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放物線と直線の共有点

最終更新：2025年10月06日 16:29

math_sugaku

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共有点

判別式を利用し放物線と直線(x軸を含む)の共有点の個数や座標について扱います。
※共有点とはある関数のグラフと別の関数のグラフが重なった点のことです。

放物線とx軸の共有点

中学校で、2つのグラフの共有点の座標を求めるときは、2つのグラフを連立して方程式を解けばいいと習ったと思います。
それを利用し放物線 $y=ax^2+bx+c$ とx軸の共有点の座標を求めるときは、x軸は $y=0$ で表されるので、
$\left\{\begin{array}{l}y=ax^2+bx+c\quad-A\\y=0\quad\quad\quad\quad\quad\:\;\:-B\end{array}\right.$
AをBに代入して、
$ax^2+bx+c=0$
この2次方程式を考えればいいです。
実数解が(共有点が)あるかどうかは判別式に従えばいいですね。

放物線 $y=ax^2+bx+c$ とx軸の共有点の個数は、2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式Dの値によって以下のように分類できる。

$D>0$ のとき共有点2個(異なる2点で交わる)

$D=0$ のとき共有点1個(x軸と接する)

$D>0$ のとき共有点なし(交わらない)

※上の図は $a>0$ のときですが、 $a<0$ のときも同じです。

放物線と直線の共有点

x軸の時同様、 $ax^2+bx+c$ と $y=mx+n$ の共有点の座標を求めるときはこれらを連立します。
$\left\{\begin{array}{l}y=ax^2+bx+c\quad-A\\y=mx+n\quad\quad\quad\:-B\end{array}\right.$
AをBに代入して
$ax^2+bx+c=mx+n$
$\iff{ax}^2+(b-m)x+c-n=0$
この2次方程式を考えればいいです。
実数解(共有点)があるかどうかは判別式に従えばいいですね。

放物線 $y=ax^2+bx+c$ と $y=mx+n$ の共有点の個数は、2次方程式 $ax^2+(b-m)x+c-n=0$ の判別式Dの値によって以下のように分類できる。

$D>0$ のとき共有点2個(異なる2点で交わる)

$D=0$ のとき共有点1個(x軸と接する)

$D>0$ のとき共有点なし(交わらない)