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円周率

登録日：2024/07/21 Sun 23:36:57
更新日：2024/11/30 Sat 13:18:05
所要時間：約3.14→ 8 分で読めます



●目次

円周率は「（円の直径に対する）円周の長さの比率」の事を指す。
全ての円は相似である ――即ち拡大や縮小によって全く同じ図形に直せる―― ことが知られているため、その比率は円の直径などによらず常に一定の定数の値になる。

+ 補足
「円周の長さ」とあるが、厳密性の観点から言うと「曲線の長さ」を定義する必要がある。
詳細は割愛するが「円周の長さ」は同定義の下、有限の値であることが示されるのでその値をもとに円周率を定義できる。
ここで重要なのは具体的な数値ではなく有限値であること。
反例として、「x ≠ 0 のとき　f(x) = x sin (1/x)、 x ＝ 0 のとき　f(x) = 0」で定義される関数のグラフ（曲線）の長さは 0 ≦ x ≦ 1 で無限大に発散するからである。

小学校の算数で3.14と言う値で教わり、その後中学校で「π(パイ)」と言う記法に置き換えた上で円にまつわる様々な公式を習ってきたと思われるため、存在自体は知っている人が大半だろう。
なぜπなのかはギリシャ語で「円周」を意味する「περιμετροσ」から頭文字を取られていることに由来する。
中学生という思春期真っ只中にパイなんて単語がでてきたら別のパイを連想する男子も多かっただろう

この項目ではその円周率に関する性質などについて、触れていく。


【円周率の値】

円周率の小数点第300位までの値は以下のようになっている。（10桁ごとに区切りあり。）

π = 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 ………

詳細は後述するが、この値は途中の桁からの循環などが無い状態で無限に続くことが知られている。
後述の計算方法にて、有理数での近似値「22/7（=3.142857…）」や「355/113（=3.14159292035…）」も見つかっている。


【円周率の特徴と性質】

円に関する定数という事で、元の定義である円周の長さでは勿論のこと、面積の大きさの計算でも出現し、円から派生する図形である楕円形の面積や球の表面積や体積を求めるのにも円周率が用いられる。

他にも関数的な面での特徴をいうと、円周率は角度を用いるのにも利用される。

というのも、普段分度器で書かれているような360°を１周として、割合を元に角度を考える「度数法」とは別に「半径１の円の長さの円の１周分の円周の長さ（=2π）」を１周として割合を元に角度を考える、「弧度法」と呼ばれる角度の設定方法があり、三角関数などの計算を行う際にはこの弧度法がよく用いられる。
そのため、三角関数に関連する数式でも円周率は高頻度で出現する。
特にEXCELの三角関数ではデフォルトで弧度法であり、角度で計算するには換算するためのradian関数を使用する必要がある。

その他にも以下の様な性質が存在する。


◇無理数である

円周率が属している数の集合、「実数」には「有理数」と「無理数」と言う2つのカテゴリが存在し、「(整数)/(0以外の整数)」と言う形の分数表記が出来る数を有理数、そうでない数を無理数と呼ぶ。

有理数に属する数は、「小数点以下の数が有限の桁で終わっている『有限小数）」か、もしくは「小数点以下の値で特定の数の途中の桁から同じ数の列が無限に繰り返される（循環小数）」のいずれかの条件を満たしている。

つまり円周率は「小数点以下の数が無限に続き、かつ小数点以下の値で同じ数の繰り返しは発生しない」数という事になり、小学校の算数では近似値である「3.14」を計算に利用している。

円周率は上で記載した小数点第301位以降もどこかで止まることなく、循環しない数の列が続いていく事が知られている。

ちなみに円周率が無理数である事自体は中学校で紹介される内容であるが、その証明には高校数学における数学Ⅲレベルの知識（微積分・三角関数・極限など）が必要で、実際過去に大阪大学の入試問題として「円周率が無理数である事の証明」が誘導付きで出された事もある。

他に分かっている特徴としては次が挙がる。
  • 桁を増やしていくと0～9の数の桁ごとの分布がそれぞれ10％に近づいていく。
→この事から、円周率は各桁の0～9の値が一様に分布している無限小数（「正規数」と言う）であると予想されている。

