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シグマの定義

最終更新：2025年10月24日 22:27

math_sugaku

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概要

$\Sigma$ の定義について解説します。

数列

偶数の数列があるとき、その数列の $1$ 番目を「偶数の数列の $1$ 番目」と、無駄に長く書かずに $x_1$ のようにあらわす方法が数学にあります。
一般的に $n$ 番目の偶数は $2n$ であらわされます。そして、ここで $n$ 番目の偶数を $x_n$ と表すことにすると、 $x_n=2n$ になります。
つまり、 $x_n=2n$ としたとき偶数列は
$x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots=2,4,6,8\cdots$ で表されます。

数列の和

今まで奇数の1からn番目までの和は、 $1+3+5+7+\cdots+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)$ のように書いていました。しかし、いちいち $1+3+\cdots$ と書くのは面倒です。
そこで、 $\Sigma$ が使われます。
前提として $m$ 番目の奇数を $x_m$ で表すことにします。
この時 $m$ 番目の帰数は $x_m=2m-1$ です。
まず、この式は1番目の数からn番目の数まであり、 $x_1+x_2+\cdots+x_n$ です。
この時、 $\sum(k$ に $1$ から $n$ まで代入 $)x_k=(x_k$ の $k$ に $1$ から $n$ まで代入してすべて足す $)$ のようにあらわせると便利です。しかし、いちいち「 $k$ に $1$ から $n$ まで代入」と書くのは面倒です。そこで「 $\sum(k$ に $1$ から $n$ まで代入 $)$ 」の代わりの表し方として「 $\sum_{k=1}^n$ 」とされています。
つまり、奇数列 $x$ の $x_1$ から $x_n$ までの足し算は $\sum_{k=1}^n x_k=x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n$ で表されます。
また、 $m$ 番目の帰数は $x_m=2m-1$ であることから、
$\sum_{k=1}^n 2k-1$ で奇数列の $1$ 番目から $n$ 番目の数までの和を表します。

$a$ と $b$ は整数で、 $a<b$ の時
$\sum_{k=a}^b f(k)=f(a)+f(a+1)+f(a+2)+\cdots+f(b-2)+f(b-1)+f(b)$

より厳密な定義

Σの性質

$\sum_{k=1}^nx_k+y_k$
$=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_3+y_3)+\cdots+(x_n+y_n)$
$=(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n)+(y_1+y_2+y_3+\cdots+y_n)$
$\sum_{k=1}^nx_k+\sum_{k=1}^ny_k$
また、 $a$ を定数として
$\sum_{k=1}^nax_k$
$=ax_1+ax_2+ax_3+\cdots+ax_{n-2}+ax_{n-1}+ax_n$
$=a(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{n-2}+x_{n-1}+x_n)$