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順序数

最終更新：2025年10月13日 14:55

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順序数（Ordinal Numbers）

概要

順序数（Ordinal Numbers）

数学の特に集合論において、順序数（じゅんじょすう、英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数を拡張させた概念である。

By Wikipedia

簡単に言えば、
0、1、2、3、4、5...と続く（0と）自然数の先をさらに拡張した数。

定義

整列集合 $(A, <)$ に対して、 $A$ を定義域とする写像 $G_{A,<}$ を超限帰納法によって
$G_{A,<}(a)=\{G_{A,<}(x)\mid x<a\}$
と定義したとき、 $G_{A,<}$ の値域 $ran(GA, <)$ を $(A, <)$ の順序数といい、これを $ord(A, <)$ で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ。

...ページ制作者すらなんて言ってるかわからないので、スルーするといいです。

自然数

順序数は自然数を拡張した概念なので、最初は自然数から始まります。
$0$
$0+1=1$
$1+1=2$
$2+1=3$
とこのように続いていきます。

ところで、 $n+1$ で表せる順序数のことを、後続順序数と言います。
なので、1、2、3、4、・・・は後続順序数です。
ところで一つ思いました。全ての自然数の次ってなんでしょう？これが順序数の幕開けなのです...

最初の無限 ω

$\omega$ は、すべての自然数の一個次です。
なので自然数よりでかいです。
そして、 $\omega$ は、 $n+1$ で表すことができません！
$\omega-1$ があるって？それは後の話。
とにかく $\omega$ のような、 $n+1$ で表すことができなくて、0でもない順序数のことを、極限順序数と言います。

今までに出てきたやつで順序数は3つに分類できます。

分類	例	説明
$0$	$0$	最小の順序数
後続順序数	$1, 2, 3, \cdots$	n+1の形で書ける
極限順序数	$\omega, \omega\cdot2, \omega^2, \cdots$	どの順序数の次でもない

ところで、なんで $\omega-1$ はダメなのでしょうか？

計算

順序数の計算はとてもややこしいです。

足し算

順序数の足し算は、なんと非可換。
つまり左右を入れ替えると答えが変わってしまいます。
$1+\omega\neq\omega+1$
なんでこんなわかりづらい仕組みがあるのでしょうか。
順序数は順序が大切なので、「1個右に動いてから $\omega$ 回右に動く」と「 $\omega$ 回右に動いてから1個右に動く」のは違います。
とにかく、「左に小さい数があったら吸収される」と覚えておきましょう。

引き算

順序数では、マイナスはないので、引き算はありません。
なので $\omega-1$ はありません。

掛け算

順序数の掛け算も非可換です。
$2\times\omega\neq\omega\times2$
ちなみに掛け算の記号に $\times$ を使ってますが、 $\cdot$ を使うことが多いです。（画面の汚れではありません、・です。）
なのでここ以降は $\cdot$ を使います。
順序数の掛け算では、右分配法則は成り立ちますが左分配法則は成り立ちません。
$\alpha\cdot(\beta+\gamma)\neq\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma$
$(\beta+\gamma)\cdot\alpha=\beta\cdot\alpha+\gamma\cdot\alpha$

割り算

順序数に割り算はありません。

べき乗

順序数のべき乗も非可換。
$2^\omega\neq\omega^2$
非可換なのは元からだな。

順序数でもまだ成り立つもの

結合法則

結合法則は数の順序を変えてないので成り立ちます。

単位元においての可換性

簡単に言えば、 $0+\alpha=\alpha+0=\alpha$ で、 $1\cdot\alpha=\alpha\cdot1=\alpha$ ってこと。

指数法則

$\alpha^0=1$ そしてなんと $0^0=1$
$\alpha>0$ なら、 $0^\alpha=0$
$\alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta+\alpha^\gamma$
${\alpha^\beta}^\gamma=\alpha^{\beta\cdot\gamma}$

