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指数法則

最終更新：2025年10月19日 12:25

math_sugaku

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概要

概要

指数を $a^{\sqrt{2}}$ のように実数まで拡張し、指数法則と累乗根の性質を扱います。

自然数の指数法則

まず、前提として $a^n$ の定義は
n個
$\overbrace{ a\times a\times\cdots\times a}$
のようにaをn回かけたものです。

$a,b$ を実数、 $n,m$ を自然数として以下が成り立つ。
① $a^na^m=a^{n+m}$
② $(a^n)^m=a^{nm}$
③ $(ab)^n=a^nb^n$

証明

まず、
n個
$a^n\cdot a^1=\overbrace{ a\times a\times\cdots\times a}\times a=a^{n+1}$ です。
次に、 $a^na^k=a^{n+k}$ が成り立つとき、 $a^na^{k+1}=a^{n+k+1}$ が成り立つことを証明します。
$a^{n+k}$ が成り立つことや、 $a^{k+1}=a^k\cdot a$ から、
$a^na^{k+1}=a^n\cdot a^k\cdot a=a^{n+k}\cdot a=a^{n+k+1}$
よって①が成り立ちます。

$(a^n)^1=a^n$ は常に成り立ちます。
次に $(a^n)^k=a^{nk}$ が成り立つとき、 $(a^n)^{k+1}=a^{n(k+1)}$ を証明します。
$b^{k+1}=b^k\cdot b$ より、
$(a^n)^{k+1}=\{(a^n)^k\}\cdot a^n=a^{nk}\cdot a^n$
①より
$a^{nk}\cdot a^n=a^{nk+n}=a^{n(k+1)}$
よって②が成り立ちます。

$(ab)^1=ab=a^1b^1$ です。
次に $(ab)^k=a^kb^k$ が成り立つとき、 $(ab)^{k+1}=a^{k+1}b^{k+1}$ を証明します。
①より
$(ab)^{k+1}=(ab)^k\cdot ab=a^kb^k\cdot ab=a^k\cdot a\cdot b^k\cdot b=a^{k+1}b^{k+1}$
よって③が成り立ちます。

0乗と負の数乗

$a\neq0$ の時、
$a^n=a^{n-1}a$ より、
$a^1=a^0a$
両辺aで割って

$a^0=1$

また、 $a^0=1=a^{-1}a$ より

$a^{-1}=\frac{1}{a}$

よって $k>0$ について $a^{-k}=\frac{1}{a^k}$ が成り立つとき、 $a^{-k-1}=\frac{1}{a^{k+1}}$ を示す。
$a^{-k}=\frac{1}{a^k}=a^{k-1}a$ より

$a^{-(k+1)}=\frac{1}{a^{k+1}}$

よって
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\[$ ただし $n$ は自然数 $\]$
また、 $b<0,0<c,-b=c$ について、 $a^{-b}=a^c=1\div\frac{1}{a^c}=1\div a^{-c}=\frac{1}{a^b}$ より

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\[$ ただし $a$ は整数 $\]$

※より厳密な証明は見つかりませんでした。
また、 $n>0$ の時、
$a^n=a^n\times a\div a=\frac{a^{n+1}}{a}$
さらに、
$a^{-n-1}=\frac{1}{a^{n+1}}=\frac{1}{a^na}=\frac{a^{-n}}{a}$ より、

$a^{n-1}=\frac{a^n}{a}\[$ ただし $n$ は整数 $\]$

整数の指数法則

次に、

$a,b$ を実数、 $n,m$ を整数として以下が成り立つ。
① $a^na^m=a^{n+m}$
② $(a^n)^m=a^{nm}$
③ $(ab)^n=a^nb^n$

証明

$n>0$ の時、 $a^na^{-1}=\frac{a^n}{a}=a^{n-1}$
次に、 $a^na^k=a^{n+k}$ が成り立つとき、 $a^na^{k-1}=a^{n+k-1}$ が成り立つことを証明します。

$a^na^{k-1}=a^n\frac{a^k}{a}=\frac{a^{n+k}}{a}=a^{n+k-1}$
また、 $n<0$ の場合は
$a^na^{-1}=\frac{a^n}{a}=a^{n-1}$
そして先ほど同様に $a^na^k=a^{n+k}$ が成り立つとき、 $a^na^{k-1}=a^{n+k-1}$ が成り立つ。
よって①が示されました。

$n>0$ の時、 $(a^n)^{-1}=\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ です。
次に $(a^n)^k=a^{nk}$ が成り立つとき、
$(a^n)^{k-1}=\frac{(a^n)^k}{a^n}=a^{nk}\cdot a^{-n}=a^{nk-n}=a^{n(k-1)}$
また、 $n<0$ の時、
同様にして $(a^n)^m=a^{nm}\[$ ただし $n,m$ は整数 $\]$ を証明できます。
よって②が示されました。

