ファイナンス

ファイナンス
１、ＤＣＦモデル（割引配当モデル）

ＰＶ＝Ｄ(1)/(1+r)＋Ｄ(2)/(1+r)^2＋･･･Ｄ(t)/(1+r)^t
＝Σ{Ｄ(t)/(1+r)^t}

●Ｄが一定の時、
＝Ｄ*{(1+r)^t-1}/{(1+r)^t*r}

●tを無限大においたときに
ＰＶ＝Ｄ/r

●証券の理論価格
Ｐ(0)＝Ｐ(1)/(1+r)+Ｄ(1)/(1+r)
　　 ＝Ｐ(1)/(1+r)+Ｄ(1)/(1+r)

（Ｐ(1)＝Ｐ(2)/(1+r)+Ｄ(2)/(1+r)より）

　　 ＝{Ｐ(2)/(1+r)+Ｄ(2)/(1+r)}/(1+r)+Ｄ(1)/(1+r)　
　　 ＝{Ｐ(2)/+Ｄ(2)/}(1+r)^2+Ｄ(1)/(1+r)　
　　 ＝Ｐ(2)/(1+r)^2+Ｄ(2)/(1+r)^2+Ｄ(1)/(1+r)

(これをｔ回まで繰り返すと)
Ｐ(0)＝Ｅ(0){Ｐ(t)}/(1+r)^t +ΣＤ(t)*(1+r)^(-t)

●tを無限大のときにＥ(0){Ｐ(t)}/(1+r)^tが収束すると仮定して、
Ｐ(0)＝ΣＤ(t)*(1+r)^(-t)

●合理的バブル
b(0)=E(0){b(t)}/(1+r)^t

１、統計学
ファイナンスを理解するためには統計学が必要になってきます。
各自自学することが望ましいですが、一応統計学について触れます。

１－１　平均、分散、相関係数

Σc=cΣ1=nc cは定数

1,E(X)=Σ(X)/n ⇒ Σ(X)=nE(X)･･･①

2,Σ{X-E(X)}=0･･･②
導出方法
Σ{X-E(X)}
=ΣX-nE(X)
①より
=nEX-nEX
=0

3,Σ{X-E(X)}^2=Σ(X^2)-nE(X)^2 (=Σ(X^2)-Σ(X)^2/n)･･･③
導出方法
Σ{X-E(X)}^2
=Σ{X^2-2E(X)X+E(X)^2}
=Σ(X^2)-2E(X)Σ(X)+nE(X)^2
(E(X)は定数より、Σ{E(X)}^2=nE(X)^2)
=Σ(X^2)-2nE(X)^2+nE(X)^2
(①より)
=Σ(X^2)-nE(X)^2

分散
σx^2=Σ[{X-E(X)}^2]/n=Σ(X^2)-nE(X)^2/n

4,Σ{X-E(X)}{Y-E(Y)}=Σ(XY)-nE(X)E(Y)
導出方法
Σ{X-E(X)}{Y-E(Y)}
=Σ(XY)-E(Y)Σ(X)-E(X)Σ(Y)+nE(X)E(Y)
以下③と同じ

共分散
σxy=Σ{X-E(X)}{Y-E(Y)}/n={Σ(XY)-nE(X)E(Y)}/n

相関係数
ρxy
=σxy/(σxσy)
=[Σ{X-E(X)}{Y-E(Y)}/n]/[Σ[{X-E(X)}^2]*[Σ[{Y-E(Y)}^2]/n]]^(1/2)
={Σ(XY)-Σ(X)Σ(Y)/n}/[{Σ(X^2)-Σ(X)^2}*{Σ(Y^2)-Σ(Y)^2}/n^2]^(1/2)
={nΣ(XY)-Σ(X)Σ(Y)}/[{Σ(X^2)-Σ(X)^2}*{Σ(Y^2)-Σ(Y)^2}/]^(1/2)

１－２、標準化

標本分散
s^2=Σ{(X-E(X))^2}/(n-1)

Z=(X-E(X))/s

Σ(Z) ・・・①
=Σ(X-E(X))/s
=s*Σ(X-E(X))
=0

E(Z)=0　　・・・②
証明
=Σ(Z)/n
①より
=0

{Σ(Z^2)-nE(Z)}/n-1=1 (Zの分散は1)
証明
S
=Σ(Z-E(Z))^2/n-1
={Σ(Z^2)-nE(Z)}/n-1
②より
=Σ(Z^2)/n-1

Σ(Z^2)
=Σ{(X-E(X))/s}^2
=(1/s)^2*Σ{(X-E(X)}^2
=Σ{(X-E(X)}^2/{Σ(X-E(X))^2-(n-1)}
=(n-1)

よって
Σ(Z^2)/n-1
=1