m次元空間におけるアポロニウスの円
結論から言えば、アポロニウスの円をm次元空間内で考えると、
(m-1)次元直交補空間を考えて、ぴったりm次元超球になるよと。
n次元単体の分点心
↑の計算式はところどころ整理してませんが、
位置ベクトルPを用いればうまく書けそうなので、
そのうち↓にまとめます。
これ以降の文章はおかしな情報なので、そのうち適所書き換えます。
虚分点心補超球
n次元単体の分点心への方向ベクトル
を、0点との自乗距離が
で表されるとき、各i点(i=1～n)との自乗距離が
となる点（n次元単体の各頂点との距離の比が決まった点）とする。
これより、
と書けるので、
![\mathbf{x}_T = \mathbf{L} \frac{\mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}]}{v^n} \begin{pmatrix} \frac{1 - t_1^2}{2} \\ \vdots \\ \frac{1 - t_n^2}{2} \end{pmatrix}](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,ffffff00&chco=000000ff&chs=25&chl=%5Cmathbf%7Bx%7D_T%20%3D%20%5Cmathbf%7BL%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathbf%7BC%7D%5B%5Cmathbf%7BL%7D%5ET%20%5Cmathbf%7BL%7D%5D%7D%7Bv%5En%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cfrac%7B1%20-%20t_1%5E2%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B1%20-%20t_n%5E2%7D%7B2%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D)
とおくと、
となる。このことから、
が言えるので、
とすると、上記を満たす解は
の2通りあることがわかる。
このn次元単体の外心に近い（0点にも近い）方の分点心を方向ベクトル
と表し内分点心と呼び、遠い方を外分点心
と呼ぶ。
また、
![x_T = - \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{t_1^2}{2} \\ \vdots \\ \frac{t_n^2}{2} \end{pmatrix} = - \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \tilde{\mathbf{t}'}](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,ffffff00&chco=000000ff&chs=25&chl=x_T%20%3D%20-%20%5Cmathbf%7BP%7D%20%5Cfrac%7B%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7BC%7D%7D%5B%5Cmathbf%7BP%7D%5ET%20%5Cmathbf%7BP%7D%5D%7D%7Bv%5En%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5Cfrac%7Bt_1%5E2%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20%5Cfrac%7Bt_n%5E2%7D%7B2%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3D%20-%20%5Cmathbf%7BP%7D%20%5Cfrac%7B%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7BC%7D%7D%5B%5Cmathbf%7BP%7D%5ET%20%5Cmathbf%7BP%7D%5D%7D%7Bv%5En%7D%20%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bt%7D%26amp%3B%23039%3B%7D)
,
![R_{T0} = \frac{\tilde{\mathbf{e}}_0^T \left(\mathbf{E} - \mathbf{P}^T \mathbf{P} \frac{\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n}\right) \tilde{\mathbf{t}'} + \tilde{\mathbf{b}}_\sigma^T \frac{\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \tilde{\mathbf{t}'}}{\mathbf{x}_T^T \mathbf{x}_T}](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,ffffff00&chco=000000ff&chs=25&chl=R_%7BT0%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Be%7D%7D_0%5ET%20%5Cleft%28%5Cmathbf%7BE%7D%20-%20%5Cmathbf%7BP%7D%5ET%20%5Cmathbf%7BP%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathbf%7BC%7D%5B%5Cmathbf%7BP%7D%5ET%20%5Cmathbf%7BP%7D%5D%7D%7Bv%5En%7D%5Cright%29%20%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bt%7D%26amp%3B%23039%3B%7D%20%2B%20%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bb%7D%7D_%5Csigma%5ET%20%5Cfrac%7B%5Cmathbf%7BC%7D%5B%5Cmathbf%7BP%7D%5ET%20%5Cmathbf%7BP%7D%5D%7D%7Bv%5En%7D%20%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bt%7D%26amp%3B%23039%3B%7D%7D%7B%5Cmathbf%7Bx%7D_T%5ET%20%5Cmathbf%7Bx%7D_T%7D)
,
![R_{TR} = \sqrt{R_{T0}^2 - \frac{\left(\tilde{\mathbf{b}}_\sigma - \mathbf{P}^T \mathbf{p}_0\right)^T \frac{\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \left(\tilde{\mathbf{b}}_\sigma - \mathbf{P}^T \mathbf{p}_0\right)}{\mathbf{x}_T^T \mathbf{x}_T}}](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,ffffff00&chco=000000ff&chs=25&chl=R_%7BTR%7D%20%3D%20%5Csqrt%7BR_%7BT0%7D%5E2%20-%20%5Cfrac%7B%5Cleft%28%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bb%7D%7D_%5Csigma%20-%20%5Cmathbf%7BP%7D%5ET%20%5Cmathbf%7Bp%7D_0%5Cright%29%5ET%20%5Cfrac%7B%5Cmathbf%7BC%7D%5B%5Cmathbf%7BP%7D%5ET%20%5Cmathbf%7BP%7D%5D%7D%7Bv%5En%7D%20%5Cleft%28%5Ctilde%7B%5Cmathbf%7Bb%7D%7D_%5Csigma%20-%20%5Cmathbf%7BP%7D%5ET%20%5Cmathbf%7Bp%7D_0%5Cright%29%7D%7B%5Cmathbf%7Bx%7D_T%5ET%20%5Cmathbf%7Bx%7D_T%7D%7D)
と表せることもふまえて、内分点心への位置ベクトルは
となり、外分点心は
とも表せる。
(m-n+1)次元分点心補超球
ちなみに、n次元単体があるn次元部分空間の(m-n)次元直交補空間へのベクトルを
として、m次元空間の全てで分点心の条件を満たす点
を求めると、
より、
という(m-n+1)次元超球上にあるということがわかる。このアポロニウスの円の拡張を、仮に分点心補超球と呼ぶ。
最終更新：2008年11月14日 23:44