ωのその先

$\omega$ の次にも、まだまだ順序数は続きます。

$\omega+1$ 、 $\omega+2$ 、 $\omega+3$ 、 $\omega+4$ 、 $\cdots$

無限の先に、さらに無限がある。これが順序数の面白いところです。
さてこれを繰り返すと $\omega+\omega$ に到達します。
$\omega+\omega=\omega\cdot2$
です。
もちろんこのまま
$\omega\cdot2$ 、 $\omega\cdot2+1$ 、 $\omega\cdot2+2$ 、 $\cdots$
としてもいいのですが、そんなのキリがないので掛け算に演算をレベルアップさせます。
$\omega\cdot2$ 、 $\omega\cdot3$ 、 $\omega\cdot4$ 、 $\omega\cdot5$ 、 $\cdots$
さらに繰り返すと $\omega\cdot\omega$ になります。
ここで $\omega^2$ にします。
$\omega^2$ 、 $\omega^3$ 、 $\omega^4$ 、 $\omega^5$ 、 $\cdots$
すると $\omega^\omega$ までできます。
$\omega^\omega$ 、 $\omega^{\omega^\omega}$ 、 $\omega^{\omega^{\omega^\omega}}$ 、 $\cdots$

さて、最後の列はめっちゃすごいのですが、これを超える列はあるのでしょうか？
あります。それがイプシロン数（エプシロン数）です。

イプシロン数（ε数）

先ほど出てきた $\omega^{\omega^{\omega^\omega}}$ のような連鎖の限界を考えてみましょう。

この「どこまでも続く冪の列」の極限が、 $\epsilon_0$ （イプシロン・ゼロ）です。

では、どういう数か？

$\omega^{\epsilon_0}=\epsilon_0$

つまり、「自分自身を冪にしても変わらない」最初の順序数です。

一般に、 $\omega^\alpha=\alpha$ を満たす順序数 $\alpha$ を、イプシロン数（ε数）といいます。

最初のイプシロン数が $\epsilon_0$ 、その次が $\epsilon_1$ 、その次が $\epsilon_2$ ... と続いていきます。

もちろんこれにも先があります。
このような列を考えてみましょう。

$\epsilon_0$ 、 $\epsilon_1$ 、 $\epsilon_2$ 、 $\epsilon_3$ 、 $\epsilon_4$ 、 $\epsilon_5$ 、 $\cdots$

もちろんこの先は $\epsilon_{\omega}$ ですが、そこからずっと進めるのはめんどくさいので $\epsilon_{\epsilon_0}$ まで一気に進めます。

$\epsilon_{\epsilon_0}$ 、 $\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_0}}$ 、 $\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_0}}}$ 、 $\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_0}}}}$ 、 $\cdots$

そしてこの列の果てってなんでしょう？
ゼータ数です。

ゼータ数

ゼータ数は、 $\alpha=\epsilon_{\alpha}$ な数です。
つまり、「イプシロン数の添字にしても変わらない数」です。
最初のゼータ数が $\zeta_0$ 。そして $\zeta_1$ 、 $\zeta_2$ 、 $\zeta_3$ 、 $\cdots$ と続いていきます。

ヴェブレン階層（Veblen hierarchy）

今まで出てきた順序数は、
$\epsilon_0=\omega^{\epsilon_0}$ 、 $\zeta_0=\epsilon_{\zeta_0}$
のように「不動点」を使って新しい数を作ってきました。

「不動点」とは、関数をかけても変わらない点のことです。
たとえば、 $\omega^\alpha=\alpha$ を満たす $\alpha$ が $\epsilon_0$ でした。

では、「不動点をどんどん生成する関数」を階層的に定義していくとどうなるでしょうか？
これが ヴェブレン階層 です。

定義

ヴェブレン階層 $\varphi_\alpha(\beta$ ) は次のように定義されます。

$\varphi_0(\beta)=\omega^\beta$
$\varphi_{\alpha+1}(\beta$ ) = 「 $\varphi_\alpha$ の不動点のうち、 $\beta$ 番目のもの」
$\varphi_\lambda(\beta$ ) = 「すべての $\alpha<\lambda$ に対して定義された $\varphi_\alpha$ の共通不動点のうち、 $\beta$ 番目のもの」

……と、文章で読むとやばい感じがしますが、順番に見ていきましょう。

例

段階	関数	説明
$\varphi_0(\beta$ )	$\omega^\beta$	普通のべき乗
$\varphi_1(\beta$ )	$\epsilon_\beta$	冪の不動点（イプシロン数）
$\varphi_2(\beta$ )	$\zeta_\beta$	イプシロン関数の不動点
$\varphi_3(\beta$ )	$\eta_\beta$	ゼータ関数の不動点
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

