最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時51分41秒
代数的整数論 ＃003 (1-85)
元スレ： http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/-85
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1141019088/-85
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1141019088/-85
1 ：１３２人目の素数さん：2006/02/27(月) 14:44:48
9208 ◆lJJjsLsZzw氏に存分に 語ってもらうスレです。 シロート厳禁、質問歓迎！
前スレ http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310
2 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/27(月) 15:42:27
9208 #ore
とりあえず、新スレ作成のお礼を言っておく。 有難う。
代数的整数論というより可換環論みたいになってきているが、 まだ準備段階だし、いずれ本格的に代数体の整数論をやるので 心配なく。
3 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/02/27(月) 15:45:20
ありゃ、ＩＤのパスワードを書いちゃったｗ 今度からこれにするのでよろしく。
4 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/02/27(月) 18:23:21
命題 A をネーター局所環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 x_1, ... x_r を M-切断列(前スレ２の967)とすると r ≦ dim(M) である。
証明 定義より、dim(M/x_1M + ... + x_rM) = dim(M) - r である。 M/(x_1M + ... + x_rM) = 0 とすると 中山の補題(前スレ１の242)より M = 0 となり仮定に反する。 よって、M/(x_1M + ... + x_rM) ≠ 0 だから、 dim(M/x_1M + ... + x_rM) ≧ 0 である(零加群の次元は -∞と定める)。 よって、r ≦ dim(M) である。 証明終
5 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/02/28(火) 19:51:44
命題 A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 dim(M) = 0 と M の長さが有限なことは同値である。
証明 dim(M) の定義(前スレ２の943)より、dim(M) = dim(A/Ann(M)) である。 一方、前スレ１の161より、Supp(M) = V(Ann(M)) である。 よって、dim(M) = 0 は Supp(M) の元がすべて極大イデアルである ことと同値である。
前スレ１の99より Ass(M) ⊂ Supp(M) となる。 よって、Supp(M) の元がすべて極大イデアルであるなら、 Ass(M) の元もすべて極大である。 よって、 前スレ１の345より M は長さ有限である。
逆に M が長さ有限とすると、前スレ１の344より Supp(M) の元はすべて極大イデアルである。 証明終
6 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/02(木) 10:44:46
命題 A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 x_1, ... x_r を rad(A) の元の列とする。 leng(M/(x_1M + ... + x_rM)) が有限なら dim(M) ≧ r となる。
証明 前スレ２の973より dim(M/(x_1M + ... + x_rM)) ≧ dim(M) - r となる。
一方、>>5 より、dim(M/(x_1M + ... + x_rM)) = 0 である。 よって、dim(M) ≧ r である。 証明終
7 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/02(木) 10:48:21
>>6 の訂正
>leng(M/(x_1M + ... + x_rM)) が有限なら dim(M) ≧ r となる。
leng(M/(x_1M + ... + x_rM)) が有限なら dim(M) ≦ r となる。
>よって、dim(M) ≧ r である。
よって、dim(M) ≦ r である。
8 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/02(木) 10:59:10
命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
S = {x_1, ..., x_r} を M-切断列(前スレ２の974)とする。
このとき S を含む M-切断列 で包含関係で極大なものが存在する。
証明 >>4 より、r ≦ dim(M) である。 これより明らか。 証明終
9 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/02(木) 11:50:43
