管理メニュー

Kummer07_9

最終更新：

kummer

- view
だれでも歓迎！ 編集
最終更新日時 2011年03月09日 (水) 22時49分30秒

代数的整数論 007　(711-810)


711 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 12:38:26 
   命題
   X を局所コンパクト空間とする。
   K(X) (>>708) の各元 f は有界である。


   さらに、f は X のある点で最大値をもつ。
   同様に、f は X のある点で最小値をもつ。


   証明
   A = Supp(f) とおく。


   f(X) = f(A) ∪ {0}
   または
   f(X) = f(A)
   である。


   A はコンパクトであるから f(A) もコンパクトである。
   よって、f(X) もコンパクトであり有界である。


   f(X) は閉集合だから sup f(x) ∈ f(X), inf f(x) ∈ f(X)
   となる。
   よって
   f は X のある点で最大値をもち、X のある点で最小値をもつ。
   証明終

712 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 12:41:55 
   定義
   X を局所コンパクト空間とする。
   K(X) (>>708) の元 f に対して
   |f|_b = sup{|f(x)| | x ∈ X } と書く。


   >>711 より |f|_b は有限である。


   明らかに |f|_b は線形空間 K(X) のノルム(過去スレ006の561)である。

713 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 13:03:17 
   定義
   X を局所コンパクト空間とする。


   K+(X) = {f ∈ K(X, R) | f ≧ 0 } と書く。
714 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 13:08:25 
   定義
   X を局所コンパクト空間とする。


   K(X, R) 8>>708) から R への(必ずしも連続とは限らない)線形写像 L で
   f ≧ 0 なら L(f) ≧ 0 となるもの全体を M+(X) と書く。

715 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 13:09:28 
   >>714 を次のように修正する。


   定義
   X を局所コンパクト空間とする。


   K(X, R) (>>708) から R への (必ずしも連続とは限らない) 線形写像 L で
   f ≧ 0 なら L(f) ≧ 0 となるもの全体を M+(X) と書く。

716 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 13:22:44 
   補題
   L を M+(X) (>>715) の元とする。


   K(X, R) (>>708) の任意の元 f に対して
   |L(f)| ≦ L(|f|) である。


   証明
   -|f| ≦ f ≦ |f| より、


   L の線形性と正値性を使って、
   -L(|f|) ≦ L(f) ≦ L(|f|) となる。


   即ち、
   |L(f)| ≦ L(|f|) である。
   証明終

717 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 13:38:46 
   命題
   L を M+(X) (>>715) の元とする。
   K を X の任意のコンパクト部分集合とする。


   K のみによって決まる定数 M(K) ≧ 0 が存在し、
   Supp(f) ⊂ K なら


   |L(f)| ≦ M(K)|f|_b


   ここで、|f|_b は f のノルムである(>>712)。


   証明
   >>706 より、連続関数 h : X → [0, 1] で
   コンパクトな台を持ち、K の上で 1 となるものが存在する。
   h ∈ K+(X) である。


   Supp(f) ⊂ K だから、
   |f| ≦ (|f|_b)h


   よって、
   L(|f|) ≦ (|f|_b)L(h)


   >>716 より
   |L(f)| ≦ L(|f|)


   よって
   |L(f)| ≦ (|f|_b)L(h)


   M(K) = L(h) とすればよい。
   証明終

718 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 13:42:12 
   命題
   X をコンパクト空間とする。
   M+(X) (>>715) の任意の元 L は K(X) のノルム | |_b に関して
   連続である。


   証明
   >>717 より明らかである。

719 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 14:03:02 
   X を局所コンパクト空間とする。
   M+(X) (>>715) の任意の元 L を固定する。


   K を X の任意のコンパクト部分集合とする。


   >>706 より、連続関数 h : X → [0, 1] で
   コンパクトな台を持ち、K の上で 1 となるものが存在する。
   h ∈ K+(X) である。


   従って、集合 {f ∈ K+(X) | f ≧ χ_K} は空ではない。
   ここで、χ_K は K の特性関数である。


   μ(K) = inf { L(f) | f ≧ χ_K} と書く。

720 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 14:16:16 
   命題
   >>719 において、


   (1) 0 ≦ μ(K) ＜ +∞


   (2) K_1 ⊂ K_2 なら μ(K_1) ⊂ μ(K_2)


