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正弦定理

最終更新：2025年10月19日 17:19

math_sugaku

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概要

正弦定理を扱います。
余弦定理と並び三角比分野で重要な定理です。

正弦定理

三角形 $ABC$ の外接円を円 $O$ 、円 $O$ の半径を $R$ とする。
$0^\circ<A<180^\circ$
となる $A$ について、
( i ) $A<90^\circ$ の時
$A'B=2R$ となるように $A'$ をとると、円周角の定理から以下のようになる。

この時 $\overset{\frown}{BC}$ について、円周角の定理から
$\angle BAC=\angle BA'C$
よって $\sin\angle BAC=\sin\angle BA'C$
ここから $a=2R\sin\angle BA'C=2R\sin\angle BAC\Leftrightarrow2R=\frac{a}{sin\angle BAC}$
(i i) $A=90^\circ$ の時、円周角の定理から

よって $2R=a=\frac{a}{1}=\frac{a}{\sin90^\circ}$
(iii) $A>90^\circ$ の時、 $A'B=2R$ となるように $A'$ をとると、円周角の定理から以下のようになる。

また、還元公式(数Iまたは数II)や円に内接する四角形の対角の和が180°より
$\angle BA'C=180^\circ-\angle BAC$
よって $\sin\angle BA'C=\sin(180^\circ-\angle BAC)=\sin\angle BAC$
これより、 $a=2R\sin\angle BA'C=2R\sin\angle BAC\Leftrightarrow2R=\frac{a}{\sin\angle BAC}$
( i )～(iii)より、

$2R=\frac{a}{\sin A}$

同様の証明で
$2R=\frac{b}{\sin B}$ と $2R=\frac{c}{\sin C}$ も示せます。
よって

三角形 $ABC$ の外接円の半径を $R$ とすると、以下が成り立つ。
$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

※一般に三角形 $ABC$ で
$\angle BAC=A$
$\angle ABC=B$
$\angle ACB=C$
$BC=a$
$CA=b$
$AB=c$
と表します。

問題

$\triangle ABC$ において、外接円の半径を $R$ とする。

(1) $b=12,B=60^\circ,C=75^\circ$ の時、 $a$ と $R$ を求めよ。

+

...

(2) $b=\sqrt{2}R,C=25^\circ$ の時、 $A$ を求めよ。

+

...

$\triangle ABC$ において、外接円の半径を $R$ とする。

(1) $a=3\sqrt{2},b=\sqrt{6},A=120^\circ$ の時、 $C$ と $R$ を求めよ。

+

...

(2) $\sin^2A=\sin^2B\cos^2C-\cos^2B\sin^2C$ が成り立つとき、 $\triangle ABC$ の形をこたえよ。

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