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余弦定理

最終更新：2025年10月19日 17:31

math_sugaku

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概要

余弦定理を扱います。
後半では正弦定理を使った複合的な問題も含めて扱います。

余弦定理

$\triangle ABC$ について、

図のように原点が $A$ 、辺 $AB$ がx軸に来るように $\triangle ABC$ を描きます。
$C$ から直線 $AB$ に垂直に下した垂線の足を $H$ とします。
この時 $CH=b\sin A\:,\:BH=BA-HA=c-b\cos A$ です。
この時 $BC^2$ について、
$a^2$
$=CH^2+BH^2$
$=(b\sin A)^2+(c-b\cos A)^2$
$=b^2\sin^2A+c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2A$
$=b^2(\sin^2A+\cos^2A)+c^2-2bc\cos A$
$=b^2+c^2-2bc\cos A$
よって以下が成り立ちます。

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

+

より厳密な証明

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ の証明と同様の証明を行うことで以下も示されます。
$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
よって

$\triangle ABC$ について以下が成り立つ。
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

また、これを変形した下の式も覚えておくとよいです。

$\triangle ABC$ について以下が成り立つ。
$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

問題

$\triangle ABC$ において、

(1) $b=4,c=9,A=60^\circ$ の時、 $a$ を求めよ。

+

...

(2) $\sin A:\sin B:\sin C=5:7:8$ の時、角 $B$ を求めよ。

+

...

$\triangle ABC$ において、外接円の半径を $R$ とする。

(1) $a=13,c=7,A=120^\circ$ の時、 $b$ を求めよ。

+

...

(2) $a=3\sqrt{2},b=2\sqrt{3}c=3+\sqrt{3}$ の時、角 $A,B,C$ と $R$ を求めよ。

+

...

(3) $\sin A:\sin B:\sin C=2:7:3\sqrt{3}$ の時、最も大きい角を求めよ。

+

...

(4)) $\sin A\cos A=\sin B\cos B$ が成り立つとき、 $\triangle ABC$ はどんな三角形か

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