   (3) μ(K_1 ∪ K_2) ≦ μ(K_1) + μ(K_2)


   (4) K_1 ∩ K_2 = φ なら μ(K_1 ∪ K_2) = μ(K_1) + μ(K_2)


   証明
   (1) と (2) は自明である。


   (3) と (4) は別々に証明する。
721 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 16:01:55 
   >>720 の (3) の証明


   任意の ε ＞ 0 に対して
   f_1 ≧ χ_(K_1)
   L(f_1) ＜ μ(K_1) + ε


   f_2 ≧ χ_(K_1)
   L(f_2) ＜ μ(K_2) + ε


   となる K+(X) の元 f_1 と f_2 がある。


   f_1 + f_2 ≧ χ_(K_1 ∪ K_2)
   であるから
   μ(K_1 ∪ K_2) ≦ L(f_1 + f_2) ＜ μ(K_1) + μ(K_2) + 2ε


   よって、
   μ(K_1 ∪ K_2) ≦ μ(K_1) + μ(K_2)
   証明終

722 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 16:13:37 
   >>720 の (4) の証明


   任意の ε ＞ 0 に対して
   f ≧ χ_(K_1 ∪ K_2)
   L(f) ＜ μ(K_1 ∪ K_2) + ε
   となる f ∈ K+(X) がある。


   >>706 より、連続関数 h : X → [0, 1] で
   コンパクトな台を持ち、K_1 の上で 1 となり、
   K_2 の上で 0 となるものが存在する。


   f_1 = fh とおく。
   f_1 ∈ K+(X) で f_1 ≧ χ_(K_1) である。


   f_2 = f - f_1 とおく。
   f_2 ∈ K+(X) で f_2 ≧ χ_(K_2) である。


   f = f_1 + f_2 であるから
   μ(K_1) + μ(K_2) ≦ L(f_1) + L(f_2) = L(f) ＜ μ(K_1 ∪ K_2) + ε


   よって
   μ(K_1) + μ(K_2) ≦ μ(K_1 ∪ K_2)


   >>720 の (3) と合わせて
   μ(K_1 ∪ K_2) = μ(K_1) + μ(K_2)
   証明終

723 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 16:20:45 
   定義
   X を局所コンパクト空間とする。
   X のコンパクトな部分集合全体を Γ(X) と書く。
   Γ(X) から R への写像 μ で >>720 の (1) ～ (4) を満たすものを
   容量(content)と言う。
724 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 16:28:47 
   定義
   X を局所コンパクト空間とする。


   X の部分集合 A は X のコンパクトな部分集合 K が存在して
   A ⊂ K となるとき有界と言う。


   コンパクトな部分集合の可算列 (K_n), n ≧ 0 が存在して
   A ⊂ ∪K_n となるとき A は σ-有界と言う。
725 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 16:37:09 
   X を局所コンパクト空間とする。
   X の容量(>>723) μ を一つ選び、固定する。


   σ-有界(>>724)な開集合 U に対して


   μ(U) = sup {μ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U }


   と書く。


   U がコンパクトな開集合であれば、明らかに μ(U) = μ(K) であるから
   この定義は矛盾しない。

726 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 16:49:51 
   命題
   >>725 の条件を仮定する。


   U, U_n, n = 0, 1, 2, . . . は σ-有界(>>724)な開集合とする。


   (1) 0 ≦ μ(U) ≦ +∞


   (2) U が有界なら μ(U) ＜ +∞


   (3) U_1 ⊂ U_2 なら μ(U_1) ⊂ μ(U_2)


   (4) μ(∪U_n) ≦ Σμ(U_n)


   (5) i ≠ j なら U_i ∩ U_j = φ なら
   μ(∪U_n) = Σμ(U_n)


   証明
   (1) は明らかである。


   (2)
   U が有界なら U ⊂ K となるコンパクト集合 K がある。


   K_1 がコンパクトで K_1 ⊂ U なら K_1 ⊂ K だから
   μ(K_1) ≦ μ(K_2) ＜ +∞


   よって、
   μ(U) ≦ μ(K_2) ＜ +∞


   (3) は明らかである。


   (4) と (5) は別々に証明する。
727 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 17:22:31 
   補題
   X を局所コンパクト空間とする。
   K を X のコンパクトな部分集合とする。