前スレ２の967の補足
A をネーター局所環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 dim(M) = 0 のとき、空集合を M-切断列 と考える。
10 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/02(木) 12:07:29
>>9 の訂正 >A をネーター局所環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 >dim(M) = 0 のとき、空集合を M-切断列 と考える。
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 m の部分集合 S が空集合のとき、SM = 0 と定義する。 よって、空集合も M-切断列 と考える。
11 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/02(木) 15:27:06
補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 B = A/Ann(M) とおく。 S を m の有限部分集合とする。 S が M-切断列(前スレ２の974)であることと、 S が B-切断列であることとは同値である。
証明 S で生成される A のイデアルを I とする。 前スレ２の966より dim(M/SM) = dim(A/(Ann(M) + I)) である。 一方、A/(Ann(M) + I) = B/SB である。 これより、本補題の主張は明らか。 証明終
12 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/02(木) 15:38:52
補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 dim(M) ≧ 1 なら １個の元からなる M-切断列が存在する。
証明 I = Ann(M)、B = A/I とおく。 dim(M) = dim(B) である。 前スレ２の971より x ∈ m で dim(B/xB) = dim(B) - 1 となるものが存在する。 よって、x は B-切断列である。 よって、>>11 より、x は M-切断列でもある。 証明終
13 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 17:52:24
廃墟
14 ：なんだって～～～：2006/03/02(木) 17:52:41
>>2-3
2 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/27(月) 15:42:27 9208 #ore
3 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/02/27(月) 15:45:20 ありゃ、ＩＤのパスワードを書いちゃったｗ 今度からこれにするのでよろしく。
15 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 18:25:48
ななななな
16 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 19:17:20
前スレ1000に感動
17 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/03(金) 10:29:13
命題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
Supp(M) の元 p で dim(M) = dim(A/p) となるものは、 Supp(M) の極小元であるから有限個である。 これ等を p_1, ..., p_r とする。
m の元 x が M-切断列となるためには x がどの p_i にも含まれないことが必要十分である。
証明 I = Ann(M) とおく。
m の元 x がどの p_i にも含まれないとする。 仮定より、dim(A/(I + xA)) < dim(A/I) となる。 前スレ２の966より dim(M/xM) = dim(A/(I + xA)) である。 よって、dim(M/xM) < dim(M) となる。 一方、前スレ２の973 より dim(M/xM) ≧ dim(M) - 1 である。 よって、dim(M/xM) = dim(M) - 1 となる。 よって、x はM-切断列である。
逆に、m の元 x が dim(M/xM) = dim(M) - 1 を満たすとする。 dim(A/(I + xA)) < dim(A/I) となる。 これは、x がどの p_i にも含まれないことを意味する。 証明終
18 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/03(金) 11:26:14
命題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 m の元 x が M-正則(前スレ１の179)ならM-切断列である。
証明 前スレ１の180より、x は Ass(M) のどの元にも含まれない。 前スレ１の166より、Ass(M) と Supp(M) のそれぞれの極小元の集合は 一致する。よって、x は Supp(M) のどの極小元にも含まれない。 よって、>>17 より x はM-切断列である。 証明終
