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等内積行列

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neetubot

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等内積行列の性質



等内積行列の定義


（方向）等内積行列 

\mathbf{N} = {\small \begin{pmatrix} \nu_1 + \nu_0 & \nu_0 & \cdots & \nu_0 \\ \nu_0 & \nu_2 + \nu_0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \nu_0 \\ \nu_0 & \cdots & \nu_0 & \nu_n + \nu_0 \end{pmatrix}} = \mathbf{\Sigma}[\mathbf{\nu}]+\mathbb{1} \nu_0 \mathbb{1}^T

等内積行列の性質


等内積単体の方向行列の内積行列を \mathbf{V} = \mathbf{L}^T \mathbf{L} = \begin{pmatrix} v_1 + v_0 & v_0 & \cdots & v_0 \\ v_0 & v_2 + v_0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & v_0 \\ v_0 & \cdots & v_0 & v_n + v_0 \end{pmatrix} = \mathbf{\Sigma}[\mathbf{v}] + \overset{[n]}{\mathbf{1}} v_0 \overset{[n]}{\mathbf{1}}^T （ベクトル \mathbf{v} の要素を対角成分に持つ対角行列を \mathbf{\Sigma}[\mathbf{v}] で表す）とし方向等内積行列と呼ぶ。

方向等内積行列 \mathbf{V} は \tilde{\mathbf{v}} = \begin{pmatrix} v_0 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} とすれば、 \det[\mathbf{V}] = \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}^T \mathbf{C}\left[ \mathbf{\Sigma}[\tilde{\mathbf{v}}] \right] \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}, \mbox{ }
\mathbf{C}[\mathbf{V}] = \begin{pmatrix} \overset{[n]}{\mathbf{0}} \overset{[n \times n]}{\mathbf{E}} \end{pmatrix} \tilde{\mathbf{C}}\left[ \mathbf{\Sigma}[\tilde{\mathbf{v}}] \right] \begin{pmatrix} \overset{[n]}{\mathbf{0}} \overset{[n \times n]}{\mathbf{E}} \end{pmatrix}^T となる性質がある。
このことより、 \mathbf{V}^{-1} \overset{[n]}{\mathbf{1}} = \frac{\mathbf{C}[\mathbf{V}] \overset{[n]}{\mathbf{1}}}{\det[\mathbf{V}]} = \frac{\frac{1}{v_0}}{\sum_{j=0}^n \frac{1}{v_j}} \begin{pmatrix} \frac{1}{v_1} \\ \vdots \\ \frac{1}{v_n} \end{pmatrix} と書ける。 

\mathbf{N}^{-1}=([\mathbb{0}, \mathbf{E}]) \, \tilde{\mathbf{\Phi}}\left[ \mathbf{\Sigma}[\tilde{\mathbf{\nu}}] \right] \, ([\mathbb{0}, \mathbf{E}])^T

辺乗等内積行列の定義


辺乗等内積行列 

\tilde{\mathbf{N}}' = {\tiny \begin{pmatrix} 0 & \frac{\nu_0 +\nu_1}{2} & \cdots & \frac{\nu_0 +\nu_n}{2} \\ \frac{\nu_1 +\nu_0}{2} & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \frac{\nu_{(n-1)} +\nu_n}{2} \\ \frac{\nu_n + \nu_0}{2} & \cdots & \frac{\nu_n + \nu_{(n-1)}}{2} & 0 \end{pmatrix}} = \frac{\tilde{\mathbb{1}} \tilde{\mathbf{\nu}}^T + \tilde{\mathbf{\nu}} \tilde{\mathbb{1}}^T}{2} - \mathbf{\Sigma}[\tilde{\mathbf{\nu}}]

位置等内積行列の定義


位置等内積行列 

\tilde{\mathbf{N}} = \tilde{\mathbb{1}} \tilde{\mathbf{b}}_O^T + \tilde{\mathbf{b}}_O \tilde{\mathbb{1}}^T - \tilde{\mathbf{N}}' = \mathbf{\Sigma}[\tilde{\mathbf{\nu}}] + \tilde{\mathbb{1}} \left(\tilde{\mathbf{b}}_O - \frac{\tilde{\mathbf{\nu}}}{2}\right)^T + \left(\tilde{\mathbf{b}}_O - \frac{\tilde{\mathbf{\nu}}}{2}\right) \tilde{\mathbb{1}}^T

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