   K ⊂ U_1 ∪ U_2 となる X の開集合 U_1, U_2 があるとする。


   K = K_1 ∪ K_2
   K_1 ⊂ U_1
   K_2 ⊂ U_2


   となるコンパクトな K_1, K_2 が存在する。


   証明
   A = K - U_1 と B = K - U_2 は交わらず、それぞれコンパクトである。


   A ⊂ X - B だから >>704 より A ⊂ U_3 ⊂ (U_3)~ ⊂ X - B となる
   開集合 U_3 がある。
   U_4 = X - (U_3)~ とすれば
   B ⊂ U_4 で U_3 ∩ U_4 = φ である。


   K_1 = K - U_3
   K_2 = K - U_4
   とすれば


   K = K_1 ∪ K_2 となり(何故なら U_3 ∩ U_4 = φ)、
   K_1 ⊂ U_1 となり(何故なら K - U_1 = A ⊂ U_3)、
   K_2 ⊂ U_2 となる(何故なら K - U_2 = B ⊂ U_4)。
   証明終

728 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 17:38:03 
   >>726 の (4) の証明


   まず
   μ(U_1 ∪ U_2) ≦ μ(U_1) + μ(U_2) を証明する。


   K ⊂ U_1 ∪ U_2 となる任意のコンパクトな K に対して、
   >>727 より


   K = K_1 ∪ K_2
   K_1 ⊂ U_1
   K_2 ⊂ U_2


   となるコンパクトな K_1, K_2 が存在する。


   μ(K) ≦ μ(K_1) + μ(K_2) ≦ μ(U_1) + μ(U_2)
   よって、μ(K) の sup をとって、
   μ(U_1 ∪ U_2) ≦ μ(U_1) + μ(U_2)


   これから、任意の有限列 U_1, . . . , U_n に対して
   μ(U_1 ∪ . . . ∪ U_n) ≦ μ(U_1) + . . . + μ(U_n)


   無限列 (U_n) に対しては、ある m が存在して
   K ⊂ ∪U_n となる任意のコンパクトな K に対して、
   K ⊂ U_1 ∪ . . . ∪ U_m となる。


   μ(K) ≦ μ(U_1 ∪ . . . ∪ U_m)
   ≦ μ(U_1) + . . . + μ(U_m)
   ≦ Σμ(U_n)


   よって、μ(K) の sup をとって、
   μ(∪U_n) ≦ Σμ(U_n)
   証明終

729 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 17:49:42 
   >>728


   n が 1 から始まっているが、番号を付け替えれば同じことだろう。

730 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 18:07:40 
   >>726 の (5) の証明


   ある m に対して μ(U_m) = +∞ なら


   U_m ⊂ ∪U_n だから μ(∪U_n) = +∞ となる。
   Σμ(U_n) = +∞ だから μ(∪U_n) = Σμ(U_n)


   よって、各 n に対して μ(U_n) ＜ +∞ としてよい。


   任意の ε ＞ 0 と各 n に対して
   μ(U_n) ＜ μ(K_n) + ε/2^n
   となるコンパクトな K_n がある。


   Σ1/2^n = 1 + 1/2 + 1/4 + . . . = 1/(1 - 1/2) = 2
   よって Σε/2^n = 2ε


   i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ だから >>720 の (4) より、


   μ(U_0) + . . . + μ(U_m) ＜ μ(K_0) + . . . + μ(K_m) + 2ε
   = μ(K_0 ∪ . . . ∪ K_m) + 2ε ≦ μ(∪U_n) + 2ε


   m → ∞ として
   Σμ(U_n) ≦ μ(∪U_n) + 2ε


   ε ＞ 0 は任意だから
   Σμ(U_n) ≦ μ(∪U_n)


   逆向きの不等号は >>728 で証明済みだから
   μ(∪U_n) = Σμ(U_n)
   証明終

731 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 18:15:26 
   このあたり現代数学概説 II ( 岩波書店) を参考にしている。
   しかし Halmos とだぶっている箇所もある。


   局所コンパクト空間における Riesz の表現定理に関しては
   現代数学概説 II と Halmos は方法がほとんど同じである。
   しかし、現代数学概説 II のほうがややわかりやすいと思う。

732 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 18:24:46 
   命題
   X を局所コンパクト空間とする。
   X のσ-有界(>>724)な部分集合全体 Ψ は σ-集合環(>>197)である。


