1 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/16(木) 15:28:58
全ての道は初等幾何に通ず
関連サイト・スレ等は>>2-10辺り
1 ：考える名無しさん：2006/08/29(火) 20:03:21 BE:1139854098-2BP(222)
近代における純粋数学の発展は、人間精神のもっとも独創的な産物といってよいだろう。（ホワイトヘッド）
数学者をまるめこむのは、円を正方形にするのよりむずかしい。（オーガスタス・ド・モルガン）
数は宇宙を支配する。（ピタゴラス学派）
数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である。（フリードリヒ・ガウス）
健全な哲学を創造するためには形而上学を打ち捨ててよき数学者にならなければならない。（ラッセル）
数学はたった一つのよい形而上学である。（ケルヴィン卿）
神はつねに幾何したまう。（プラトン）
無限！ これほど人間の精神を動かした問題はなかった。（ヒルベルト）
しかし数学が高い評価を受けるのにはもう一つ理由がある。
厳密な自然科学にある程度の確実性を与えるのが数学であり、数学なしにはそれは不可能なのである。（アインシュタイン）
宇宙の大建築家はいまや純粋数学者として姿を現しはじめている。（ジーンズ）
9 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/17(金) 01:32:04
●スカラー(scalar)：a,b,...,z, A,...,Z, α,β,...,ω, Α,Β,...,Ω,...（「ぎりしゃ」「あるふぁ～おめが」で変換）
●ベクトル(vector)：\x = [[x_1], [x_2], …] = [x_1, x_2, …]^T, （通常は列ベクトル(column vector)）
●行列(matrix)：\X = [\x_1, \x_2, …] = [[x_{1 1}, x_{1 2}, …], [x_{2 1}, x_{2 2}, …], …]
●多次元配列(tensor)：\\X=[…, [[…], […], …], [[…], […], …], …]
●転置行列・随伴行列：\X^T ・ \X^* ●行列式 ・ トレース：|[\X]|=det[\X] ・ tr[\X]
●複号：x±y（"±"は「きごう」で変換可）
●内積：<\x, \y> = \x^* \y (= \x^T \y) ●関数 ・ 数列 ： f[x] ・ a_n
●各成分全ての平方根：√[\X]（"√"は「るーと」で変換可） ●(n乗したら\X)=\X^(1/n)
●指数関数・対数関数：exp[x+y]=e^(x+y) ・ log[x]=log_{e}[x]（exp[x]はeのx乗）
●三角関数：sin[θ], cos[θ], tan[θ] ●逆三角関数：sin^{-1}[x], cos^{-1}[x], tan^{-1}[x]
●絶対値：|x| ●共役複素数：z^* ●切り捨て（ガウス記号）・切り上げ：floor[x]・ceil[x]
●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*... ●組合せ：{n}_C_{k}
適所エスパー
10 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/17(金) 01:44:21
●微分・偏微分：dy/dx ・ ∂y/∂x （"∂"は「きごう」で変換可）
●積分：∫_{x=0…1}[ f[x] ]dx = F[x]|_{0…1}, ∫_{D}[ f[x,y] ]dxdy
（"∫"は「いんてぐらる」，"∬"は「きごう」で変換可）
●数列和・数列積：sum_{k=1…n}[ a_k ] ・ prod_{k=1…n}[ a_k ]
●極限：lim_{x→∞}[ f[x] ] （"∞"は「むげんだい」で変換可）
●図形："△"は「さんかく」 "∠"は「かく」 "⊥"は「すいちょく」 "≡"は「ごうどう」 "∽"は「きごう」
●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨￢∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換
●等号・不等号："≠≒＜＞≦≧≪≫"は「きごう」で変換
適所エスパー
11 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2010/09/17(金) 01:53:50
枠は作った
だがコンテンツはない
でおｋ？
12 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/17(金) 08:03:28
枠は一日考えた。
ネタも一日考える。
初等幾何ならいくらでもあんよー
とりあえずコマ大の応用問題でどうよ
13+1 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2010/09/17(金) 11:06:49
数オリの幾何問題って本当に高校数学の知識で解けるの？無理じゃね？
14+1 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2010/09/17(金) 14:09:10
なんか変なの貼りすぎ
15 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/17(金) 18:27:34
13
そんなトコに補助線かよ！みたいな…
でも、座標入れて解析すれば全部いけるんじゃないか、
幾何学的に知らんがな
16 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/17(金) 18:40:14
14
趣味です
許せ兄弟
17+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/17(金) 23:00:01
一般の三角形のある頂点から対辺におろす線分のうち、
垂線・角の二等分線・中線の３つについて、
一般的に長さが小さくなる順に並べよー
18 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/18(土) 07:31:35
