最終更新日時 2011年03月05日 (土) 00時19分12秒
代数的整数論 ＃003 (801-900)
元スレ： http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/801-900
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1141019088/801-900
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1141019088/801-900
801 ：１３２人目の素数さん：2006/11/12(日) 00:59:05
74
802 ：１３２人目の素数さん：2006/11/13(月) 16:59:15
>>796 >だとしたら、天に唾しているんじゃねえか？
このセリフが限りなくクマーくさいｗ
803 ：１３２人目の素数さん：2006/11/13(月) 17:09:04
俺はどっちの味方でもないけど 天に例えるってすごいなw いわゆるゴッドか
804 ：１３２人目の素数さん：2006/11/13(月) 17:37:31
そういじめるな。見物を楽しむのもいいだろ。
805 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/13(月) 19:49:15
>>793 の続き。
Φ_0 の核を求める。
h(X) ∈ Z[X] で Φ_0(h(θ)) = 0 とする。 Φ_0(h(θ)) = h~(ω_0) = 0 だから h(X) ≡ g_0(X)T(X) (mod p) となる T(X) ∈ Z[X] がある。 よって h(X) = g_0(X)T(X) + pR(X) となる R(X) ∈ Z[X] がある。 よって、h(θ) = g_0(θ)T(θ) + pR(θ) となる。 つまり、h(θ) は Z[θ] において p と g_0(θ) で生成されるイデアル (p, g_0(θ)) に含まれる。 つまり Ker(Φ_0) ⊂ (p, g_0(θ)) である。 逆の包含関係は明らかだから Ker(Φ_0) = (p, g_0(θ)) である。
(p, g_0(θ)) = P_0 とおく。 P_0 は Z[θ] の極大イデアルである。 Z[θ]/P_0 は Z/pZ の m_0 次の拡大体である。 つまり、p^(m_0) 個の元からなる有限体である。
806 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/13(月) 19:50:11
pZ[θ] の素イデアル分解を調べるには、剰余環 Z[θ]/pZ[θ] を 調べるのがよい。
まず Z[θ] = Z[X]/(f(X)) に注意する(等号は同型を表す)。
pZ[θ] = (pZ[X] + (f(X)))/(f(X)) だから Z[θ]/pZ[θ] = Z[X]/(p, f(X))
一方、Z[X]/(p, f(X)) = (Z/pZ)[X]/(f~(X)) である(等号は同型を表す)。 よって Z[θ]/pZ[θ] = (Z/pZ)[X]/(f~(X)) である(等号は同型を表す)。
一方、中国式剰余定理(前スレ１の341)より (Z/pZ)[X]/(f~(X)) = Π(Z/pZ)[X]/(g_i~(X))^(m_i)
この右辺の各因子 (Z/pZ)[X]/(g_i~(X))^(m_i) は (Z/pZ)[X]/(g_i~(X)) を剰余体とするArtin局所環である。
807 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/13(月) 19:52:04
>>512 をやや拡張して G(θ) = (g_0(θ)^(m_0)...(g_(e-1)(θ))^(m_(e-1)) とおき、 Ψ_0(θ) = G(θ)/g_0(θ) とおく。 つまり Ψ_0(θ) = (g_0(θ)^(m_0 -1)...(g_(e-1)(θ))^(m_(e-1)) である。
f(X) ≡ (g_0(X)^(m_0)...(g_(e-1)(X))^(m_(e-1)) (mod pZ[X]) だから f(X) ≡ Ψ_0(X)g_0(X) (mod pZ[X])
f(θ) = 0 だから Ψ_0(θ)g_0(θ) ≡ 0 (mod pZ[θ])
一方、>>806 より Z[θ]/pZ[θ] = (Z/pZ)[X]/(f~(X)) だから(等号は同型を表す)。
h(X) ∈ Z[X] のとき h(θ) ≡ 0 (mod pZ[θ]) と h(X) が mod pZ[X] で f(X) で割り切れることは同値である。
よって Ψ_0(θ)h(θ)≡ 0 (mod pZ[θ]) と Ψ_0(X)h(X) が mod pZ[X] で f(X) で割り切れることは同値である。 これは h(X) が mod pZ[X] で g_0(X) で割り切れることは同値である。 よって h(θ)≡ 0 (mod P_0) と同値である。
これから Ψ_0(θ) ≡ 0 (mod pZ[θ]) とならないことが分かる。 何故なら 1 ≡ 0 (mod P_0) とはならないから。
808 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/13(月) 19:59:06
命題 (Ψ_0(θ)^k) h(θ)≡ 0 (mod (p^k)Z[θ]) が任意の整数 k ≧ 1 に ついて成り立つなら、h(θ) = 0 である。
証明 h(θ) ≠ 0 として矛盾を導く。
