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分面心

最終更新：2008年11月25日 03:19

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n次元単体の分面心

n次元単体の各i対面への垂線の長さが特定の比になる点を分面心 $\mathbf{l}_K = \mathbf{L} \mathbf{a}_K$ と呼ぶ。分面心から0対面への垂線の長さを $r_K$ とし、前述の内心をふまえて、分面心からi対面への垂線の長さの自乗が $\mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i a_{iK}^2 = r_K^2 k_i^2$ となるとする。ここで、分面心からi対面への垂線の長さの比 $k_i (i=0 \sim n)$ を列記したベクトル $\mathbf{k} = \begin{pmatrix} k_0 \\ \vdots \\ k_n \end{pmatrix}$ を分面心座標と呼ぶ。

上記より、分面心への方向ベクトル $\mathbf{l}_K = \mathbf{L} \begin{pmatrix} [1] & \vdots \\ [i] & \frac{\frac{k_i}{\sqrt{\mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i}}}{\sum_{j=0}^n \frac{k_i}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}}} \\ [n] & \vdots \end{pmatrix}$ 、位置ベクトル $\mathbf{p}_K = \mathbf{P} \begin{pmatrix} [0] & \vdots \\ [i] & \frac{\frac{k_i}{\sqrt{\mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i}}}{\sum_{j=0}^n \frac{k_i}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}}} \\ [n] & \vdots \end{pmatrix}$ となる。