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数学 @ ウィキ

三角比の方程式

最終更新：2025年10月19日 13:13

math_sugaku

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概要

$\sin\theta=\frac{1}{2}$ の時の $\theta$ を求める問題などを解きます。

例題

$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき，次の等式を満たす $\theta$ を求めよ。

(1) $\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$
グラフで見ると、 $\sin\theta$ はy座標なので

基本角は $60^\circ$ 。

還元公式 $\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$ より，
$180^\circ-60^\circ=120^\circ$ も解。

よって，答えは

$\theta=60^\circ,\,120^\circ$

(2) $\sqrt{3}\tan\theta+1=0$
$\tan\theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ より原点を通り、傾きが $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ になる場所を探す。

よって

$\theta=150^\circ$

(3) $\sin^2\theta+\frac{3\sqrt{2}}{2}\cos\theta+1=0$
$\sin^2\theta+\frac{3\sqrt{2}}{2}\cos\theta+1=1-\cos^2\theta+\frac{3\sqrt{2}}{2}\cos\theta+1=0$
よって $2\cos^2\theta-3\sqrt{2}\cos\theta-4=(2\cos\theta+\sqrt{2})(\cos\theta-2\sqrt{2})=0$
$\because-1\leqq\cos\theta\leqq1\therefore\cos\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\therefore\theta=135^\circ$

問題

$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ の時、次の等式を満たす $\theta$ を求めよ。

(1) $\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$

+

...

(2) $\tan^2\theta+\sqrt{3}\tan\theta=0$

+

...

(3) $\sqrt{2}\cos^2\theta+(1+\sqrt{2})\sin\theta-1-\sqrt{2}=0$

+

...

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