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シムソン超平面

最終更新：2008年06月27日 18:50

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(n-1)次元シムソン超平面

n次元単体の外接超球上の点（この点への方向ベクトルを $\mathbf{l}_x$ とする）からそのn次元単体の各i対面(i=0～n)への垂線の足への方向ベクトルを $\mathbf{l}_{x h_i}$ とする。2次元単体では3点あるこの垂足が同一直線（シムソン線と呼ばれる）上にあると言われており、n次元単体においても(n+1)点あるこの垂足が同一(n-1)次元超平面（これを仮にシムソン超平面と呼ぶ）上にあるのではないかと予想できる。

$\mathbf{l}_{x h_i} = \frac{\underset{(\mathbf{l}_i \leftarrow \mathbf{l}_x)}{\mathbf{L}} \mathbf{C}\left[ \underset{(\mathbf{l}_i \leftarrow \mathbf{l}_x)}{\mathbf{L}}^T \underset{(\mathbf{l}_i \leftarrow \mathbf{l}_x)}{\mathbf{L}} \right] \mathbf{e}_i}{\mathbf{e}_i^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{e}_i}$

$\mathbf{l}_{x h_0} = \frac{\mathbf{L} \mathbf{C}[(\mathbf{L} - \mathbf{l}_x \mathbf{1}^T)^T (\mathbf{L} - \mathbf{l}_x \mathbf{1}^T)] \mathbf{1}}{\mathbf{1}^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{1}}$

この(n+1)個の垂線の足が同一(n-1)次元超平面上にあるためには、 $\mathbf{l}_{x h_0} = \frac{\mathbf{L} \mathbf{C}[\mathbf{L}^T (\mathbf{L} - \mathbf{l}_x \mathbf{1}^T)] \mathbf{1}}{v_0^{n-1}} = \frac{\sum_{i=0}^n (\mathbf{l}_{x h_i} t_i)}{\sum_{i=0}^n t_i} = - \sum_{i=0}^n \frac{\underset{(\mathbf{l}_i \leftarrow \mathbf{l}_x)}{\mathbf{L}} \mathbf{C}\left[ \mathbf{L}^T \underset{(\mathbf{l}_i \leftarrow \mathbf{l}_x)}{\mathbf{L}} \right] \mathbf{t}'_x}{v_i^{n-1}}$ を満たす $\mathbf{t}'_x = \begin{pmatrix} \frac{t_1}{\sum t_i} \\ \vdots \\ \frac{t_n}{\sum t_i} \end{pmatrix}$ が存在しなければならない。