(Ψ_0(θ)^k) h(θ)≡ 0 (mod (p^k)Z[θ]) より (Ψ_0(θ)/p)^k ∈ (1/h(θ))Z[θ]
よって Z[Ψ_0(θ)/p] ⊂ (1/h(θ))Z[θ]
(1/h(θ))Z[θ] は有限生成アーベル群だから Z[Ψ_0(θ)/p] もそうである。 よって Ψ_0(θ)/p は Z 上整である(前スレ１の505)。 しかし、>>807 より Ψ_0(θ) ≡ 0 (mod pZ[θ]) ではないから、 Ψ_0(θ)/p は Z[θ] に含まれない。 これは、Z[θ] が整閉であるという仮定に反する。 証明終
809 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/13(月) 20:03:38
定義 有理整数 k ≧ 1 に対し (Ψ_0(θ)^k) h(θ)≡ 0 (mod (p^k)Z[θ]) のとき、 h(θ) は Φ_0(>>793)で定まる素因子で k 回割れるという。
h(θ) が Φ_0 で定まる素因子で k 回割れ、k+1 回では割れないとき h(θ) は Φ_0 で定まる素因子できっかり k 回割れるという。
810 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/13(月) 20:06:43
補題 k ≧ 1 を有理整数、 h(X) ∈ Z[X] とし、h(θ) が Φ_0(>>793) で定まる素因子で k 回割れるとする。
定義より (Ψ_0(θ)^k) h(θ) ≡ 0 (mod p^kZ[θ]) だから、 (Ψ_0(θ)^k) h(θ) = (p^k) R(θ) となる R(θ) ∈ Z[θ] がある。
h(θ) が Φ_0 で定まる素因子できっかり k 回割れるためには、 R(θ) が Φ_0 で定まる素因子で割れないことが必要十分である。
証明 >>807より R(θ) が Φ_0 で定まる素因子で割れるためには Ψ(θ)R(θ) ≡ 0 (mod pZ[θ]) が必要十分である。 このことから命題の主張は明らかである。 証明終
811 ：１３２人目の素数さん：2006/11/13(月) 20:10:50
過去のスレはここで見れる。
ttp://makimo.to/2ch/index.html
812 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/13(月) 20:27:26
このあたり(>>788以降) 、Kummer の因子論(理想数論)を Z[θ] で 行っている。 このあたり、私のアイデア。 しかし、たぶん誰かがやっているだろう。
813 ：１３２人目の素数さん：2006/11/13(月) 22:05:53
全然、本題とは関係ないが念のため書いておく： >803 > 天に例えるってすごいなw > いわゆるゴッドか 国語辞典を引いて意味を確認してみな。
814 ：１３２人目の素数さん：2006/11/13(月) 22:10:47
>802 > このセリフが限りなくクマーくさいｗ 802の粘着ぶりはチョー賎臭いな。
815 ：１３２人目の素数さん：2006/11/13(月) 22:59:34
いやおれはKummerこそチョー賎くさいと思っている。 俺が他の板でその手の連中とやりあったときの経験がそう言っている。
816 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 00:04:36
朝陣でも悪さをせず、才能があって社会、コミュニティーに貢献する者であれば問題なし
817 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 00:28:14
>>816 数学板の新参者？
818 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 10:50:13
天に代りてチョンを討つ
819 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 11:34:03
>816 > 朝陣でも悪さをせず、才能があって社会、コミュニティーに貢献する者であれば問題なし
現実に、日本の大学で教師をやっている連中はそうじゃないのが多いんだよな。
820 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 13:52:06
69
821 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 13:53:40
68
822 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 13:54:15
67
823 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 13:55:22
66
824 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 13:56:29
65
825 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 13:57:09
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826 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 13:58:36
63
827 ：１３２人目の素数さん：2006/11/14(火) 13:59:11
62