19 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/03(金) 12:51:17
命題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 M-切断列 S で |S| = dim(M) となるものが存在する。
証明 dim(M) に関する帰納法を使う。
dim(M) = 0 のときは、>>10 より空集合がM-切断列である。
dim(M) ≧ 1 とする。>>12 より m の元 x でM-切断列となるものが
存在する。dim(M/xM) = dim(M) - 1 だから、帰納法の仮定より、
(M/xM)-切断列 T があり、|T| = dim(M) - 1 である。
前スレ２の976より、S = {x} ∪ T は M-切断列 であり、
|S| = dim(M) である。
証明終
20 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/03(金) 17:39:38
命題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 S を m の有限部分集合とすると以下の条件は同値である。 1) S は極大なM-切断列である。 2) S はM-切断列で、|S| = dim(M) である。 3) leng(M/SM) ＜ ∞ で |S| = dim(M) である。 4) S はM-切断列で、leng(M/SM) ＜ ∞ である。
証明
1) ⇒ 2)
dim(M/SM) > 0 とすると、>>12 より x ∈ m で (M/SM)-切断列と
なるものが存在する。
前スレ２の976より、T = {x} ∪ S は M-切断列 であり、S の極大性に反する。
よって、dim(M/SM) = 0 である。S は M-切断列 だから、
dim(M/SM) = dim(M) - |S| である。よって |S| = dim(M) である。
2) ⇒ 3) S が M-切断列 なら dim(M/SM) = dim(M) - |S| である よって |S| = dim(M) なら、dim(M/SM) = 0 である。 >>5 より leng(M/SM) ＜ ∞ である。
3) ⇒ 4) leng(M/SM) ＜ ∞ なら >>5 より dim(M/SM) = 0 である。 よって |S| = dim(M) なら、dim(M/SM) = dim(M) - |S| となり、 S はM-切断列である。
4) ⇒ 1) S が極大でないとする。S を含む M-切断列 T で S ≠ T となるものが ある。前スレ２の976より T - S は (M/SM)-切断列である。>>4 より、 dim(M/SM) ≧ |T - S| ≧ 1 となり、leng(M/SM) ＜ ∞ に矛盾する。 証明終
21 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/03(金) 18:02:57
命題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 m の元の列 x_1, ..., x_r が M-正則列(前スレ２の941)なら M-切断列である。
証明 r に関する帰納法を使う。 r = 1 のときは、>>18 で証明されている。 r > 1 とし、x_1, ..., x_(r-1) は M-切断列 とする。 M-正則列の定義(前スレ２の941)より、 x_r は M/(x_1M + ... x_(i-1)M) に関して正則である。 よって、>>18 より、x_r は M/(x_1M + ... x_(i-1)M) の切断列である。 よって、前スレ２の976より、x_1, ..., x_r はM-切断列である。 証明終
22 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/03(金) 18:07:54
定義 A をネーター局所環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 極大な M-切断列を M のパラメータ系(system of parameters)と言う。
23 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/07(火) 16:05:52
局所環の深さ(depth)は、Auslander-Buchsbaum により可換代数への ホモロジー代数の応用という立場から、1956年の論文で定義された。 意外なことに最初彼等は、深さの定義に使われる 極大正則列の長さが一定であるという基本的事実の証明に完備局所環の 構造定理を使用するというやや強引な方法を使った。 理由は、当時彼等がその証明しか知らなかったため。 ただし、翌年の論文ではKoszul複体を使ったより簡単な証明を 紹介している。
ここでは、Ext関手を使った証明をする。
ホモロジー代数の基礎については既知と仮定する。 ホモロジー代数の入門書については Cartan-Eilenberg が今でもベスト だろうが、ここで使う程度なら河田でも間に合うし、松村の可換環論の 付録でもいい。
ただし、ホモロジー代数は類体論でも使われるので、 後でその基礎を述べるかも知れない。
24 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/08(水) 16:33:46
