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「論理学をつくる」

真理表

英語	and	or	xor	if	iff	nand	nor
日本語	かつ	または	または	もし
Ａ　Ｂ	Ａ∧Ｂ	Ａ∨Ｂ	Ａ∨Ｂ	Ａ→Ｂ	Ａ⇔Ｂ	Ａ｜Ｂ	Ａ↓Ｂ
１　１	１	１	０	１	１	０	０
１　０	０	１	１	０	０	１	０
０　１	０	１	１	１	０	１	０
０　０	０	０	０	１	１	１	１

論理式の分類

• 恒真式――原子式の真理値に関係なく常に１である式。トートロジーともいう。
• 事実式――原子式の真理値によって１にも０にもなりうる式。
• 矛盾式――原子式の真理値に関係なく常に０である式。

反例

反例とは、挙げられた論証の前提すべてが真であるものの、結論だけは偽となるような場合をいう。

有用な推論規則

肯定式

前提１：Ａ→Ｂ
前提２：Ａ
結論　：Ｂ

例)
Ａ：時速150kmの球を投げる。
Ｂ：打たれない。

時速150kmの球を投げたなら、打たれない（Ａ→Ｂ）。時速150kmの球を投げる（Ｂ）ので、結論として打たれない（Ｂ）。

否定式

前提１：Ａ→Ｂ
前提２：￢Ｂ
結論　：￢Ａ

例）
Ａ：雨が降る。
Ｂ：木が枯れない。

雨が降れば木は枯れない（Ａ→Ｂ）。木が枯れている（￢Ｂ）ので、雨が降らなかった（￢Ａ）。

選言的三段論法

前提１：Ａ∨Ｂ
前提２：￢Ａ
結論　：Ｂ

例）
Ａ：彼が死ぬ。
Ｂ：俺が死ぬ。

彼が死ぬか俺が死ぬ（Ａ∨Ｂ）。彼が死なない（￢Ａ）ので、俺が死ぬ（Ｂ）。

推移律

前提１：Ａ→Ｂ
前提２：Ｂ→Ｃ
結論　：Ａ→Ｃ

例１）
Ａ：勉強をする。
Ｂ：頭がよくなる。
Ｃ：志望校に合格する。

勉強をすれば頭がよくなる（Ａ→Ｂ）。頭がよくなれば志望校に合格する（Ｂ→Ｃ）。だから勉強をすれば志望校に合格する（Ａ→Ｃ）。

例２）

前提：Ａ→Ｂ、Ｂ→Ｃ、Ｃ→Ｄ、Ｄ→Ｅ、Ｅ→Ｆ、Ｆ→Ｇ、Ｇ→Ｈ
結論：Ａ→Ｈ

Ａ：風が吹く。
Ｂ：土ぼこりが舞う。
Ｃ：盲人が増える。
Ｄ：三味線が買われる。
Ｅ：猫が減る。
Ｆ：ネズミが増える。
Ｇ：桶が壊れる。
Ｈ：桶屋が儲かる。

風が吹くと土ぼこりが舞う（Ａ→Ｂ）。土ぼこりが舞うと盲人が増える（Ｂ→Ｃ）。盲人が増えると三味線が買われる（Ｃ→Ｄ）。三味線が買われると猫が減る。（Ｄ→Ｅ）。猫が減るとネズミが増える（Ｅ→Ｆ）。ネズミが増えると桶が壊れる（Ｆ→Ｇ）。桶が壊れれば桶屋が儲かる（Ｇ→Ｈ）。
よって、風が吹けば桶屋が儲かる（Ａ→Ｈ）。＜参照：風が吹けば桶屋が儲かる - Wikipedia ＞

代表的な恒真式（トートロジー）

Ａ→Ａ，Ａ⇔Ａ	同一律
Ａ∨￢Ａ	排中律
￢（Ａ∧￢Ａ）	矛盾律
￢￢Ａ⇔Ａ	二重否定律
（Ａ∧Ａ）⇔Ａ	巾等律
（Ａ∨Ａ）⇔Ａ
（Ａ∧Ｂ）⇔（Ｂ∧Ａ）	交換律
（Ａ∨Ｂ）⇔（Ｂ∨Ａ）
（Ａ∧（Ｂ∧Ｃ））⇔（（Ａ∧Ｂ）∧Ｃ）	結合律
（Ａ∨（Ｂ∨Ｃ））⇔（（Ａ∨Ｂ）∨Ｃ）
（Ａ∧（Ｂ∨Ｃ））⇔（（Ａ∧Ｂ）∨（Ａ∧Ｃ）	分配律
（Ａ∨（Ｂ∧Ｃ））⇔（（Ａ∨Ｂ）∧（Ａ∨Ｃ）
（Ａ∧（Ａ∨Ｂ））⇔Ａ	吸収律
（Ａ∨（Ａ∧Ｂ））⇔Ａ
￢（Ａ∧Ｂ）⇔（￢Ａ∨￢Ｂ）	ド・モルガンの法則
￢（Ａ∨Ｂ）⇔（￢Ａ∧￢Ｂ）
（Ａ→Ｂ）⇔（￢Ｂ→￢Ａ）	対偶律
（￢Ａ∧（Ａ∨Ｂ））→Ｂ	選言的三段論法
（（Ａ→Ｂ）∧（Ｂ→Ｃ））→（Ａ→Ｃ）	推移律
（Ａ∧（Ａ→Ｂ））→Ｂ	肯定式
（￢Ｂ∧（Ａ→Ｂ））→￢Ａ	否定式
Ａ→（Ａ∨Ｂ）	拡大律
Ｂ→（Ａ∨Ｂ）	付加律
（Ａ∧Ｂ）→Ａ	縮小律
（Ａ∧Ｂ）→Ｂ
（Ａ→（Ｂ→Ｃ））→（（Ａ∧Ｂ）→Ｃ）	移入律
（（Ａ∧Ｂ）→Ｃ）→（Ａ→（Ｂ→Ｃ））	移出律
（（Ａ→Ｃ）∧（Ｂ→Ｃ））→（（Ａ∨Ｂ）→Ｃ）	構成的両刀論法
Ａ→（Ｂ→Ａ）	添加律
￢Ａ→（Ａ→Ｂ）
（（Ａ→Ｂ）→Ａ）→Ａ	パースの法則
Ａ→（Ｂ→（Ａ∧Ｂ））	law of adjunction
（Ａ→Ｂ）⇔（￢Ａ∨Ｂ）
（Ａ→Ｂ）⇔￢（Ａ∧￢Ｂ）
（Ａ→（Ｂ→Ｃ））⇔（Ｂ→（Ａ→Ｃ））	入れ替え律
（Ａ→Ｂ）→（（Ａ→Ｃ）→（Ａ→（Ｂ∧Ｃ）））	合成律

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参考：論理学をつくる（戸田山和久著）　（http://www.google.co.jp/search?q=論理学をつくる 戸田山和久著）
　　　命題論理 - Wikipedia

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