そしてこの階層をどんどん続けていくと、
「どの階層にも属さないほど巨大な不動点」が現れます。

フェファーマン＝シュッテの順序数（Γ₀）

ヴェブレン階層を使うと、
$\varphi_\alpha(0)=\alpha$
を満たす最小の $\alpha$
が存在します。

それが $\Gamma_0$ です。

つまり、Γ₀は
「ヴェブレン階層そのものの最初の不動点」なのです。

解説

Γ₀は、ここまでに出てきた
$\epsilon_0$ や $\zeta_0$
をすべて内包するレベルの“超・自己再帰的”な無限です。

なので Γ₀ は「Feferman–Schütte ordinal」と呼ばれ、
論理学では「直観主義的解析の限界」として登場します。

ちなみにここまでとてもデカい順序数が出てきたが、
その順序数が対応する基数はまだまだ $\aleph_0$ である。

ψ関数

ψ関数は順序数崩壊関数で、なんかめっちゃ大きい順序数を出せるが、ページ制作者すら何かよくわかってないため、詳しくは書けない。
誰か続き書いてくれー

非可算順序数（ω₁）

ここまでに登場した順序数（ $\omega$ 、 $\epsilon_0$ 、 $\Gamma_0$ など）は、すべて可算でした。
つまり、自然数と一対一対応が取れる範囲の“数えられる無限”です。
どれほど大きな順序数でも、有限な手順で名前をつけられる間は「可算」です。

しかし、順序数の世界にはそれを超える“数えられない無限”が存在します。
その最初のものが、 $\omega_1$ （オメガ・ワン）です。

定義
$\omega_1$ は「すべての可算順序数の集合の順序型」です。
つまり、これまでに出てきたすべての順序数（ $\omega$ 、 $\epsilon_0$ 、 $\Gamma_0$ など）をひとまとめにして並べたときの“その次”が $\omega_1$ です。

$\omega_1$ = 「すべての可算順序数の次」

この定義から、 $\omega_1$ 自身は非可算になります。
なぜなら、“可算なものをすべて並べても”その全体は可算ではあり得ないからです。

そして、 $\omega_1$ は2番目の正規順序数です。
正規順序数とは、その数より小さい数をいくら足しても、その数には届かないという順序数のことです。
そして $\omega$ は最初の正規順序数です。

性質

性質	説明
最小の非可算順序数	これより小さい順序数はすべて可算
正則順序数	$\omega_1$ 未満の順序数を可算個だけ足しても $\omega_1$ には届かない
基数としては $\aleph_1$	最初の非可算基数

イメージ
可算順序数たち（ $\omega$ 、 $\omega^\omega$ 、 $\epsilon_0$ 、 $\Gamma_0$ 、 $\cdots$ ）をすべて積み上げても、

それらを数え上げられる順序数はまだ「可算」です。
しかし、その全体の“次”を考えると、それはもはや「数えられない」——それが $\omega_1$ 。

図で表すと

レベル	代表順序数	説明
有限	$0,1,2,3,\cdots$	有限の範囲
可算（第1の無限）	$\omega$	自然数の列の先
可算の階層構造	$\epsilon_0$ 、 $\Gamma_0$	無限の上の無限
非可算の始まり	$\omega_1$	“可算の果て”のその先

つまり、 $\omega_1$ は「可算で理解できる数学」と「それを超える数学」の境界線。
ここを越えると、“無限の中の無限”の世界——基数論——が始まります。
なので続きは基数のページができてからにしましょう。

おまけ： $\omega_1$ のその先
もちろん、 $\omega_1$ にも「次」があります。
それが $\omega_2$ 、 $\omega_3$ 、 $\cdots$ と続いていきます。

これらは基数としては
$\aleph_1$ 、 $\aleph_2$ 、 $\aleph_3$ 、 $\cdots$

と呼ばれます。

無限の階段はここでも終わりません。
それぞれの“無限”の先に、さらに大きな無限があるのです。

By ChatGPT

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