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分点心

最終更新：2008年11月14日 23:44

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m次元空間におけるアポロニウスの円

結論から言えば、アポロニウスの円をm次元空間内で考えると、
(m-1)次元直交補空間を考えて、ぴったりm次元超球になるよと。

n次元単体の分点心

↑の計算式はところどころ整理してませんが、
位置ベクトルPを用いればうまく書けそうなので、
そのうち↓にまとめます。

これ以降の文章はおかしな情報なので、そのうち適所書き換えます。

虚分点心補超球

n次元単体の分点心への方向ベクトル $\mathbf{l}_T = \mathbf{L} \mathbf{a}_T$ を、0点との自乗距離が $\mathbf{l}_T^T \mathbf{l}_T = R_T$ で表されるとき、各i点(i=1～n)との自乗距離が $(\mathbf{l}_T - \mathbf{l}_i)^T (\mathbf{l}_T - \mathbf{l}_i) = R_T t_i^2$ となる点（n次元単体の各頂点との距離の比が決まった点）とする。

これより、 $\begin{pmatrix} \mathbf{l}_1^T \\ \vdots \\ \mathbf{l}_n^T \end{pmatrix} \mathbf{l}_T = \mathbf{L}^T \mathbf{L} \mathbf{a}_T = \begin{pmatrix} \frac{\mathbf{l}_1^T \mathbf{l}_1}{2} \\ \vdots \\ \frac{\mathbf{l}_n^T \mathbf{l}_n}{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1 - t_1^2}{2} \\ \vdots \\ \frac{1 - t_n^2}{2} \end{pmatrix} R_T$ と書けるので、 $\mathbf{x}_T = \mathbf{L} \frac{\mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}]}{v^n} \begin{pmatrix} \frac{1 - t_1^2}{2} \\ \vdots \\ \frac{1 - t_n^2}{2} \end{pmatrix}$ とおくと、 $\mathbf{l}_T = \mathbf{l}_O + \mathbf{x}_T R_T$ となる。このことから、 $\mathbf{l}_T^T \mathbf{l}_T = \mathbf{l}_O^T \mathbf{l}_O + 2 \mathbf{l}_O^T \mathbf{x}_T R_T + \mathbf{x}_T^T \mathbf{x}_T R_T^2 = R_T$ が言えるので、 $R_{T0} = \frac{\frac{1}{2} - \mathbf{l}_O^T \mathbf{x}_T}{\mathbf{x}_T^T \mathbf{x}_T}, \mbox{ } R_{TR} = \sqrt{R_{T0}^2 - \frac{\mathbf{l}_O^T \mathbf{l}_O}{\mathbf{x}_T^T \mathbf{x}_T}}$ とすると、上記を満たす解は $R_T = \left{ \begin{matrix} R_{T-} = R_{T0} - R_{TR} \\ R_{T+} = R_{T0} + R_{TR} \end{matrix} \right.$ の2通りあることがわかる。

このn次元単体の外心に近い（0点にも近い）方の分点心を方向ベクトル $\mathbf{l}_{T-} = \mathbf{l}_O + \mathbf{x}_T R_{T-}$ と表し内分点心と呼び、遠い方を外分点心 $\mathbf{l}_{T+} = \mathbf{l}_O + \mathbf{x}_T R_{T+}$ と呼ぶ。
また、 $x_T = - \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{t_1^2}{2} \\ \vdots \\ \frac{t_n^2}{2} \end{pmatrix} = - \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \tilde{\mathbf{t}'}$ , $R_{T0} = \frac{\tilde{\mathbf{e}}_0^T \left(\mathbf{E} - \mathbf{P}^T \mathbf{P} \frac{\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n}\right) \tilde{\mathbf{t}'} + \tilde{\mathbf{b}}_\sigma^T \frac{\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \tilde{\mathbf{t}'}}{\mathbf{x}_T^T \mathbf{x}_T}$ , $R_{TR} = \sqrt{R_{T0}^2 - \frac{\left(\tilde{\mathbf{b}}_\sigma - \mathbf{P}^T \mathbf{p}_0\right)^T \frac{\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \left(\tilde{\mathbf{b}}_\sigma - \mathbf{P}^T \mathbf{p}_0\right)}{\mathbf{x}_T^T \mathbf{x}_T}}$ と表せることもふまえて、内分点心への位置ベクトルは $\mathbf{p}_{T-} = \mathbf{p}_O + \mathbf{x}_T R_{T-}$ となり、外分点心は $\mathbf{p}_{T+} = \mathbf{p}_O + \mathbf{x}_T R_{T+}$ とも表せる。

(m-n+1)次元分点心補超球

ちなみに、n次元単体があるn次元部分空間の(m-n)次元直交補空間へのベクトルを $\mathbf{y}_T$ として、m次元空間の全てで分点心の条件を満たす点 $\mathbf{l}_T = \mathbf{l}_O + \mathbf{x}_T R_T + \mathbf{y}_T$ を求めると、 $\mathbf{l}_T^T \mathbf{l}_T = (\mathbf{l}_O + \mathbf{x}_T R_T)^T (\mathbf{l}_O + \mathbf{x}_T R_T) + \mathbf{y}_T^T \mathbf{y}_T = R_T$ より、 $\mathbf{x}_T^T \mathbf{x}_T (R_T - R_{T0})^2 + \mathbf{y}_T^T \mathbf{y}_T = \mathbf{x}_T^T \mathbf{x}_T R_{TR}^2$ という(m-n+1)次元超球上にあるということがわかる。このアポロニウスの円の拡張を、仮に分点心補超球と呼ぶ。