補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 m ∈ Ass(M) であるためには m のすべての元が M に関して非正則 (前スレ１の179)であることが必要十分である。
証明 m ∈ Ass(M) なら、 前スレ１の89より m のすべての元が M に関して非正則である。
逆に、m のすべての元が M に関して非正則とする。
Ass(M) = {p_1, ..., p_r} とする。
前スレ１の180より m ⊂ p_1∪...∪p_r となる。
前スレ１の579より m ⊂ p_i となる i がある。
m は極大だから m = p_i である。よって、m ∈ Ass(M) である。
証明
25 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/09(木) 10:06:51
補題 A をネーター環とし、m をその極大イデアル、 M を有限生成 A-加群とする。 m ∈ Ass(M) であるためには、Hom(A/m,M) ≠ 0 であることが 必要十分である。
証明 前スレ１の93より、m ∈ Ass(M) であるためには A-加群としての単射 A/m → M が存在することが必要十分である。 m は極大イデアルだから、これは Hom(A/m,M) ≠ 0 と同値である。 証明終
26 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/09(木) 11:25:03
補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 m のすべての元が M に関して非正則(前スレ１の179)であるためには Hom(A/m,M) ≠ 0 であることが必要十分である。
証明 >>24と>>25より。 証明終
27 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/09(木) 11:49:21
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 特に断らない限り、M-正則列(前スレ２の941)は m の元から なるものとする。
28 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/09(木) 11:51:40
定義 Aを環とし、MをA-加群とする。 A の元の列 x_1, ..., x_r が M-正則列 であるとき、 r をこの M-正則列 の長さと呼ぶ。
29 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/09(木) 12:34:04
命題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 k = A/m とおく。 n > 0 を整数とし、0 ≦ i ≦ n - 1 のとき Ext^i(k, M) = 0 であれば、長さ(>>28) n の M-正則列が存在する。
証明 n に関する帰納法を使う。 Ext^0(k, M) = Hom(k, M) だから、n = １ のときは、 >>26 で証明されている。
よって n ≧ 2 と仮定する。 Hom(k, M) = 0 だから、>>26 より x ∈ m で M-正則なものがある。 x による乗法で定義される射: M → M を考える。 x は M-正則だから次の完全列が得られる。
0 → M → M → M/xM → 0
これから次の完全列が得られる。
Ext^i(k, M) → Ext^i(k, M/xM) → Ext^(i+1)(k, M)
ここで、i は任意の整数 i ≧ 0 である。 仮定より、0 ≦ i ≦ n - 1 のとき Ext^i(k, M) = 0 だから、 0 ≦ i ≦ n - 2 のとき Ext^i(k, M/xM) = 0 である。
帰納法の仮定を M/xM に適用すれば、長さ n - 1 の (M/xM)-正則列 x_2, ..., x_n が存在する。 よって、x, x_2, ..., x_n は M-正則列となり、長さは n である。 証明終
30 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/09(木) 16:10:57
補題 A を環とし、N, M を A-加群とする。 x を A の元とし xN = 0 とする。 i ≧ 0 を任意の整数とすると、x(Ext^i(N, M)) = 0 となる。
証明 I を任意の A-加群とし、f: N → I を A-加群の射とする。 t を I の任意の元とすると、仮定より xt = 0 だから、 xf(t) = f(xt) = 0 である。 よって、x(Hom(N, I)) = 0 である。
M の任意の単射的分解(injective resolution) を
0 → M → I^0 → I^1 → ...
とすれば、Ext^i(N, M) = H^i(Hom(N, I^*)) である。 ここで、I^* は複体 (I^n), n = 0, 1, ... を表す。
上で述べたことより、x(Hom(N, I^i)) = 0 だから、 x(Ext^i(N, M)) = 0 となる。 証明終
31 ：１３２人目の素数さん：2006/03/14(火) 15:51:17
このスレ
～～～終了～～～
32 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/14(火) 16:58:13