828 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 04:08:50
61
829 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 15:35:40
60
830 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/15(水) 17:40:23
>>810 の続き。
>>805 で (p, g_0(θ)) = P_0 とおいた。 P_0 は Z[θ] の極大イデアルである。 簡単のために P = P_0 とおく。
Z[θ] の P による局所化(前スレ１の65と88)を A とおく。 つまり A = Z[θ]_P である。
この局所環 A で以上の議論をしたほうがいいと気付いた。
補題 Ψ_0(θ) ≡ 0 (mod pA) ではない。
証明 Ψ_0(θ) ≡ 0 (mod pA) と仮定して矛盾を導く。 Ψ_0(θ) = pT(θ)/U(θ) となる。 ここで T(θ) と U(θ) は Z[θ] の元で U(θ) は P に含まれない。
Ψ_0(θ)U(θ) = pT(θ)
よって、Ψ_0(X)U(X) は mod pZ[X] で f(X) で割れる。 特に、g_0(X) の m_0 乗で割れる。
U(θ) は P に含まれないから U(X) は mod pZ[X] で g_0(X) で 割れない。よって、Ψ_0(X) は mod pZ[X] で g_0(X) の m_0 乗で 割れる。これは Ψ_0(X) の定義と矛盾する。 証明終
831 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/15(水) 17:51:18
補題 α ∈ A で Ψ_0(θ)α≡ 0 (mod pA) と すると、 α ∈ PA である。
証明 α = T(θ)/U(θ) となる。 ここで T(θ), U(θ) は Z[θ] の元で U(θ) は P に含まれない。
Ψ_0(θ)T(θ)/U(θ) = pG(θ)/H(θ) となる。 ここで G(θ), H(θ) は Z[θ] の元で H(θ) は P に含まれない。
よって、 Ψ_0(θ)T(θ)H(θ) = pG(θ)U(θ)
よって、Ψ_0(X)T(X)H(X) が mod pZ[X] で f(X) で割れる(>>806)。 よって、T(X)H(X) は mod pZ[X] でg_0(X) で割れる。 仮定より、H(X) は mod pZ[X] でg_0(X) で割れない。 よって、T(X) は mod pZ[X] でg_0(X) で割れる。 つまり、T(θ) は P に含まれる。 よって、α ∈ PA である。 証明終
832 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 18:39:33
61
833 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 18:40:33
60
834 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 18:41:42
59
835 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 18:42:24
60
836 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 18:50:55
59
837 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 18:58:35
58
838 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 18:59:14
57
839 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/15(水) 21:25:46
補題 C を環、B をその部分環、c を C の元とする。 M を忠実な B[c]-加群で、B 上有限生成とする。 このとき、 c は B 上整である。
証明 M の B 上の生成元を x_1, ..., x_n とする。
c(x_1) = b_(1,1) x_1 + b_(1,2) x_2 + ... + b_(1,n) x_n . . . c(x_n) = b_(n,1) x_1 + b_(n,2) x_2 + ... + b_(n,n) x_n
となる B の元 b_(i, j), 1≦i, j≦n がある。
前スレ１の236より det(cE - T)M = 0 となる。 ここで T は b_(i, j) を (i, j) 成分とする行列。
M は忠実な B[c]-加群だから det(cE - T) = 0 である。 ここで E は n 次の単位行列。 この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。 証明終
840 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/15(水) 21:47:26
命題 A = Z[θ]_P は離散付値環である。
証明 f(X) ≡ g_0(X)Ψ_0(X) (mod pZ[X]) だから g_0(θ)Ψ_0(θ) ≡ 0 (mod pZ[θ]) よって g_0(θ)(Ψ_0(θ)/p) ∈ A
