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三角関数の相互関係

最終更新：2025年10月19日 15:14

math_sugaku

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概要

三角関数（sin, cos, tan）は互いに深い関係を持っています。
ここでは、代表的な三角関数の相互関係式を紹介します。

基本の関係式

直角三角形や単位円の関係から、以下が成り立ちます。

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

数I証明

数II証明

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

数I証明
数II証明
また、これらの関係から次のような式も得られます。

$1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}$

相互関係式

次の関係もよく使われます。

名前	関係式
余弦定理（sinとcosの関係）	$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
tanの定義	$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

※余談

sec, csc, cotの関係	$\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$ , $\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$ , $\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$
ピタゴラスの恒等式群	$\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$ , $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$

練習問題

(1) $\sin\theta=\frac{3}{5}$ のとき、 $\cos\theta$ , $\tan\theta$ を求めよ。

解答

(2) $\cos\theta=\frac{5}{13}$ のとき、 $\sin\theta$ を求めよ。

解答

(3) $\tan\theta=2$ のとき、 $\sin\theta$ と $\cos\theta$ を求めよ。

解答

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