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三角関数の定義

最終更新：2025年10月13日 17:35

math_sugaku

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概要

このページは数Iと数IIが混ざっています。

-

数I範囲

基本公式(数I)

直角三角形において、 $90^{\circ}$ ではない角を $\theta^{\circ}$ として図を描く。

この時それぞれ以下のように定義する。

$\sin\theta=\frac{a}{c}$

$\cos\theta=\frac{b}{c}$

$\tan\theta=\frac{a}{b}$

この時aを対辺、cを斜辺、bを隣辺という。

また、この時

$sin\theta\div{cos}\theta$

$=\frac{a}{c}\div\frac{b}{c}$

$=\frac{a}{c}\cdot\frac{c}{b}$

$=\frac{a}{b}$

$=tan\theta$

であるため、以下が得られる。

$\frac{sin\theta}{cos\theta}=tan\theta$

-

数II範囲

単位円による定義(数II)

半径1の円（単位円）を原点に描く。
角 $\theta$ を以下の図ように取ると、その角に対応する点Pの座標を
$(\cos\theta,\sin\theta)$
とする。

※ $x^2+y^2=1$ は無視してください。
つまり

$sin\theta=$ Pのy座標
$cos\theta=$ Pのx座標
$tan\theta=$ 直線OPの傾き

このように定義する方法である。

この時点Pのx座標とy座標をそれぞれpx,pyとすると

$sin\theta=py$
$cos\theta=px$

また、直線OPはx軸方向にpx進んだ後y軸方向にpyだけ進んでいるため傾きは

$tan\theta=\frac{py}{px}$

になるが、pxとpyは、sinとcosで表されるため

$tan\theta=\frac{py}{px}=\frac{sin\theta}{cos\theta}$

これより $\cos{\theta}\neq0$ のとき $\tan{\theta}$ が定義される。
つまり $\tan{90^\circ}$ と $\tan{270^\circ}$ は定義されない。

ある一定の範囲内では

上の図で $0^\circ<\theta<90^\circ$ の範囲内では以下のようになる。

そしてこの時点Pのx座標とy座標をそれぞれpx,pyとすると
するとこの時青い三角形について
$sin\theta=py=\frac{py}{1}=$ 対辺÷斜辺(円の半径1)

$cos\theta=px=\frac{px}{1}=$ 隣辺÷斜辺

$tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}=$ (対辺÷斜辺)÷(隣辺÷斜辺)=(対辺÷斜辺)×(斜辺÷隣辺)=対辺÷隣辺

+

辺の呼び方について

これにより、三角関数は直角三角形の範囲を超えて、
$0^\circ\leq\theta<360^\circ$
まで定義を広げることができるとわかる。
ラジアンでは $0\leq\theta<2\pi$

相互関係

について三平方の定理を使うと $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1^2=1$ となり以下が得られる。

$sin^2\theta+cos^2\theta=1$

また、 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より $sin^2\theta+cos^2\theta=1$ をそれぞれ $cos^2\theta$ で割ると以下が得られる。

$tan^2\theta+1=\frac{1}{cos^2\theta}$

練習問題(数I)

次の三角比を求めよ。

(1) 角 $30^\circ$ の直角三角形において、三角比を求めよ。

+

...

(2) 角 $45^\circ$ の直角三角形において、三角比を求めよ。

+

...

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