概要
高校のデータの分析や統計学で扱う分散と標準偏差について扱います。
数列のシグマ表記を使用しますので見方がわからない人は参照してください。
数列のシグマ表記を使用しますので見方がわからない人は参照してください。
分散と標準偏差
分散
ある高校の定期試験で、数学と家庭科の平均点がどちらも70点だったとします。
この時数学はかなり点が低い人と高い人が混在し、家庭科では皆平均点付近に集中している可能性があります。
このよう平均値という情報から2つの試験はどちらも同じような試験だったと判定することはできません。
この場合2つの試験では散らばり具合が異なります。
散らばりの大きさの指標があると図にしなくてもわかるので便利です。
そこで分散というものが使われます。
この時数学はかなり点が低い人と高い人が混在し、家庭科では皆平均点付近に集中している可能性があります。
このよう平均値という情報から2つの試験はどちらも同じような試験だったと判定することはできません。
この場合2つの試験では散らばり具合が異なります。
散らばりの大きさの指標があると図にしなくてもわかるので便利です。
そこで分散というものが使われます。
まず、それぞれのデータと平均値の差を求めます。
次にこれらの平均値を求めてみましょう。
次にこれらの平均値を求めてみましょう。
あるデータ
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
の平均値との差は#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
で求めるとよいでしょう。
では、これらの平均値は
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
ここで
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
は定数ですから
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
になってしまいます。
これでは情報を得ることができません。
ここでなぜただの引き算だと平均が0になるかというと、
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
が負の数になることがあるからです。
そこで、平均値とデータの差
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
を2乗します。
それらの和の平均値こそが分散で
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
または#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
で表します。
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
また、
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
ここで
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
とすると、
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
よって
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
平均偏差
分散では2乗することで数を正の数に統一していましたが、2乗すると平均値から遠く離れた値との差が大きく開いてしまいます。
そこで絶対値をとったものを平均偏差といいます。
そこで絶対値をとったものを平均偏差といいます。
平均偏差=#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
標準偏差
分散だと2乗しているので例えば身長のデータは
そこで分散の平方根をとることで単位を
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
で表されますが、分散は#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
になってしまいます。
そこで分散の平方根をとることで単位を
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
などにそろえたものを標準偏差といます。
標準偏差：#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
問題
次のデータは英語の10点満点の小テストの#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。と#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。の2クラスの結果である。#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。と#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。の結果をそれぞれ#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。とする。
| x | 2 | 2 | 4 | 8 | 9 |
| y | 0 | 2 | 6 | 7 | 9 |
(1)
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
のデータの平均値#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
をそれぞれ求めよ。
| + | ... |
(2)
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
のデータの分散#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
をそれぞれ求めよ。
| + | ... |
(3)
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
のデータの標準偏差#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
をそれぞれ求めよ。
| + | ... |
(4))
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
のデータについて標準偏差から平均値からの散らばりの度合いを比較せよ。
| + | ... |
次のデータは英語の10点満点の小テストの#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。と#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。の2クラスの結果である。#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。と#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。の結果をそれぞれ#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。とする。
| x | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| y | 0 | 1 | 9 | 10 | 10 |
(1)
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
のデータの平均値#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
をそれぞれ求めよ。
| + | ... |
(2)
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
のデータの分散#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
をそれぞれ求めよ。
| + | ... |
(3)
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
のデータの標準偏差#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
をそれぞれ求めよ。
| + | ... |
(4))
#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。
のデータについて標準偏差から平均値からの散らばりの度合いを比較せよ。
| + | ... |
