a_i)))
   = lim_{a_i→0, a_0→1} 1/( Σ_{j=1}^n ( (1-a_j)/a_0 Π_{i(≠j)=1}^n ((1-a_i)/a_i) ) ) = 0
   であるため 0 ≦ Π_{i=0}^n (a_i/(1-a_i)) が成り立つ。
   　
   よって、「n≧2とし、Σ_{i=0}^n a_i = 1 で 全てのi=0,1,…,nに対し 0≦a_i であるとき、
   　0 ≦ Π_{i=0}^n (a_i/(1-a_i)) ≦ 1/(n^(n+1)) である。」と言える。
   　
   QED

ちなみに同様に、（ただし、）のときは、となる。（ただし、）のときは、調和平均より、である。

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第３代2ch数学神認定問題

254 ：１３２人目の素数さん：2010/11/13(土) 18:48:13
xy平面で，曲線 y=a/(x^n) 上（x>0）のある点(x', a/(x'^n))
でのこの曲線の接線とx軸とy軸に囲まれる三角形の面積を求めよ．
（サイデッカーの問題・Martin Heidegger's Problem）

268 ：１３２人目の素数さん：2010/11/14(日) 23:15:20
(x',a/(x'^n)) に引いた接線の傾きは -na/(x'^(n+1)) だから
接線:　Y = {a/(x'^n)}(n+1 -nX/x'),
x-切片は X = ((n+1)/n)x',
y-切片は Y = {a/(x'^n)}(n+1),
∴　S = (1/2)XY = (a/2n)(n+1)^2 /{x'^(n-1)},

尻穴関数つまり冪乗モデルy=K/(x^n)指数モデル
y=K/(e^x)上の点(x' (> 0) , y')について，

現代和算「サイデッカーの尻穴内接線分比術」
その点での接線のy軸切片から接点までの長さと
その接点からx軸切片までの長さの比は下記のようになる．
冪乗モデル： n : 1
指数モデル： x' : 1

現代和算「サイデッカーの尻穴内無限積分術」
尻穴関数をｘ座標のx'から∞まで積分すると下記の値になる．
冪乗モデル： x' y' / (n-1) (ただし，n＞1)
指数モデル： y'

現代和算「amoO_Oの尻穴座薬半径術」
中心(b, 0)で半径rの円がその点で尻穴関数に接するとき，
冪乗モデル： R=(√[b^2 + 4 r^2 n (n+1)] - b) / (2 n (n+1)), 
　K^2 / R = (b + n R)^(2n+1)
指数モデル： R=√[r^2 + 1/4] - 1/2,
　K^2 / R = e^{2(b + R)}

が成り立つ．

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懸賞算題

【初等代数】
　超体積と全ての辺の長さが共に正整数となるn≧3のn次元単体は存在するか考察せよ．

【初等解析】
　初等関数で表される曲線上の点に対する曲率円の中心の軌跡を考察せよ．

【初等幾何】
　アフィン独立な(n+1)点からの距離の一般化平均が極値をとるような点を考察せよ．

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