   証明
   明らかだろう。
733 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 18:31:44 
   命題
   X を局所コンパクト空間とする。
   A を X の任意のσ-有界(>>724)な部分集合とする。


   A ⊂ U となる σ-有界な開集合 U が存在する。


   証明
   K を X の任意のコンパクト集合とする。


   A はσ-有界だから、コンパクトな部分集合の可算列 (K_n), n ≧ 0 が
   存在して A ⊂ ∪K_n となる。


   >>703 より、各 n に対して、
   K_n ⊂ U_n ⊂ (U_n)~ となる開集合 U_n で (U_n)~ がコンパクトと
   なるものが存在する。


   U = ∪U_n が求めるものである。
   証明終

734 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 18:37:07 
   >>725 の条件を仮定する。


   >>732 より、X のσ-有界(>>724)な部分集合全体 Ψ は
   σ-集合環(>>197)である。


   A ∈ Ψ に対して
   μ^*(A) = inf {μ(U) | A ⊂ U, U はσ-有界な開集合}
   と定義する。


   >>733 より {μ(U) | A ⊂ U, U はσ-有界な開集合} は空でない。
735 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 18:46:56 
   残念なことに >>734 の μ^* は測度(>>316)とは限らない。
   この μ^* の定義域を狭めて測度を構成するのが Caratheodory の
   方法(の一種)である。

736 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 19:39:33 
   736

737 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:25:04 
   a

738 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:25:34 
   b

739 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:26:04 
   c

740 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:26:35 
   d

741 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:27:06 
   e

742 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:27:36 
   f

743 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:28:06 
   g

744 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:29:07 
   h

745 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:29:38 
   i

746 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:30:08 
   j

747 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:30:38 
   k

748 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:31:08 
   l

749 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:31:38 
   m

750 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:32:08 
   n

751 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:32:46 
   o

752 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:33:16 
   p

753 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:33:46 
   q

754 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:34:16 
   r

755 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:34:46 
   s

756 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:35:17 
   t

757 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:35:48 
   u

758 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:36:19 
   v

759 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:36:49 
   w

760 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:37:19 
   x

761 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 20:37:23 
   命題
   >>734 の条件を仮定する。


   A, B, A_n, n = 0, 1, 2, . . . は σ-有界(>>724)な部分集合とする。


   (1) 0 ≦ μ^*(A) ≦ +∞


   (2) μ^*(φ) = 0


   (3) A ⊂ B なら μ^*(A) ⊂ μ^*(B)


   (4) μ^*(∪A_n) ≦ Σμ^*(A_n)


   証明
   (1) は明らかである。


   (2)
   >>720 の (4) より μ(φ) = μ(φ) + μ(φ)


   >>720 の (1) より μ(φ) ＜ +∞
   であるから
   μ(φ) = 0 である。
   よって μ^*(φ) = 0 である。


   (3)
   B ⊂ U, U はσ-有界な開集合とする。
   A ⊂ U だから
   μ^*(A) ≦ μ(U) である。
   右辺の inf をとって
   μ^*(A) ≦ μ^*(B)


   (4) の証明は別にする。
762 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:38:34 
   y

763 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 20:39:06 
   z

764 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 20:51:45 
   >>761 の (4) の証明


   ある m に対して μ^*(A_m) = +∞ なら


   A_m ⊂ ∪A_n だから >>761 の (3) より μ^*(∪A_n) = +∞ となる。
   Σμ^*(A_n) = +∞ だから μ^*(∪A_n) = Σμ^*(A_n)


   よって、各 n に対して μ^*(A_n) ＜ +∞ としてよい。


   任意の ε ＞ 0 と各 n に対して
   μ(U_n) ＜ μ^*(A_n) + ε/2^n
   A_n ⊂ U_n となるσ-有界な開集合 U_n がある。


   Σ1/2^n = 1 + 1/2 + 1/4 + . . . = 1/(1 - 1/2) = 2
   よって Σε/2^n = 2ε


   ∪A_n ⊂ ∪U_n だから >>726 の (4) より
   μ^*(∪A_n) ≦ μ(∪U_n) ≦ Σμ(U_n) ≦ Σμ^*(A_n) + 2ε
   ε ＞ 0 は任意だから
   μ^*(∪A_n) ≦ Σμ(A_n)
   証明終

