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三角比の不等式

最終更新：2025年10月19日 13:34

math_sugaku

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概要

$\sin\theta>\frac{\sqrt{3}}{2}$ などの三角比の不等式を扱います。

例題

$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ の時、次の不等式を満たす $\theta$ の範囲を求めよ。
(1) $\sin\theta>\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin60^\circ=\sin120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$ や、下図から

$60^\circ<\theta<120^\circ$

(2) $\sqrt{3}\tan\theta+1\geqq0$
$\sqrt{3}\tan\theta+1\geqq0$ を解くと、
$\tan\theta\geqq-\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\tan\150^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$ や、
下図から $\tan\theta'\geqq0\:\[0^\circ\leqq\theta'<90^\circ\]$ なので、

$0^\circ\leqq\theta<90^\circ,150^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$

(3) $2\sin^2\theta-\cos\theta-2\leqq0$
$2\sin^2\theta-\cos\theta-2=2-2\cos^2\theta-\cos\theta-2\leqq0$
$2\cos^2\theta+\cos\theta=\cos\theta(2\cos\theta+1)\geqq0$
$\therefore\cos\theta\leqq-\frac{1}{2},0\leqq\cos\theta$
また、 $\cos120^\circ=-\frac{1}{2},\cos\90^\circ=0$ と下図から