他方、p(Ψ_0(θ)/p) = Ψ_0(θ) だから p(Ψ_0(θ)/p) ∈ A よって P = (p, g_0(θ)) だから P(Ψ_0(θ)/p) ⊂ A よって PA(Ψ_0(θ)/p) ⊂ A
PA(Ψ_0(θ)/p) ⊂ PA と仮定すると、 PA(Ψ_0(θ)/p)^k ⊂ PA が任意の有理整数 k ≧ 1 に対し成り立つ。
M = PA c = Ψ_0(θ)/p とおけば、>>839 が適用できて Ψ_0(θ)/p は A 上整。
A は整閉だから(前スレ１の584)、Ψ_0(θ)/p ∈ A となる。 これは >>830 に反する。
よって PA(Ψ_0(θ)/p) = A となる。 よって PA = (p/Ψ_0(θ))A となる。 >>534 より A は離散付値環である。 証明終
841 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 22:16:07
58
842 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 22:17:18
57
843 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 22:18:35
56
844 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 22:19:12
55
845 ：１３２人目の素数さん：2006/11/15(水) 22:20:28
54
846 ：１３２人目の素数さん：2006/11/16(木) 11:33:18
53
847 ：１３２人目の素数さん：2006/11/16(木) 11:34:44
52
848 ：１３２人目の素数さん：2006/11/16(木) 12:10:49
このやろう、数字だけで残り埋める気か。
849 ：１３２人目の素数さん：2006/11/16(木) 12:13:02
梅梅 梅はうめー
850 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/16(木) 12:48:51
>>839 は前スレ２の551を拡張したもの。 証明も殆ど同じ。
>>840 は >>839 の代わりに前スレ２の551がそのまま使える。
>>839 を書いた時点では前スレ２の551のことを忘れていた。
今後もこのようなことはあるだろう。
851 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/16(木) 13:05:00
>>831 は PA ∈ Ass(A/pA) であることを示している。 よって前スレ２の589(及び590)からも A は離散付値環であること がわかる。しかし、前スレ２の589の証明も本質的には>>840の それと同じ。
Kummerの因子論と同様の方法で A が離散付値環であることを 証明したかったんだが、中途半端に終った。 しかし、>>809 の定義は具体的に付値を計算することを可能 にするものであり、Kummerの方法の有効性を示している。
852 ：１３２人目の素数さん：2006/11/16(木) 19:47:36
49
853 ：１３２人目の素数さん：2006/11/16(木) 19:56:50
48
854 ：１３２人目の素数さん：2006/11/16(木) 21:44:22
>848 > このやろう、数字だけで残り埋める気か。 何か知らんが1分ごとにやっているようだな。 余程暇なんだろうから放っておけ。
855 ：１３２人目の素数さん：2006/11/16(木) 21:57:55
48
856 ：１３２人目の素数さん：2006/11/16(木) 21:58:36
47
857 ：１３２人目の素数さん：2006/11/16(木) 21:59:16
46
858 ：１３２人目の素数さん：2006/11/16(木) 22:00:19
45
859 ：１３２人目の素数さん：2006/11/17(金) 03:53:59
44
860 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/17(金) 15:47:23
命題 >>840 より A = Z[θ]_P は離散付値環である。 これに付随する正規離散付値(>>547, >>550)をνとする。
k ≧ 1 を有理整数とする。 h(θ) ∈ Z[θ] がΦ_0(>>793)で定まる素因子できっかり k 回 割れる(>>809)なら ν(h(θ)) = k となる。
証明 h(θ) ∈ Z[θ] がΦ_0で定まる素因子できっかり k 回割れるとする。
定義より (Ψ_0(θ)^k) h(θ) ≡ 0 (mod p^kZ[θ]) だから、 (Ψ_0(θ)^k) h(θ) = (p^k) R(θ) となる R(θ) ∈ Z[θ] がある。 >>810 より R(θ) は P に含まれない。 よって ν(R(θ)) = 0 である。
一方、>>840 の証明より PA = (p/Ψ_0(θ))A だから ν(p/Ψ_0(θ)) = 1 である。
h(θ) = (p/Ψ_0(θ))^k R(θ) だから ν(h(θ)) = k である。 証明終
861 ：１３２人目の素数さん：2006/11/17(金) 20:58:58
44
862 ：１３２人目の素数さん：2006/11/17(金) 20:59:34
43
863 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 01:04:23
Introduction to cyclotomic fields.
kore iine!!!!!
