組分け問題 全パターン
概要
「組分け問題」とは、n 個のモノ（または人）をいくつかの組に分ける問題の総称。
重要なのは次の3つだけ：
1. モノ（人）を区別するか
2. 組を区別するか（A班・B班などがあるか）
3. 組のサイズが指定されているか
4. 0個（人）の組があっていいか
この4条件の組み合わせで、実は 全問題は10パターン に分類できる。
重要なのは次の3つだけ：
1. モノ（人）を区別するか
2. 組を区別するか（A班・B班などがあるか）
3. 組のサイズが指定されているか
4. 0個（人）の組があっていいか
この4条件の組み合わせで、実は 全問題は10パターン に分類できる。
分類表（完全版）
| モノ区別 | 組区別 | 組人数 | 0個組 | パターン | 内容 |
| する | する | 指定あり | なし/あり | (1) | 組合せ |
| する | しない | 指定あり | なし/あり | (2) | 組合せ ÷ 重複度 |
| する | する | 指定なし | 0組OK | (3) | 重複順列 |
| する | する | 指定なし | 0組なし | (4) | 重複順列 |
| する | しない | 指定なし | 0組OK | (5) | 重複順列 ÷ 重複度 |
| する | しない | 指定なし | 0組なし | (6) | 重複順列 ÷ 重複度 |
| しない | する | 指定なし | 0組OK | (7) | 重複組合せ |
| しない | する | 指定なし | 0組なし | (8) | 重複組合せ（◯を事前分配） |
| しない | しない | 指定なし | 0組OK | (9) | 書き出し |
| しない | しない | 指定なし | 0組なし | (10) | 書き出し |
以下、各パターンを短く解説。
(1) モノ区別・組区別・人数指定 → 組合せ
例えば：
- 「A班3人、B班4人にわける」
ABCEFGH
↑人数は固定なのでABCとEFGHの組み合わせ。
↑人数は固定なのでABCとEFGHの組み合わせ。
(2) モノ区別・組無区別・人数指定 → 組合せ ÷ 重複度
例えば：
- 「6人を2人組・2人組・2人組に分ける（区別できない）」
注意：今回は人数は同じだが人数が違う時は区別できる！
(1)から組の並べ替えパターン（組の数!）を割る。
(3) モノ区別・組区別・人数指定なし・0組OK → 重複順列
例えば：
- 「6人を A/B/C の3つのグループに自由に入れる（空組OK）」
1人がA/B/Cに入るかで3通り。
それが6人で
。
それが6人で
(4) モノ区別・組区別・人数指定なし・0組なし → 重複順列（空禁止）
例えば：
- 「6人を A/B/C の3チームに分ける。ただし空チームなし」
空チーム1つと空チーム2つの状況を引く。
空チーム1つに空チーム2つの状況が含まれないように注意。
空チーム1つに空チーム2つの状況が含まれないように注意。
- 空チーム2つ
空にしないチームの選び方：3パターン
残り1チームにメンバーを好き勝手入れる→
残り1チームにメンバーを好き勝手入れる→
- 空チーム1つ
空にするチームの選び方：3パターン
残り2チームにメンバーを好き勝手入れる→
...のうち、空チーム2つになるのは2パターン。
残り2チームにメンバーを好き勝手入れる→
...のうち、空チーム2つになるのは2パターン。
(5) モノ区別・組無区別・人数指定なし・0組OK
例えば：
- 「6人を3組に分ける（組に名前なし）」
(4)から組を区別した時
空きチームがないのは540通り
空きチームが1つなのは186通り
空きチームが2つなのは3通り
とわかる。これを区別しないようにした時、
空きチームがないのは540通り
空きチームが1つなのは186通り
空きチームが2つなのは3通り
とわかる。これを区別しないようにした時、
空きチームがないのは
空きチームが1つなのは
空きチームが2つなのは
（チームが一つだけなので3!ではなく3）
全部を足して
(6) モノ区別・組無区別・人数指定なし・0組なし
例えば：
- 「7人を何組かに分ける。ただし空チームなし」
(5)のやり方から空きチームなしだけにすればいい。
空きチームがないのは
答え
答え
(7) モノ無区別・組区別・人数指定なし・0組OK → 重複組合せ
例えば：
- 「区別できないボール6個をA/B/Cにグルーピングし、個数は自由」
(8) モノ無区別・組区別・人数指定なし・0組なし → 重複組合せ（事前に◯を1個ずつ配る）
例えば：
- 「区別できないボール6個をA/B/Cにグルーピングし、個数は自由。でも一個もないのはダメ。」
グループに先に分配すれば絶対に0個になることはない。
先に分配するボールの並べ替えで1パターン。
そして後のボールに(7)を使う。
○○○に仕切り棒を二つ。
先に分配するボールの並べ替えで1パターン。
そして後のボールに(7)を使う。
○○○に仕切り棒を二つ。
(9) モノ無区別・組無区別・人数指定なし・0組OK → 書き出し
例えば：
- 「区別のつかない6つの球を3組に分ける」
公式とかはないので全部書いてゴリ押し。
(0,0,6)(0,1,5)(0,2,4)(0,3,3)(1,1,4)(1,3,2)(2,2,2)全部で
パターン。
(0,0,6)(0,1,5)(0,2,4)(0,3,3)(1,1,4)(1,3,2)(2,2,2)全部で
(10) モノ無区別・組無区別・人数指定なし・0組なし → 書き出し
例えば：
- 「区別のつかない6つの球を3組に分ける。さらに0個の組無し。」
こちらも公式とかはないので全部書いてゴリ押し。
(1,4,1)(1,3,2)(2,2,2)全部で
パターン。
(1,4,1)(1,3,2)(2,2,2)全部で
まとめ
組分け問題は「モノを区別？」「組を区別？」「人数指定？」「空組OK？」の4つだけで分類できる。
上の表を使えば、どんな問題も必ず対応するパターンが見つかる。
上の表を使えば、どんな問題も必ず対応するパターンが見つかる。