  • 762桁目から767桁は6桁全て値が9になる。
→この部分より手前で同じ数が連続して出る数はせいぜい2回か3回なのだが、上記の部分でいきなり6回同じ数が出現する。
この部分には「ファインマン・ポイント」と言う名前が付けられている。


◇超越数である

円周率は超越数と呼ばれる特殊な数のカテゴリに含まれる。
「そもそも超越数ってなんだ？」という部分だが、簡単に言うと「有理数の係数だけで作られた方程式の解にならない数」である。
逆に解になる数は「代数的数」と呼ぶ。

この代数的数/超越数の考えを実数内で考えた場合、有理数は当然代数的数である。
任意の有理数αに対してx – α = 0と言う方程式を考えられるため。

続いて有理数に累乗根を使う事で現わされる無理数だがこれらも同じ様にして有理数係数の方程式を考えられるので代数的数になる。
例:√2 ⇒ x2 – 2 = 0と言う方程式を考えられる。

また、代数的数同士を足し算・引き算や掛け算・割り算をすることで新たに代数的数を作る事が出来ることが知られているため、（実数と言う範囲内に限って考えた場合）代数的数は有理数をより拡張した概念と言える。

ところが円周率はその拡張された数の網にもかからない「超越数」であり、有理数係数の方程式をどれだけ用意しても、その中には円周率を解に持つ物はただの1つも存在しない事が分かっている。

これ自体が証明されたのは19世紀後半と比較的最近の出来事。
この事実が証明された事で「与えられた円と同じ面積を持つ正方形を定木とコンパスだけで作図することが出来るか？(円積問題)」にも結論が付き、作図が不可能である事が判明した。


【円周率を求める方法】

円に沿って紐をあて、その長さを測る事で、円周率の値は「3よりもちょっと大きいくらいの数かな？」と推定することが出来るのだが、その具体的な値はどうやって求められるのか？

方法としては以下の様な物がある。

◇内接・外接する正多角形の周の長さから推定

昔から知られ、用いられてきた方法で、
  • 円周の長さは内接する正多角形の長さより長く、外接する正多角形より短い
  • 角度を増やしていくと正多角形の形状は円に近付いていく
という2つの特徴を用いることで、十分に多い角数の(内接・外接する)正多角形に対して、長さを測る事で外接する円周率のおおよその値を求めることができる。

過去に東大の入試でもこの方法を用いることを前提とした、「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」という問題が出されたことがある。


◇円周率に関係する収束値を持つ無限和や無限積を計算

こちらも歴史のある方法で、計算結果が円周率に関係する値に収束する無限和や無限積が存在する場合、その途中の値までを計算、値を出すことで同じように円周率の値を求めていく事が出来る。

幾つか実例を挙げると以下の様な物がある。
  • (1/1) – (1/3) + (1/5) – (1/7) + (1/9) – (1/11) +… = π/4
→ライプニッツ級数と呼ばれる。
奇数の逆数を正負を入れ替えながら順々に足していくと、上記の値に収束することが知られている。
簡単な形をしているが、収束はかなり遅い。
因みに上記の無限和だが、実は和の順序を上手く変えれば任意の実数の値に収束させたり正または負の無限大に発散させられる事が知られており、理論上は上記結果の分母部分を消したπに収束させることも可能。


  • (22/1×3) × (42/3×5)×(62/5×7) ×… = π/2
→ウォリス積と呼ばれる。
一見複雑だが、分子部分を「偶数の2乗」、分母部分を「その偶数の1つ前/後の数の積」とした数をずっとかけていくと、π/2に収束する。


  • (1/12) + (1/22) + (1/32) + (1/42) + … = π2/6 （バーゼル問題）
→自然数の2乗の逆数を無限に足し続けると、π2/6に収束することが知られている。
2乗の部分が1乗に置き変わった場合、この無限和は正の無限大に発散することが知られており、この無限級数についても「収束するor収束しない(収束する場合はいくつになるのか)」と言う旨の問題の提示から解決までに90年以上もの年月がかかっている。
因みに上記の2乗の部分を他の正の偶数乗に変えた場合、同じ様に円周率に関連する値に収束することがオイラーによって証明された。2乗の部分を変数sに変えたものが、リーマン予想で有名なゼータ関数ζ(s)である。