補題 A を環とし、N, M を A-加群とする。 x を A の元とし x による乗法で定義される射 M → M を x_M と書く。 p ≧ 0 を任意の整数とする。 x_M により誘導される射 Ext^p(N, M) → Ext^p(N, M) は x による乗法で定義される射 Ext^p(N, M) → Ext^(N, M) と一致する。
証明 N の射影的分解(projective resolution) による Ext^p(N, M) の 定義を考えれば明らか。 証明終
33 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/14(火) 17:11:33
命題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 k = A/m とおく。 長さ(>>28) n の M-正則列が存在するとするなら、 p ≦ n - 1 のとき Ext^p(k, M) = 0 となる。
証明 x_1, ..., x_n を M-正則列とする。
x_1 による乗法で定義される射: M → M を考える。 x_1 は M-正則だから次の完全列が得られる。
0 → M → M → M/(x_1)M → 0
これから次の完全列が得られる。
Ext^(p-1)(k, M/(x_1)M) → Ext^p(k, M) → Ext^p(k, M)
M/(x_1)M は長さ n - 1 の正則列をもつから、 帰納法の仮定より、p ≦ n - 1 のとき Ext^(p-1)(k, M/(x_1)M) = 0 である。
即ち、p ≦ n - 1 のとき次の完全列が得られる。
0 → Ext^p(k, M) → Ext^p(k, M)
>>32 より、Ext^p(k, M) → Ext^p(k, M) は x_1 による乗法である。
一方、k は A-加群として、m の元で零化される。特に (x_1)k= 0 である。 よって、>>30 より (x_1)(Ext^p(k, M)) = 0 である。 よって、Ext^p(k, M) = 0 である。 証明終
34 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/14(火) 17:23:25
命題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 任意の M-正則列の長さは dim(M) 以下である。
証明 >>21 より、M-正則列は M-切断列である。 >>4 より この長さは dim(M) 以下である。 証明終
35 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/14(火) 18:29:46
命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
k = A/m とおく。
極大な M-正則列の長さは正則列の取り方によらず一定である。
この長さは inf{p; Ext^p(k, M) ≠ 0} に等しい。
証明
>>34 から M-正則列の長さは dim(M) 以下である。
よって、>>29 より Ext^p(k, M) ≠ 0 となる 整数 p ≧ 0 が
存在する。よって、n = inf{p; Ext^(k, M) ≠ 0} とおけば、
n は有限である。>>29 と >>33 より極大な M-正則列の長さは
n である。
証明終
36 ：BW of Tama King：2006/03/14(火) 18:31:36
（ ＾ω＾）「ネーター」なのか「ネター」なのか？両方見かけるお
37 ：UnitedNiceKindOptional of Tama Kinng ◇sdjswswh：2006/03/14(火) 18:32:50
>>36 人の名前つかったままに刷るなよ。
38 ：BW of Tama King：2006/03/14(火) 18:34:43
>>37 （ ＾ω＾）全然違う名前だお
39 ：UnitedNiceKindOptional of Tama Kinng ◇sdjswswh：2006/03/14(火) 18:35:40
（ ＾ω＾）ごめんだお
40 ：UnitedNiceKindOptional of Tama Kinng ◇sdjswswh：2006/03/14(火) 18:38:17
>>39 レスアンカーのつけ方を会得したほうがよいだろう？
41 ：UnitedNiceKindOptional of Tama Kinng ◇sdjswswh：2006/03/14(火) 18:39:29
>>40 （ ＾ω＾）会得したお
42 ：UnitedNiceKindOptional of Tama Kinng ◇sdjswswh：2006/03/14(火) 18:40:18
>>41 だから何？
43 ：UnitedNiceKindOptional of Tama Kinng ◇sdjswswh：2006/03/14(火) 18:40:48
>>42 （ ＾ω＾）ただの報告だお
44 ：１３２人目の素数さん：2006/03/14(火) 18:48:22
逝って良し
45 ：１３２人目の素数さん：2006/03/14(火) 19:39:33
【積年の】旦那にしてる密かな仕返し【恨みじゃー】 http://human5.2ch.net/test/read.cgi/ms/1141694640/
8 名前：可愛い奥様[] 投稿日：2006/03/07(火) 11:05:23 ID:8dtluKkp 夫の歯ブラシで洗面所の排水溝掃除。 洗面所をビショビショに汚した罰だ。