765 ：１３２人目の素数さん：2007/09/07(金) 21:00:18 
   a

766 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 21:03:11 
   定義
   集合 X の上の σ-集合環(>>197) Ψ が、条件
   A ∈ Ψ, B ⊂ A なら B ∈ Ψ
   を満たすとする。


   Ψ から補完数直線 R~ (>>7) への写像 μ^* が次の条件を満たすとき
   μ^* を外測度と言う。


   A, B, A_n, n = 0, 1, 2, . . . は Ψ に属す集合とする。


   (1) 0 ≦ μ^*(A) ≦ +∞


   (2) μ^*(φ) = 0


   (3) A ⊂ B なら μ^*(A) ⊂ μ^*(B)


   (4) μ^*(∪A_n) ≦ Σμ^*(A_n) (劣加法性)
767 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 22:15:43 
   定義
   集合 X の部分集合からなる集合 Ψ が、条件
   A ∈ Ψ, B ⊂ A なら B ∈ Ψ
   を満たすとする。


   このとき、Ψ を遺伝的であると言う。
768 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 22:25:01 
   定義
   Ψ を集合 X 上の遺伝的(>>767)なσ-集合環(>>197)とする。
   μ^* を Ψ で定義された外測度(>>766)とする。
   E ∈ Ψ が任意の A ∈ Ψ に対して


   μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)


   となるとき、E を (μ^*)-可測と言う。
   ここで、E^c は E の補集合 X - A を表す。
769 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 22:35:21 
   測度論の初期の段階において、>>768 のこの定義が一番わかりにくいと
   思う。
   高木の解析概論では、R^n における Lebesgue 積分の場合にある程度
   納得のいく説明をしている。


   しかし、積分を使う立場からは、この定義を鵜呑みにして先に進むのが
   得策だろう。

770 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 22:59:43 
   命題
   Ψ を集合 X 上の遺伝的(>>767)なσ-集合環(>>197)とする。
   μ^* を Ψ で定義された外測度(>>766)とする。


   E と F が (μ^*)-可測(>>768)なら E ∪ F も (μ^*)-可測である。


   証明(Halmos)
   任意の A ∈ Ψ に対して


   (1) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)
   (2) μ^*(A ∩ E) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c)
   (3) μ^*(A ∩ E^c) = μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c)
   である。


   (1) の右辺に (2) と (3) を代入して、


   (4) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c)
   + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c)


   (4) の A を A ∩ (E ∪ F) で置き換えると、右辺の最後の項が消えて、


   (5) μ^*(A ∩ (E ∪ F)) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c)
   + μ^*(A ∩ E^c ∩ F)


   (4) の右辺に (5) を代入して、


   (6) μ^*(A) = μ^*(A ∩ (E ∪ F)) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c)
   = μ^*(A ∩ (E ∪ F)) + μ^*(A ∩ (E ∪ F)^c)


   よって E ∪ F は (μ^*)-可測である。
   証明終
771 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 23:17:59 
   >>770 の別証(高木)


   任意の A ∈ Ψ に対して


   (1) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)
   (2) μ^*(A ∩ E^c) = μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c)


   よって、
   (3) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F)
   + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c)


   (1) の A を A ∩ (E ∪ F) に置き換えて、


   μ^*(A ∩ (E ∪ F)) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F)


   (3) から
   μ^*(A) = μ^*(A ∩ (E ∪ F)) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c)
   証明終
772 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 23:19:27 
   >>771


   高木の証明のほうがわかり易いようだ。

773 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 23:33:29 
   命題
   Ψ を集合 X 上の遺伝的(>>767)なσ-集合環(>>197)とする。
   μ^* を Ψ で定義された外測度(>>766)とする。


   E と F が (μ^*)-可測(>>768)なら E - F も (μ^*)-可測である。


   証明
   任意の A ∈ Ψ に対して >>770 の


   (4) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c)
   + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c)


   が成り立つ。


   A を A ∩ (E - F)^c = A ∩ (E^c ∪ F) に置き換えると、


   μ^*(A ∩ (E - F)^c) = μ^*(A ∩ E ∩ F)
   + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c)


   これを (4) に代入して、


   μ^*(A) = μ^*(A ∩ E ∩ F^c) + μ^*(A ∩ (E - F)^c)


   よって、E - F は (μ^*)-可測である。
   証明終

774 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 23:48:36 
   >>773 の別証(高木の>>771を応用)