三角形ABCについて、辺が長い順に、線分BCの長さa
このとき、Heronの公式より、三角形ABCの面積の大きさは
v = √[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)] / 4 となる。
このことを用いれば、頂点Aから線分BCへの垂線の長さは
h_a = 2 v / a = √[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)] / (2 a)
また、頂点Aから線分BCへの角の二等分線の長さは
d_a = √[bc(a+b+c)(-a+b+c)] / (b + c)
また、頂点Aから線分BCへの中線の長さは
g_a = √[2 (b^2 + c^2) - a^2] / 2
アッー！
19+1 ： ◆27Tn7FHaVY [↓] ：2010/09/18(土) 16:13:40
アッー！
とか言われても名。
20+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/18(土) 21:54:38
三角形ABCの周または内部に点Pをとる。このとき、AP+BP+CPの長さが最小となるような点Pの位置
を求めよ。
名物ネタだがw
21+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/18(土) 22:56:14
19
このままの式では不等式で証明できないっ！アッー！
ここで、直線BC上にBA':A'C=α:(1-α)となるような点A'を考える。
点A'が頂点Aからの垂線の足である場合、
α=(a^2+b^2-c^2)/(2 a^2)、1-α=(a^2-b^2+c^2)/(2 a^2)
点A'が頂点Aからの角の二等分線の足である場合、
α=b/(b+c)、1-α=c/(b+c)
点A'が頂点Aからの中線の足である場合、
α=1/2、1-α=1/2
上記より、b≧cだけを用いても、
(a^2+b^2-c^2)/(2 a^2)≧b/(b+c)≧1/2（三角不等式b+c≧aから言える）、
同様にもしくは、(a^2-b^2+c^2)/(2 a^2)≦c/(b+c)≦1/2であること
もふまえて、線分AA'が√[b^2 (1-α) + c^2 α - a^2 α (1-α）]
= √[a^2 (α - (a^2+b^2-c^2)/(2 a^2))^2 + (2 v / a)^2] と書けることから、
h_a ≦ d_a ≦ g_a が成り立つと証明できる。
よって、b≧cの任意の三角形ABCで、
√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)] / (2 a) ≦
√[bc(a+b+c)(-a+b+c)] / (b + c) ≦ √[2 (b^2 + c^2) - a^2] / 2
が成り立つ。QED
22 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/19(日) 09:56:48
てｓｔ
23 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/19(日) 10:46:20
20
25+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/19(日) 11:30:28
三角形ABCの線分BC上に点A'をとり、
三角形BAA'と三角形CAA'の内接円の半径が
等しくなるようにした。（和算でいう三斜内隔斜二等円術）
この時、一般的に線分AA'の長さは、頂点Aから出る
角の二等分線の長さ以上で中線の長さ以下と言えるだろうか。
26+1 ： ◆27Tn7FHaVY [↓] ：2010/09/19(日) 11:34:01
21
直前見てなかったわ。スマンカッタ。
27 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/19(日) 11:48:16
26
いや、普通に相加相乗平均とかで証明できなかった能登、
アッー！って言いたかっただけだから…こっちこそゴメンな朋友
ここまですべて俺の責任
28+2 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/19(日) 17:11:52
三辺の長さがa,b,cである三角形ABCに
内接する最小の正三角形の一辺の長さを
求めよ。
30+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/20(月) 09:47:47
25
∠CA'Aの大きさをθで表すと、三角形ABCの
半径r_I=(2v)/(a+b+c)の内接円の足が線分BCを
(a+b-c)/(2a) : (a-b+c)/(2a)に分けることから、
隔斜二等円の半径をrとすれば、相似より
BA':A'C=(r/a) ( (a+b-c)/(2r_I) + tan(θ/2) ) : (r/a) ( 1/tan(θ/2) + (a-b+c)/(2r_I) )
が成り立ち、線分AA'の大きさについて
b - (a+b-c)r/(2r_I) + tan(θ/2) = c - (a-b+c)r/(2r_I) + 1/tan(θ/2)
も成り立つ。
(ﾟ∀ﾟ)ｷﾀｺﾚ!!
31+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/20(月) 11:09:44
30
線分AA'の大きさについて
b - (a+b-c)r/(2r_I) + r tan(θ/2) = c - (a-b+c)r/(2r_I) + r/tan(θ/2)
ですた。
これより、1/r - 1/r_I = 2/(a sinθ) = 2/((b-c) tanθ）
となることから、cosθ=(b-c)/a が出る。
この時、r = 1/( (a+b+c)/(2v) + 2/√[a^2-(b-c)^2] )
= (v / a) ( 1 - √[(-a + b + c) / (a + b + c)] ) が成り立つ。
（三斜内隔斜等円術 (1-(2r/h))^n = 1-(2r_I/h) の結果
（深川 英俊・ダン ソコロフスキー,日本の数学―
何題解けますか?〈下〉,p58,問題9.4.13）と一致）
(ﾟДﾟ)ｺﾞﾙｧ!!
