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2次方程式の解の配置問題(応用)

最終更新：2025年10月13日 17:26

math_sugaku

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2次方程式の解の配置問題

2次方程式の解の配置問題の応用問題を扱います。
基本編が理解できていることが必要です。
実数解に範囲が指定されているのは同じですが、少なくとも1つの実数解について問うている問題を扱います。

例題

xについての2次方程式 $x^2-(a+4)x-\frac{a}{2}+10=0$ が $1\leqq x\leqq4$ の範囲に少なくとも1つ実数解をもつとき、定数aの範囲を求めよ。

ここでは2つの解き方を紹介します。

一つ目の解き方
$f(x)=x^2-(a+4)x-\frac{a}{2}+10$ とする。
この時
$f(1)=1-a-4-\frac{a}{2}+10=-\frac{3a}{2}+7$
$f(4)=16-4a-16-\frac{a}{2}+10=-\frac{9a}{2}+10$
また、 $f(x)=0$ の判別式をDとする。
$D=a^2+8a+16+2a-40=a^2+10a-24=(a+12)(a-2)$
問いを
( i ) $1<x<4$ に2つの実数解をもつ。
(i i) $1<x<4$ に一つ、 $x<1,4<x$ に一つずつ実数解を持つ。
(iii) $x=1$ で実数解を持つ。
(iv) $x=4$ で実数解を持つ。
のパターンに分解して考えます。
( i ) $1<x<4$ に2つの実数解をもつとき、
( I ) $f(1)>0$ かつ $f(4)>0$
(I I) $f(x)$ の軸について $1<\frac{a+4}{2}<4$
(III) $D\geqq0$
( I )より $a<\frac{14}{3}$ かつ $a<\frac{20}{9}$
(I I)より $-2<a<4$
(III)より $a\leqq-12,2\leqq a$
よって

$2\leqq a<\frac{20}{9}$

(i i) $1<x<4$ に一つ、 $x<1,4<x$ に一つずつ実数解を持つとき、
「 $f(1)<0$ かつ $f(4)>0$ 」または「 $f(1)>0$ かつ $f(4)<0$ 」であればよいので $f(1)f(4)<0$ になるはずです。
よって $f(1)f(4)=\frac{27a^2}{4}-\frac{93a}{2}+70<0$
$\Leftrightarrow27a^2-186a+280=(3a-14)(9a-20)<0$
$\Leftrightarrow\frac{20}{9}<a<\frac{14}{3}$

$\frac{20}{9}<a<\frac{14}{3}$

(iii) $x=1$ で実数解を持つとき、 $f(1)=0$
よって $f(1)=-\frac{3a}{2}+7=0,a=\frac{14}{3}$

$a=\frac{14}{3}$

(iv) $x=4$ で実数解を持つとき、 $f(4)=0$
よって $f(4)=-\frac{9a}{2}-20=0,a=\frac{20}{9}$
( i )～(iv)より

$2\leqq a\leqq\frac{14}{3}$

二つ目の解き方
aが1次までしかないので $x^2-(a+4)x-\frac{a}{2}+10=0$ より、 $(x^2-4x+10)-(ax+\frac{a}{2})=0$
つまり $x^2-4x+10=a(x+\frac{1}{2})$ と変形できます。
これらの共有点が $1\leqq x\leqq4$ に少なくとも1つあればよいので $f(x)=x^2-4x+10,g(x)=a(x+\frac{1}{2})$ とすると、
$f(1)=7$ であるので $g(1)=\frac{3a}{2}=7$ になればよい。
よって $a=\frac{14}{3}$
また、 $f(4)=10$ であるので $g(4)=\frac{9a}{2}=10$ になればよい。
よって $a=\frac{20}{9}$
$f(x)$ と $g(x)$ が接するときを考えると、 $x^2-(a+4)x-\frac{a}{2}+10=0$ の判別式をDとすると、
$D$
$=a^2+8a+16-2a+40$
$=a^2+10a-24$
$=(a+12)(a-2)$
$=0$
よって $a=-12,a=2$
ここで図を描くと、