   任意の A ∈ Ψ に対して、>>771 の


   (3) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F)
   + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c)


   が成り立つ。


   A を A ∩ (E - F)^c = A ∩ (E^c ∪ F) に置き換えると、


   μ^*(A ∩ (E - F)^c) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F)
   + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c)


   μ^*(A ∩ E) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c)
   だから (3) より


   μ^*(A) = μ^*(A ∩ E ∩ F^c) + μ^*(A ∩ (E - F)^c)
   証明終

775 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/07(金) 23:54:01 
   >>770 の
   (4) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c)
   + μ^*(A ∩ E^c ∩ F) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c)


   と >>771 の
   (3) μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c ∩ F)
   + μ^*(A ∩ E^c ∩ F^c)


   は、ほとんど同じことに気づいた。
   何故なら、
   μ^*(A ∩ E) = μ^*(A ∩ E ∩ F) + μ^*(A ∩ E ∩ F^c)

776 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 00:28:07 
   補題
   Ψ を集合 X 上の遺伝的(>>767)なσ-集合環(>>197)とする。
   μ^* を Ψ で定義された外測度(>>766)とする。


   E_1, . ., E_n が (μ^*)-可測(>>768)で
   i ≠ j のとき E_i ∩ E_j = φ とする。
   S_n = E_1 ∪ . . . ∪ E_n とおく。


   任意の A ∈ Ψ に対して


   μ^*(A)
   = μ^*(A ∩ E_1) + ... + μ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ (S_n)^c)


   証明
   n に関する帰納法を使う。
   n = 1 のときは
   μ^*(A) = μ^*(A ∩ E_1) + μ^*(A ∩ (E_1)^c) だからよい。


   μ^*(A)
   = μ^*(A ∩ E_1) + ... + μ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ (S_n)^c)
   が成り立つとする。


   μ^*(A ∩ (S_n)^c)
   = μ^*(A ∩ (S_n)^c ∩ E_(n+1)) + μ^*(A ∩ (S_n)^c ∩ E_(n+1)^c)
   = μ^*(A ∩ E_(n+1)) + μ^*(A ∩ (S_(n+1))^c)


   μ^*(A)
   = μ^*(A ∩ E_1) + ... + μ^*(A ∩ E_(n+1))
   + μ^*(A ∩ (S_(n+1))^c)
   証明終

777 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 00:49:00 
   命題
   Ψ を集合 X 上の遺伝的(>>767)なσ-集合環(>>197)とする。
   μ^* を Ψ で定義された外測度(>>766)とする。
   (E_n), n = 1, 2, ... を (μ^*)-可測(>>768)な集合列で、
   i ≠ j のとき E_i ∩ E_j = φ とする。
   E = ∪E_n とおく。


   E は (μ^*)-可測であり、
   μ^*(E) = Σμ^*(E_n) となる。
   さらに、任意の A ∈ Ψ に対して
   μ^*(A ∩ E) = Σμ^*(A ∩ E_n) となる。


   証明
   任意の A ∈ Ψ に対して、>>776 より
   μ^*(A)
   = μ^*(A ∩ E_1) + ... + μ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ (S_n)^c)
   ≧ μ^*(A ∩ E_1) + ... + μ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ E^c)


   n は任意だから μ^* の劣加法性(>>766 の (4))より、
   μ^*(A) ≧ Σμ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ E^c)
   ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)
   逆向きの不等式は μ^* の劣加法性より成り立つから
   μ^*(A) = Σμ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ E^c)
   = Σμ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)
   よって E は (μ^*)-可測である。


   μ^*(A) = Σμ^*(A ∩ E_n) + μ^*(A ∩ E^c)
   の A を A ∩ E で置き換えれば
   μ^*(A ∩ E) = Σμ^*(A ∩ E_n)
   この A を E で置き換えれば
   μ^*(E) = Σμ^*(E_n)
   証明終

778 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 01:09:02 
   命題
   Ψ を集合 X 上の遺伝的(>>767)なσ-集合環(>>197)とする。
   μ^* を Ψ で定義された外測度とする。


   (μ^*)-可測(>>768)な集合全体 Φ は σ-集合環であり、
   μ^* を Φ に制限したものは Φ における測度(>>316)である。


   証明
   E が空集合なら、任意の A ∈ Ψ に対して
   μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)
   よって、空集合は (μ^*)-可測である。