◇乱択アルゴリズムを使用

ランダムな試行が操作内に含まれるアルゴリズム、「乱択アルゴリズム」を使う方法も存在する。

有名なものだとモンテカルロ法による以下の方法が有る。
  1. 長さ1の正方形の区間内にランダムに点を打つ。
  2. その点と、正方形区間の左下部分の頂点との距離を求める。
  3. ①・②を十分な回数だけ行い、(②の値が1以下の点の数)/(打った点の総数)の値を計算する。
  4. ③で求めた数を４倍すると円周率のおおよその値が求められる。
円の性質を用いた単純な方法で、計算も容易なのだが、ランダム性に左右される点があるため、試行結果次第ではあまり正確な結果にならない。

また、上記の他にも正確に値を求める為のアルゴリズムなども見つかっている。
円周率を求める為の研究は今もなお進んでおり、高度化されたスーパーコンピューターなどの存在もあり、2024年現在ではなんと105兆桁以上も値が求められている。

無理数であるがゆえに「〇〇桁まで求めた」と言う報告も、ゴールではなくただの通過点報告となってしまう訳だが、これらの研究が進むことで円周率の分からなかった部分も分かる様になり、その特徴も明らかになっていく事だろう。


【半径基準で考えた円周率】

円周率は最初に述べた通り、「直径に対する円周長さの比率」として定義している。
だが、「半径に対する円周長さの比率」として円周率を考える人も存在する。
記号は「π」の文字の内、半分だけを使って表現した「τ」とする。(この場合、τはπの2倍の値=6.28…になる。)

これは円の面積などは半径などを基準にして考える上に、数学や物理などで使用する円が絡む公式では半径を基準としている関係上、円周率もそれに合わせるべきだという考えのもとで生まれてたもの。実際、円に絡むものを考える時に直径を用いるのは円周率の定義くらいであるし、そもそも円の定義は「任意の点からの距離（=半径）が等しい点の集合」である。
実際に円周率が絡む数式でもπよりτを使った方が数式がきれいにまとまる事もある。
+ 具体例
  • 360°=τ rad（弧度法）
    • 弧度法を考える際に、円と扇形の比がτの係数と一致する。

  • L=τr（円周長）
    • 扇形の弧長公式L=θrと同じ形。余計な係数2が消えている。

  • S=1/2 τr²（円の面積）
    • 扇形の面積公式S=1/2 θr²と同じ形。円の面積は円周の式を積分して得られるので、一次式の積分と考えれば余計な係数1/2がつくのはむしろ自然なことである。

  • S=2τr², V=2/3τr³（球の表面積・体積）
    • アルキメデスが導出した「球の表面積は、それに外接する円柱の側面積に等しい」「球の体積は、それに外接する円柱の体積の2/3である」という性質が係数として現れる。

  • sin(θ+τ) = sin(θ)（三角関数の周期性）
    • 正弦関数の周期が円一周分であることが端的に示される。同様に余弦関数は一周、正接関数は半周で一周期であることが端的に示される。

  • e^(iτ) = 1（オイラーの等式）
    • e^(iθ)は複素数平面において単位円上を点(0, 1)から原点を中心にθだけ回転した座標を示す。θにτラジアンを代入したこれは、「単位円上を一周すると元の点に戻ってくる」という事実を端的に示している。また、「一周なのでsinは0, cosは1」と直感的に納得しやすい。

  • ω = τf（角振動数）
    • 一周=τラジアンなので余計な係数2が消える。その他、角振動数を用いる物理の公式の殆どで余計な係数2を消せる。

  • 1×2×3×・・・ = √τ（自然数の無限積）
    • 直感的にはありえない式だが、解析接続というものを行うと成り立つことが証明できる。同様に、素数の無限積がτ²であることが証明されている。

歴史的な観点から今でも円周率にはπ=3.14…が使われるのが主流だが、τで考えた場合も計算などを考えるのが楽になる場合もある為、どちらか片方だけに拘らず、計算などをする時に都合がいい方の値を持ってきて使用するのもいいかもしれない。


