判別式 - math_sugaku @ ウィキ【10/4更新】

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判別式とその関連問題を扱います

判別式

2次方程式の解の公式

においてとすると、

となる

• の時

xの値はの2つある。
つまりの解が2つある。

• の時

xの値はの一つのみである。
つまりの解は一つである。

• の時

は実数でないためxの値は存在しない。
つまりの解は存在しない。

このようにDという値が2次方程式ではよく重要な値になります。
そして、数学ではのことを判別式といい、よくDを使って表されます。
わざわざ解の公式をすべて適用するまでもなく、判別式だけで実数解の個数を判定できる気軽さに判別式を利用するメリットがあります。

2次方程式の判別式をとする。

の時は2つの異なる実数解を持つ。

の時は重解を持つ。

の時は実数解を持たない。

※実数解・・・実数の解　重解・・・2つの重なった解(つまり実数解は1個)

2次方程式2次方程式でとしたの解の公式

のについても判別式と同様のことが言えます。
また、この時の判別式Dを計算するととなり、ちょうどがと一致します。
しかし、実数解の個数はどちらでも調べられます。
このように、少し計算を楽にできるというものも存在します。

問題

(1)の実数解の個数を求めろ。

...

の判別式をDとする。※このDの宣言がないと数Ⅰでははねられます。

よっては実数解を持たない。

(2)の実数解の個数を求めろ。

...

の判別式をDとする。

(i)の時
かつは実数解を2つもつ。
(ii)の時
かつは重解を持つ。
(iii)の時
かつは実数解を持たない。

(i),(ii),(iii)よりはの時実数解を2つもち、の時重解を持ち、の時実数解を持たない。