   よって、>>770 と >>773 より Φ は集合環(>>189)である。


   (A_n), n = 1, 2, ... を (μ^*)-可測な集合列とする。


   E_1 = A_1
   E_2 = A_2 - A_1


   一般に、
   E_n = A_n - (A_1 ∪ . . . ∪ A_(n-1))
   とおく。


   各 E_n は (μ^*)-可測であり、
   ∪E_n = ∪A_nで、 n ≠ m のとき E_n と E_m は交わらない。
   よって、>>777 より ∪A_n は (μ^*)-可測である。
   よって、Φ は σ-集合環である。


   >>776 の (2) より μ^*(φ) = 0 であるから、
   >>777 より μ^* を Φ に制限したものは Φ における測度である。
   証明終

779 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 01:16:26 
   定義
   測度空間 (X, Φ, μ) が完備とは、任意の零集合のすべての部分集合が
   零集合となることを言う。

780 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 01:18:58 
   定義
   Ψ を集合 X 上の遺伝的(>>767)なσ-集合環(>>197)とする。
   μ^* を Ψ で定義された外測度とする。
   >>778 より、
   (μ^*)-可測(>>768)な集合全体 Φ は σ-集合環であり、
   μ^* を Φ に制限したものは Φ における測度(>>316)である。


   この測度を外測度 μ^* により誘導された測度と言う。

781 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 01:31:35 
   命題
   Ψ を集合 X 上の遺伝的(>>767)なσ-集合環(>>197)とする。
   μ^* を Ψ で定義された外測度とする。
   外測度 μ^* により誘導された測度(>>780)は完備(>>779)である。


   証明
   E ∈ Ψ で、μ^*(E) = 0 とする。


   任意の A ∈ Ψ に対して、μ^*(A ∩ E) = 0 であるから
   μ^*(A) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)
   よって、E は (μ^*)-可測である。


   F ∈ Ψ で F ⊂ E なら μ^*(F) = 0 である。
   よって F は (μ^*)-可測である。
   証明終

782 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 02:49:34 
   訂正


   >>781
   >F ∈ Ψ で F ⊂ E なら μ^*(F) = 0 である。


   Ψ は遺伝的(>>767)だから F ⊂ E なら F ∈ Ψ で μ^*(F) = 0 である。


   Ψ が遺伝的であることを使っているのは今のところ
   ここだけである。

783 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:34:19 
   a

784 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:34:49 
   b

785 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:35:19 
   c

786 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:35:49 
   d

787 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:36:21 
   e

788 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:36:51 
   f

789 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:37:22 
   g

790 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:37:57 
   h

791 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:38:27 
   i

792 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:38:57 
   j

793 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:39:27 
   k

794 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:39:58 
   l

795 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:40:28 
   m

796 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:40:58 
   n

797 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:42:01 
   o

798 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:42:32 
   p

799 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:43:02 
   q

800 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:43:33 
   r

801 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:44:03 
   s

802 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:44:34 
   t

803 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:45:04 
   u

804 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:45:34 
   v

805 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:46:12 
   w

806 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:46:43 
   x

807 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:47:43 
   y

808 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 03:48:13 
   z

809 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 07:41:37 
   定義
   X を局所コンパクト空間とする。
   >>732 より、X のσ-有界(>>724)な部分集合全体 Ψ は
   σ-集合環(>>197)である。
   明らかに Ψ は遺伝的(>>767)である。


   μ を X の容量(>>723) とする。


   開集合 U ∈ Ψ に対して
   μ(U) = sup {μ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U }
   と書き、


   A ∈ Ψ に対して
   μ^*(A) = inf {μ(U) | A ⊂ U, U はσ-有界な開集合}
   と書く。


   >>761 より μ^* は Ψ で定義された外測度(>>766)である。
   μ^* を容量 μ から誘導された外測度と言う。
810 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 09:41:18 
   a

タグ：

コメント:
「Kummer07_9」をウィキ内検索
Kummer's Mathematical Notes
人気記事ランキング
  1. Log/Kummer04_5
もっと見る
最近更新されたページ
もっと見る
人気タグ「Atiyah-MacDonald」関連ページ
もっと見る
人気記事ランキング
  1. Log/Kummer04_5
もっと見る
最近更新されたページ
もっと見る
ウィキ募集バナー