864 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 02:21:44
43
865 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 02:22:31
42
866 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 02:23:20
41
867 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 02:23:52
40
868 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 02:24:24
39
869 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/18(土) 11:03:26
>>863
それは岩沢理論に重点をおいてるね。 ちょっとペラペラ眺めただけどちょっとがっかりした。 円分体の類数計算についてあまり書いてないんで。 これについて詳しく書いてある本誰かしりませんか？
870 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 11:38:19
37
871 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 12:40:44
>>869 上智大学数学講究録に 木村達雄、円分体の代数的類数公式 など沢山ある。
Lang, Cyclotomic Fields I & II, Springer Ch. 3 解析的類数公式 なども。
872 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/18(土) 12:53:40
>>871
有難うございます。
>上智大学数学講究録に
このサイトを見ましたが上記の他にも面白そうなのがありますね。
873 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 12:54:38
additive constantって何？
874 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 13:00:10
>>872 >>871ではその様な意味で書いたつもりだが。 日本語が不自由な人ですか？
875 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 13:09:23
>>874
掲示板では意味の取り違えはよくあるんで、その言い方は ちょっと
876 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 13:23:11
>>875 失礼しました。
877 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/18(土) 14:12:18
命題 >>860 の逆も成り立つ。 つまり ν(h(θ)) = k ≧ 1 なら h(θ) はΦ_0で定まる素因子で きっかり k 回割れる。
証明 h(θ) ∈ P だから >>807 の最後で述べたことより Ψ_0(θ)h(θ)≡ 0 (mod pZ[θ]) となる。 >>808 より ある有理整数 s があり、h(θ) はΦ_0で定まる素因子で きっかり s 回割れる。 よって、>>860 よりν(h(θ)) = s である。 よって k = s となる。 証明終
878 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/18(土) 14:37:19
>>860, >>877 より、任意に与えられた h(θ) ∈ Z[θ] の P に関する 付値が計算できる。
k = 1, 2, 3,... と順に変化させて (Ψ_0(θ)^k) h(θ) ≡ 0 (mod (p^k)Z[θ]) となるかを判定していけ ばいい。
この判定は左辺を、関係式 f(θ) = 0 を利用して θ の n-1 次以下の 多項式に変形してから、その係数が p^k で割れるかをみればいい。
(Ψ_0(θ)^k) h(θ) を θ の n-1 次以下多項式に変形するのは k-1回目の結果が使える。
879 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 14:55:47
>>878
k = 1, 2, 3,... として Ψ_0(θ)^k を前もって θ の n-1 次以下の多項式に変形しておくといいだろうね。
880 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 15:02:03
33
881 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 15:03:05
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882 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 15:03:40
31
883 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 15:04:16
30
884 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 15:17:44
29
885 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 16:04:02
p の P に関する付値(>>860) ν(p) を決定する。
G(X) = (g_0(X)^(m_0)...(g_(e-1)(X))^(m_(e-1)) とおく。 f(X) ≡ G(X) (mod pZ[X]) だから(>>794)、 G(θ) ≡ 0 (mod pZ[θ]) である。
よって、 G(θ)^(m_0-1) ≡ 0 (mod (p^(m_0-1))Z[θ]) である。
Ψ_0(X) = (g_0(X)^(m_0 -1)...(g_(e-1)(X))^(m_(e-1)) で あったから(>>807) (Ψ_0(X)^(m_0) は G(X)^(m_0-1) で割れる (両者の各g_i(X)のべき指数を考えよ)。
よって、 Ψ_0(θ)^(m_0) ≡ 0 (mod (p^(m_0-1))Z[θ]) である。
両辺に p を掛けて、 Ψ_0(θ)^(m_0) p ≡ 0 (mod (p^(m_0))Z[θ]) である。 よって、ν(p) ≧ m_0 となる。
