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数学 @ ウィキ

変量の変換をした平均と分散

最終更新：2025年10月26日 17:58

math_sugaku

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概要

変量の変換をした平均と分散について扱います。
教科書に記載はほとんどありませんが、入試やその後の統計学で重要な概念です。
数列のシグマ表記を使用しますので見方がわからない人は参照してください。

変量の変換

平均と分散を出すことがデータ分析の主要な目的の1つですが、データの値そのままで計算するよりも、データを小さい値にするなど操作をしてから出した方が簡単になったり異なるデータを比較しやすかったりします。
そこで変量の変換をしてから平均と分散を出すとどういう変化が起こるのか知っておくことは重要です。
今回は特に変量 $x$ を $y=ax+b$ で変換した変量 $y$ の平均と分散を以下でまとめます。

変量 $x$ のデータを $x_k\{k=1,2,3,\cdots,n\}$ とします。
そして $y_k=ax_k+b$ と変換した $y$ について平均や分散を求めます。

$\overline{y}$
$=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^ny_k$

$=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(ax_k+b)$

$=a\frac{1}{n}\sum_{k=1}^ax_k+\frac{1}{n}nb$

$=a\overline{x}+b$

また、
$s_y^2$
$=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(y_k-\overline{y})^2$

$=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\{ax_k+b-(a\overline{x}+b)\}^2$

$=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(ax_k-a\overline{x})^2$

$=a^2\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(x_k-\overline{x})^2$

$=a^2s_x^2$

変量 $x$ のデータ $x_k\{k=1,2,3,\cdots,n\}$ について、 $y_k=ax_k+b$ と変換した $y$ について
$\overline{y}=a\overline{x}+b$
$s_y^2=a^2s_x^2$

問題

次のデータはあるクラス5人の100点満点の数学のテストの結果である。
$89,90,93,95,100$
この変量を $x$ としたとき、次の問いに答えよ。
(1)データの平均値 $\overline{x}$ を求めよ。

+

...

(2)データの分散 $s_x^2$ を求めよ。

+

...

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