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発展事項-トレミーの定理

最終更新：2025年11月28日 18:24

math_sugaku

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概要

数IAの発展的な内容で、入試出題頻度は極めて低いうえに、トレミーの定理を知っていることが前提な出題がされることは考えにくいので、数学が好きな人や余裕のある難関大学志望者向けの公式です。

内接する四角形

上の図において、円に内接する四角形の対角の和が180°になることから

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

が成り立ちます。
よって

#ref error ：画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

この時それぞれについて、
$\cos\angle ABC=\frac{a^2 b^2-e^2}{2ab}\quad\cos\angle BCD=\frac{b^2 c^2-f^2}{2bc}$

$\cos\angle CDA=\frac{c^2 d^2-e^2}{2cd}\quad\cos\angle DAB=\frac{d^2 a^2-f^2}{2da}$ より

$\frac{a^2 b^2-e^2}{2ab}=-\frac{c^2 d^2-e^2}{2cd}\quad\frac{b^2 c^2-f^2}{2bc}=-\frac{d^2 a^2-f^2}{2da}$
それぞれについて、
$a^2cd b^2cd-cde^2=-abc^2-abd^2 abe^2$
$(a^2cd abc^2) (b^2cd abd^2)=ac(ad bc) bd(bc ad)=(ac bd)(ad bc)$
$=(ab cd)e^2$
$e^2=\frac{(ac bd)(ad bc)}{ab cd}$
となりまた、
$ab^2d ac^2d-adf^2=-a^2bc-bcd^2 bcf^2$
$(ab^2d a^2bc) (ac^2d bcd^2)=ab(bd ac) cd(ac bd)=(ab cd)(ac bd)$
$=(ad bc)f^2$
$f^2=\frac{(ab cd)(ac bd)}{ad bc}$
ここで、
$e^2f^2=\frac{(ac bd)(ad bc)}{ab cd}\cdot\frac{(ab cd)(ac bd)}{ad bc}=(ac bd)^2$ となるので
$ef,ac bd>0$ より
$ef=ac bd$

結論

上図において、

$ac bd=ef$
(対角線の積=向かい合わせの辺の積+向かい合わせの辺の積)

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