続く。
886 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 16:46:26
29
887 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 16:47:13
28
888 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 16:48:01
27
889 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 16:48:33
28
890 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 16:49:12
27
891 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 16:49:52
26
892 ：１３２人目の素数さん：2006/11/18(土) 16:50:34
25
893 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/19(日) 16:46:54
ν(p) = m_0 を示すために、ここでちょっとわき道に寄る。
Z[θ] の任意の 0 でない素イデアル M を考える。 M の 0 でない元 α の Q 上の最小多項式 を h(X) = X^r + a_1 X^(r-1) + ... + a_r とする。
α は代数的整数だから各 a_i は有理整数である(>>160)。
α^r + a_1 α^(r-1) + ... + a_r = 0 だから a_r ∈ M である。α≠ 0 だから a_r ≠ 0 である。 よって M ∩ Z は Z の 0 でない素イデアルである。 よって M ∩ Z = pZ となる素数 p がある。
>>806 より Z[θ]/pZ[θ] = (Z/pZ)[X]/(f~(X)) である(等号は同型を表す)。
(注意) >>806 以降の議論のほとんどは p が f(X) の判別式の約数という 仮定がなくても成り立つことは明らかだろう。
M/pZ[θ] は Z[θ]/pZ[θ] の 0 でない素イデアルである。 よって M/pZ[θ] は (Z/pZ)[X]/(f~(X)) の 0 でない素イデアル に対応する。よってある (g_i~(X)) に対応する。 よって M = (p, g_i(θ))Z[θ] である(>>805)。 よって Z[θ]_M は離散付値環である(>>840)。
M は Z[θ] の任意の 0 でない素イデアルだったから >>605 より、Z[θ] の 0 でないイデアルは素イデアルの冪積として 一意に分解される。
894 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/19(日) 17:16:27
pZ[θ] を含む素イデアルは P_i = (p, g_i(θ)) であるから pZ[θ] = Π(P_i)^(k_i) となる。ここで各 k_i は１以上の有理整数。 よって中国式剰余定理(前スレ１の341)より Z[θ]/pZ[θ] = ΠZ[θ]/(P_i)^(k_i) となる。
ここで次に述べる補題より Z[θ]/(P_i)^(k_i) = Z[θ]_(P_i)/(P_i)^(k_i)Z[θ]_(P_i) となる (等号は同型を表す)。
895 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/19(日) 17:49:28
補題 A を環 m をその極大イデアル、n ≧ 1 を有理整数とすると、 A/m^n は A_m/(m^n)A_m に標準的に同型である。
証明 標準射 A → A_m と標準射 A_m → A_m/(m^n)A_m の合成 φ: A → A_m/(m^n)A_m を考える。
A_m の任意の元は a/s と書ける。ここで a ∈ A で s ∈ A - m である。 s の mod m^n の剰余類は局所環 A/m^n の可逆元だから a ≡ sb (mod m^n) となる b ∈ A がある。 a/s - b/1 = (a - sb)/s ∈ (m^n)A_m よって a/s ≡ b/1 (mod (m^n)A_m) よってφ: A → A_m/(m^n)A_m は全射である。
次にφの核を求める。 a ∈ A がこの射の核に含まれるとすると、 a/1 ∈ (m^n)A_m だから s ∈ A - m があり、 sa ∈ m^n となる。 つまり sa ≡ 0 (mod m^n) である。 s の mod m^n の剰余類は局所環 A/m^n の可逆元だから a ≡ 0 (mod m^n) となる。 よって φ の核は m^n である。 証明終
896 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/19(日) 18:28:27
>>894 のつづき。
Z[θ]/(P_i)^(k_i) の元の個数を求めたい。 >>894 より、これは Z[θ]_(P_i)/(P_i)^(k_i)Z[θ]_(P_i) の元の個数と同じである。
ここで補題を用意する。
補題 B を単項イデアル整域とし、p をその素元とする。 i ≧ 1 を任意の整数とする。 Bp^i/Bp^(i+1) は B-加群として B/Bp と同型である。
証明 B から Bp^i への写像を b ∈ B に b(p^i) を対応させることにより 定義する。この写像を標準射 Bp^i → Bp^(i+1) と合成させて B-加群としての射 B → Bp^i/Bp^(i+1) が得られる。 この核は Bp である。 証明終
897 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/19(日) 18:33:49
>>896 の補題は、証明から分かるように B が単なる環で p がその 非零因子なら成り立つ。
898 ：１３２人目の素数さん：2006/11/19(日) 18:45:34
加群の単射自己準同型についての定理に一般化できる。
899 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2006/11/19(日) 19:11:14
訂正
>>896 >この写像を標準射 Bp^i → Bp^(i+1) と合成させて
この写像を標準射 Bp^i → Bp^i/Bp^(i+1) と合成させて
900 ：１３２人目の素数さん：2006/11/19(日) 20:15:33
Kummerちゃん？
