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三角比の還元公式

最終更新：2025年10月18日 10:14

math_sugaku

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概要

三角比の還元式 $(180^\circ-\theta,90^\circ-\theta$ など $)$ をあつかいます。

$180^\circ-\theta$

$\theta$ と $180^\circ-\theta$ の平均は $90^\circ$ です。
よって単位円で $90^\circ$ のところ、つまりy軸に対して $\theta$ と $180^\circ-\theta$ が対称であります。
つまり、単位円で $\theta$ のところを $P(a,b)$ とすると、 $180^\circ-\theta$ のところを点Qとして $Q(a,-b)$ になります。

よって $P(\sin\theta,\cos\theta)$ とすると、 $Q(\sin(180^\circ-\theta),\cos(180^\circ-\theta))$ で表されるので以下が得られます。
$\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$
$\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$
$\tan(180^\circ-\theta)=\frac{\sin(180^\circ-\theta)}{\cos(180^\circ-\theta)}=\frac{\sin\theta}{-\cos\theta}=-\tan\theta$

$\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$
$\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$
$\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta$

$90^\circ-\theta$

上の式について内角が $\theta$ と $90^\circ$ と分かっていることから、残りの角は $90^\circ-\theta$ であることがわかります。
よって
$\sin(90^\circ-\theta)=\frac{b}{c}=\cos\theta$

$\cos(90^\circ-\theta)=\frac{a}{c}=\sin\theta$

がわかります。
また、これらから
$\tan(90^\circ-\theta)=\frac{\sin(90^\circ-\theta)}{\cos(90^\circ-\theta)}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{1}{\tan\theta}$
だとわかります。

$\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$
$\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$
$\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}$

$90^\circ+\theta$

今までの知識を生かして
$\sin(90^\circ+\theta)=\sin(180^\circ-90^\circ-\theta)=\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$
$\cos(90^\circ+\theta)=-\cos(180^\circ-90^\circ-\theta)=-\cos(90^\circ-\theta)=-\sin\theta$
$\tan(90^\circ+\theta)=\frac{\sin(90^\circ+\theta)}{\cos(90^\circ+\theta)}=\frac{\cos\theta}{-\sin\theta}=-\frac{1}{\tan\theta}$