$(ab)^{-1}=\frac{1}{ab}=a^{-1}b^{-1}$ です。
次に $(ab)^k=a^kb^k$ が成り立つとき、
$(ab)^{k-1}=\frac{(ab)^k}{ab}=a^kb^ka^{-1}b^{-1}=a^{k-1}b^{k-1}$
よって③が示されました。

有理数の指数法則

$x^n=a$ となる $x$ を $^n\sqrt{a}=a^\frac{1}{n}$ と定義する。

より厳密な定義

つまり、
$(^n\sqrt{a})^n=(a^\frac{1}{n})^n=a$ である。
ここで $a^\frac{n}{m}=(a^\frac{1}{m})^n$ と定義します。

n乗して元の数になる数を $^n\sqrt{a}$ や $a^\frac{1}{n}$ で表す。
$^n\sqrt{a}$ はaのn乗根と呼ぶ。
また、定義から $(^n\sqrt{a})^n=(a^\frac{1}{n})^n=a$ である。
$a^\frac{n}{m}=(a^\frac{1}{m})^n$

この時、整数同様に指数法則が成り立つ。

$a,b$ を実数、 $n,m$ を有理数として以下が成り立つ。
① $a^na^m=a^{n+m}$
② $(a^n)^m=a^{nm}$
③ $(ab)^n=a^nb^n$

証明

$(a^{-\frac{1}{n}})^{-n}=(a^\frac{1}{-n})^{-n}=a=1\div\frac{1}{a}=1\div\frac{1}{(a^\frac{1}{n})^n}$
$(a^{-\frac{1}{n}})^{-n}=\frac{1}{(a^{-\frac{1}{n}})^n}=1\div(a^{-\frac{1}{n}})^n$ より、
$1\div\frac{1}{(a^\frac{1}{n})^n}=1\div(a^{-\frac{1}{n}})^n\Leftrightarrow\frac{1}{(a^\frac{1}{n})^n}=(a^{-\frac{1}{n}})^n\Leftrightarrow\frac{1}{a^\frac{1}{n}}=a^{-\frac{1}{n}}$ と定義できる。

$a^na^\frac{m}{p}=(a^\frac{1}{p})^{np}(a^\frac{1}{p})^m=(a^\frac{1}{p})^{np+m}=a^\frac{np+m}{p}=a^{n+\frac{m}{p}}$ である。
同様にして $a^\frac{n}{p}a^\frac{m}{q}=a^{\frac{n}{p}+\frac{m}{q}}$ よって①が示されました。

$(a^\frac{n}{p})^\frac{m}{q}=(a^\frac{1}{p})^{nm\cdot\frac{1}{q}}=(a^\frac{nm}{p})^\frac{1}{q}$
ここで
$\{(a^\frac{nm}{p})^\frac{1}{q}\}^q=a^\frac{nm}{p}=(a^\frac{1}{p})^{nm}$
$\{(a^\frac{nm}{p})^\frac{1}{q}\}^q=\{(a^\frac{nm}{p})^q\}^\frac{1}{q}=(a^\frac{nmq}{p})^\frac{1}{q}=\{(a^\frac{q}{p})^{nm}\}^\frac{1}{q}=(a^\frac{q}{p})^\frac{nm}{q}=\{(a^\frac{q}{p})^\frac{1}{q}\}^{nm}$
よって
$(a^\frac{1}{p})^{nm}=\{(a^\frac{q}{p})^\frac{1}{q}\}^{nm}$
$a^\frac{1}{p}=(a^\frac{q}{p})^\frac{1}{q}$
つまり、 $a^\frac{1}{p}=(a^\frac{q}{p})^\frac{1}{q}=a^\frac{q}{pq}$ と定義できる。
よって以下が言える。
$(a^\frac{n}{p})^\frac{m}{q}=a^\frac{nm}{pq}$
よって②が示されました。

$\{(ab)^\frac{1}{n}\}^n=ab=a^\frac{n}{n}b^\frac{n}{n}=(a^\frac{1}{n}b^\frac{1}{n})^n$ よって $(ab)^\frac{1}{n}=a^\frac{1}{n}b^\frac{1}{n}$
$(ab)^\frac{m}{n}=\{(ab)^\frac{1}{n}\}^m=(a^\frac{1}{n}b^\frac{1}{n})^m=a^\frac{m}{n}b^\frac{m}{n}$
よって③が示されました。
※負の有理数乗については $a^{-\frac{1}{n}}=\frac{1}{a^\frac{1}{n}}$ という定義から導けます。