余弦定理 - 数学 @ ウィキ

概要

余弦定理を扱います。
後半では正弦定理を使った複合的な問題も含めて扱います。

余弦定理

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

について、

図のように原点が

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

、辺がx軸に来るように

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

を描きます。

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

から直線に垂直に下した垂線の足をとします。
この時です。
この時について、






よって以下が成り立ちます。

• 

より厳密な証明

( i )

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

と

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

が鋭角の時、

で三平方の定理を用いることで





(i i))

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

が鋭角

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

が鈍角の時、

で三平方の定理を用いることで





(iii)

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

が鈍角

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

が鋭角の時、
で三平方の定理を用いることで

(iv)

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

が直角の時、

で三平方の定理を用いることで






(iii)
(v)

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

が直角の時、

より
で三平方の定理を用いることで

の証明と同様の証明を行うことで以下も示されます。


よって

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

について以下が成り立つ。

また、これを変形した下の式も覚えておくとよいです。

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

について以下が成り立つ。

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

問題

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

において、

(1)の時、

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

を求めよ。

...

(2)の時、角

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

を求めよ。

...

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

において、外接円の半径を

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

とする。

(1)の時、

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

を求めよ。

...

(2)の時、角と

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

を求めよ。

...

(3)の時、最も大きい角を求めよ。

...

(4))が成り立つとき、

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

はどんな三角形か