32 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/20(月) 13:10:58
31
ちなみに、a'=-a+b+c, b'=a-b+c, c'=a+b-c（, a'+b'+c'=a+b+c）
とすると、r = √[a' b' c' (a'+b'+c')] (1-√[a' / (a'+b'+c')]) / (2(b'+c'))
であり、このとき tan[θ/2] = √[(a-b+c) / (a+b-c)] = √[b' / c']
であるので、BA' = √[(a'+b'+c') a' b' c'] (1-√[a' / (a'+b'+c')]) (√[(a'+b'+c') c' / a' b'] + √[b' / c']) / (2(b'+c'))
= (√[(a'+b'+c') a'] (b' - c') + (a'+b'+c') c' - a' b') / (2(b'+c'))
= (√[(b+c)^2 - a^2] (b - c) + a^2+ b^2 - c^2) / (2a) 、および、
A'C = √[(a'+b'+c') a' b' c'] (1-√[a' / (a'+b'+c')]) (√[c' / b'] + √[(a'+b'+c') b' / a' c']) / (2(b'+c'))
= (- √[(b+c)^2 - a^2] (b - c) + a^2 - b^2 + c^2) / (2a) が成り立つ。
このとき、線分AA'の大きさ d = 2 v / (a sinθ) = v (1/r - 1/r_I)
= v (2/√[a^2-(b-c)^2]) = √[(b+c)^2 - a^2] / 2 となる。
相加相乗平均より、√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)] / (2 a) ≦
√[(b+c)^2 - a^2] / 2 ≦ √[bc(a+b+c)(-a+b+c)] / (b + c)
が成り立つので、一般的に三斜内の二等円の隔斜は、
垂線の大きさ以上で、角の二等分線の大きさ以下である。QED
そっちかー図書いたときに大小の間違いに気付くべきだったorz
でもまあなんだ、隔斜をかませば、相加相乗平均に気付くじゃないか…
( ´ー｀)ネーヨ
33 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/20(月) 13:30:17
三斜内の二等円の隔斜って語弊あるなー
17
三角形のある頂点から対辺におろす線分について、
中線 ≧ 角の二等分線 ≧ 三斜内隔斜二等円術の隔斜 ≧ 垂線
が成り立つ。by ２ちゃんねる三角隔斜不等式
34+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/21(火) 00:05:05
28
三角形ABCの等力点は頂点A・B・Cからの
距離がそれぞれ R/a : R/b : R/c となる点
である。Rの値によって内部点である第一と
外部点である第二等力点が出る…出ない…
最初に解けた方に上記のオススメの本をプレゼント。。
36 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/21(火) 01:06:34
どうやら前スレは清宮俊雄スレといっても過言ではないな！
しかし矢野健太郎のToLOVEるとかいう本はあまり参考にならんな
37 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/21(火) 01:18:59
今週のコマ大
a+b+c+d+e=a*b*c*d*eを満たす正の整数の組
{a, b, c, d, e} = {1, 1, 2, 2, 2}？寝るわ
38 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/21(火) 01:39:20
{a, b, c, d, e} = {1, 1, 1, 3, 3}or{1, 1, 1, 2, 5}もあったか、年だなー
2項以外全部1のn項の場合とトロピカル代数の話をしていたな
39 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2010/09/21(火) 03:20:20
トロピカル幾何ってのは聞いたことあるけど（中身知らない）
トロピカル代数ってのもあるんだね
40 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/21(火) 08:35:14
実数体上でのユークリッド幾何のように、
トロピカル代数（min-plus代数もしくはmax-plus代数）
（体）上の幾何がトロピカル幾何とおもた。
俺もよく知らんがな(´・ω・`)
41 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/22(水) 00:28:00
寺坂英孝, 現代数学小辞典, 講談社ブルーバックス, 1977 より、
変分問題の具体例、等周問題(isopermetric problem)、
石ケン膜の問題(Plateau's problem)、Dirichlet問題など、
というのが目に止まった。
42 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/23(木) 06:04:57
34
深川英俊, Dan Sokolowsky, 日本の数学-何題解けますか？(上)
ねずみ算・油分け問題から微積分まで, 森北出版, 1994/05.