【語呂合わせ】

年号や平方根のように、円周率も暗記するための語呂合わせが存在している。
有名なものとしては以下のものなどがあろうか。
  • 身一(みひと)つ 世一(よひと)つ 生(い)くに無意味(むいみ) 違約無(いやくな)く 身文(みふみ)や読(よ)む
  • 産医師(さんいし) 異国(いこく)に向(むこ)う 産後厄無く産婦(さんごやくな　さんぷ) 御社に虫散々(おやしろ　むしさんざん) 闇に鳴(やみ　な)く 後礼(ごれい)には早(は)よ行(い)くな
後者の語呂合わせは、東方風神録のSt.2で魔理沙が諳んじていた。
「神社が蟲だらけになって……。ま、そうやって円周率を憶えるのが人間だ。故に人間だぜ。」


【ゆとり教育と円周率】

「ゆとり教育による学力低下問題」の一つとして代表的なものに「ゆとり教育による学力のレベルダウンにより、円周率は『3.14』から『3』になった（＝ゆとり世代は小数点2桁の計算すらしなくて良くなる程甘やかされている）」というものがある。
結論から言えばこれはデマ。『ゆとり教育では円周率は3と教えられている（ゆとり世代は円周率は3と教わった）』というのは事実無根のガセである。

実際には『目的に応じて（円周率に）3を用いて処理できるよう配慮する』が正しく、「円周率の近似値は基本的に3.14」自体は昔から変化ない。
「目的に応じて3」とはつまり「素早く計算したい時」「大まかに見積もりたい時」といった厳密な正確性が求められていない場合の計算なら3.14の代わりに「3」でも良い、という意味。
算数の教科書に今まで「3.14」と書かれていた部分が全部「3」に置き換わったのではない。

円周率は小数点以下が無限に続く数字であり、円周率を使った計算に極めて正確な計算結果を求めるなら必要な小数点以下の数字は青天井となる。
しかし宇宙開発のような僅かな誤差が人命に関わるとか文字通り天文学的予算が関わって来る場ならまだしも、
小学校の小テストやご家庭で円の面積が必要になった時の計算式に「15×15×3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899」など到底やってられない。
なので慣習的に小数点2桁目までの「3.14」まで使っているというだけに過ぎず、別に「3.14」が正しい訳ではない。
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899...の代わりに3.14を普段使いしているのも『時と場合による円周率の近似値の使い分け』という観点では同じことである。
近似値とは「何がしたいか」によって使い分けるものなので何が何でも「3.14」で計算からざっくりで良いから素早く数字を出したい時は「3」も使うようになるのは嘆かれるような話では全くない。

因みにこのデマが広く拡散した原因は日能研の広告と言われている。
ウッソー！？ 円の面積を求める公式
半径×半径×3！？
2002年、小学5年生は円周率を3.14ではなく、「およそ3」として円の求積計算を行います。ホントです。
因みにこのポスターには驚きの表情を浮かべる「円」のキャラクターと一緒に、「ストップ　学習環境破壊」と書かれた旗を泣きながら振る「台形」のキャラクターも描かれている*1。

1999年に発表されたこの広告が人々に広まるうちに「時と場合による3と3.14の使い分けを認める」が「3.14は3に簡易化されレベルダウンした」として広まってしまったようである。


【余談】

  • 円周率を意味する記号として「π」が用いられているが、数学では「積の記号」としてπの大文字に当たる「Π」が使用されている。こちらは積を意味する「Product」の頭文字Pに当てはまるギリシャ文字から上記が用いられている。当然だが両者には何の関係もない。

  • 他にも「x以下の素数の個数」を意味する関数として、π(x)というものが存在する。こちらもπと言う記号こそ同じだが、特に円周率とはかかわりがない。

  • 3.14を日付に見立てた3月14日は日本数学検定協会によって「数学の日」となっている。またこの日は数学的にも重要な物理学者アルベルト・アインシュタインの誕生日でもある。




追記・修正は円周率を小数点以下100桁まで暗唱できる方がお願いいたします。


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最終更新：2024年11月30日 13:18

*1 ゆとり教育以降台形の面積の算出方法は学習しなくなったのは事実。台形云々もまたゆとり教育による学力低下の懸念もしくは単なる揶揄としてよく用いられる