の例題5.3に三角形の最小外接正三角形
（それぞれ違う二辺に内接する三等円の最小内接正三角形）
として載ってた。
解法は、ある角度を媒介変数にして
三角関数の加法定理による合成を使っていた。
最小内接正三角形も同じ解法になると思う。
43+1 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/23(木) 06:16:08
おっさんはいい年してこの程度のことも知らんのか
中学で習ったわ
44 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/23(木) 09:35:28
43
中学で解いてたんですか、すごいですねー
モーリーの正三角形の一辺の長さについて、
元の三角形の三辺の長さ a,b,c を用いて導出した
文献が見つからないので、よかったらご教授お願い致します。
それぞれの角の三等分線（全部で六辺）に全て接する
楕円は一意に導出できる気がしますが、もしかして
それは円になりませんか？こちらもよろしかったらご教授願えると
大変ありがたいです。
45 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/23(木) 09:54:11
っていうか俺はまだおっさんと呼ばれたくない！
ちょっと前までモー娘。と同い年ぐらいの気はしてた。の気はしてた。
47 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/23(木) 11:08:11
初等幾何はエッセンシャル
それで、三角形ABCのそれぞれの角の二等分線から、
それぞれ±α,±β,±γするような六本の線でモーリーのを
通過するような適切な比にすれば，連続な正三角形列
が得られるんじゃないか！？ｷﾀ( ﾟ∀)━━━!!
49 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/23(木) 12:42:42
48
で、一般の三角形の
内心→三分角モーリー→最小内接正三角形
→三倍角モーリー→最小外接正三角形→
外心となりそうなんだけど、三角形の内心と
外心を結ぶ線って何て言いましたっけ？
この全ての正三角形の中心がその線分上を動くとかなら、まじかっけー
by ２ちゃんねる三角まじかっけー定理
50 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/23(木) 18:02:59
ある三角形の何らかの内部三角形の何らかの内部三角形の
って作ってく時に、周長や面積の総和は、けっこう等比級数
になって簡単に出るけど、いい応用問題ないかなぁー
53 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/25(土) 13:23:39
初等幾何
54 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/09/25(土) 15:12:56
初等幾何の範囲でっつーことすか？
隔斜二円術（垂線の長さhとすると(1-r_1/h) (1-r_2/h) = 1-r_I/h
だっけか）をふまえて、三角形の三頂点と内部点を結んで
三つの小三角形に分けたときに、それぞれの小三角形の内接円
の半径が同じになるようなその半径を求めよみたいな？
どこかに三斜内隔点三等円術とかでありそうだけど、
二等辺三角形の底辺の下の外部点とかでも同じように
隔点三等円できそうだな。なんぞこれ
61 ：名無算士 [] ：2010/10/01(金) 23:27:15
名無算流、名無算術！
62+2 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/10/01(金) 23:32:14
いきなり質問すいません。
明日の文化祭で
ベーグルを三種類各１６０円飲み物三種類各１００円
ベーグルは一日一種類２０個計６０個
飲み物は一日一種類２５個計７５個
よって二日でベーグル１２０個ジュース１５０個
を売る予定です。
この場合おつりは１０円玉５０円玉１００円玉５００円玉１０００円札５０００円札１００００円札。。。。。
それぞれどの位用意した方がいいですか
63 ：名無算士 [] ：2010/10/01(金) 23:36:16
孤立剣残月！なむさん！！
62
近くにコンビニを用意して、ベーグル星人をパシらせるがよいぞ
64 ：名無算士 [] ：2010/10/02(土) 00:20:36
62
二日目は一日目の様子から判断するとして、
一日だけで１個ずつちょっきり手に入る予定の硬貨は
十 ＝６０
五十＝６０
百 ＝６０＋７５
なわけよ。また、全部１個ずつ千円のおつりを払うとしたら
十 ＝２４０
五十＝０
百 ＝１８０＋３００
五百＝６０＋７５
ぐらいなわけよ。で、何個も買われるとか適当に計算すると、
十 ＝２００
五十＝４０
百 ＝２００
五百＝２０
を用意する感じかな。あとは有志の財布や隣のテナントとかと協力してくれ。
ときに、１万円対策で五千円２枚・千円１０枚隠し持つとして、
５４０００円分が両替分で１７１００円１日売上予定で２日目は調整
っつーことでどうよ？ 特定されたりして１マソ札でたくさん売れるといいな
65 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/10/02(土) 06:25:59
明日の文化祭で
ベーグルを三種類各１６０円飲み物三種類各１００円
ベーグルは一日一種類２０個計６０個
飲み物は一日一種類２５個計７５個
よって二日でベーグル１２０個ジュース１５０個
を売る予定です。
ベーグル1個とジュースで２６０円、５００円か１０００円が多いから、おつりは
２４０円と７４０円。
１２０個だから半々として１００x１２０x２+５００x６０+１０x１２０x４だけど
あとジュース３０個も売るから、５００円と１０００円の客は４０％として
１００x１２x４+５００x６ー１００x１８
とか
66 ：１３２人目の素数さん [] ：2010/10/02(土) 06:28:14
１２０個だから半々として１００x１２０x２+５００x６０+１０x１２０x４ー５００x６０か？
最終更新：2010年10月02日 14:43