20 名前：可愛い奥様[age] 投稿日：2006/03/08(水) 00:40:17 ID:pRrk6A21 前に頭きた時あって １度だけ歯ブラシで肛門カキカキしちゃった
22 名前：可愛い奥様[] 投稿日：2006/03/08(水) 01:27:12 ID:gU5mHc7J よかった。どこのお宅も同じようなことしてて。
24 名前：可愛い奥様[] 投稿日：2006/03/08(水) 01:36:35 ID:SSSFsTqE そうそう、ヘンなモノはダンナのお皿へ直行だよね。
41 名前：可愛い奥様[] 投稿日：2006/03/08(水) 11:55:18 ID:sjj+/60Q 見てるだけで気が晴れるな！ 皆さん、頑張ってね！
42 名前：可愛い奥様[sage] 投稿日：2006/03/08(水) 20:33:51 ID:Ju2N1s7+ 年金分割が楽しみじゃのう
63 名前：可愛い奥様[] 投稿日：2006/03/10(金) 08:55:20 ID:qLfJYpJR 家族で密かにはぶっている。
男性は肉体が汚く、精神が美しい傾向がある。（気に入らない相手に肉体的攻撃を加える⇒精神的攻撃も加える男は猛者） 女は肉体が美しく、精神が汚い傾向がある。（気に入らない相手に精神的攻撃を加える⇒肉体的攻撃も加える女は猛者） 女は隠れて悪事をする。気に入らない女子を便所でボコったり、便器舐めさせたり、男の友人を使ってレイプ、仲間外れにしたり。陰口、嫉妬。 女は対人関係において、この汚い性格を隠そうとするため、外面が非常によくなる。（猫かぶり） 男性諸君は外面に騙されないように気を付けて下さい。
46 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/15(水) 11:01:35
>>35 を参考にして以下の定義をする。
定義
A を環、M を A-加群、I を A のイデアルとする。
inf {p; Ext^p(A/I, M) ≠ 0} を M の I に関する深さ(depth) と呼び
depth(I, M) と書く。
任意の整数 p ≧ 0 に対して Ext^p(A/I, M) = 0 のときは depth(I, M) = ∞ とする。
A が局所環で m がその極大イデアルのとき、depth(m, M) を 単に depth(M) と書く。
47 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/15(水) 16:16:56
命題 A を環、M を A-加群、I を A のイデアルとする。 x を I の元で M-正則とする。 depth(I, M) が有限なら、depth(I, M/xM) = depth(I, M) - 1 となる。
証明 depth(I, M) = n とおく。 x による乗法により次の完全列が得られる。
0 → M → M → M/xM → 0
これから次の完全列が得られる。
Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M/xM) → Ext^p(A/I, M)
depth(I, M) の定義(>>46)より p ≦ n - 1 のとき Ext^(p-1)(A/I, M) = 0 だから
0 → Ext^(p-1)(A/I, M/xM) → 0
が完全となり、Ext^(p-1)(A/I, M/xM) = 0 となる。
p = n のときは、Ext^(n-1)(A/I, M) = 0 だから次の完全列が得られる。
0 → Ext^(n-1)(A/I, M/xM) → Ext^n(A/I, M) → Ext^n(A/I, M)
>>32 より Ext^n(A/I, M) → Ext^n(A/I, M) は x による乗法で 引き起こされ、>>30 より xExt^n(A/I, M) = 0 だから、 Ext^(n-1)(A/I, M/xM) → Ext^n(A/I, M) は同型である。 よって Ext^n(A/I, M) ≠ 0 だから Ext^(n-1)(A/I, M/xM) ≠ 0 である。 よって、depth(I, M/xM) = n - 1 である。 証明終
48 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/15(水) 17:55:58
命題 A を環、M を A-加群、I を A のイデアルとする。 I の元の列 x_1, ..., x_r が M-正則列(前スレ２の941)で depth(I, M) が有限なら depth(I, M) = depth(I, M/(x_1M + ... + x_rM)) + r となる。
証明 r に関する帰納法を使う。 r = 1 のときは >>47 で証明されている。
r > 1 とする。 N = M/x_1M とおく。 >>47 より depth(I, N) = depth(I, M) - 1 だから、 depth(I, N) は有限である。 x_2, ..., x_r は N-正則列だから、帰納法の仮定より、 depth(I, N) = depth(I, N/(x_2N + ... + x_rN)) + r - 1 となる。
depth(I, N) = depth(I, M) - 1 であり、 N/(x_2N + ... + x_rN) = M/(x_1M + ... + x_rM) であるから、 depth(I, M) - 1 = depth(I, M/(x_1M + ... + x_rM)) + r - 1 となる。 よって、depth(I, M) = depth(I, M/(x_1M + ... + x_rM)) + r となる。 証明終
49 ：中川秀泰：2006/03/15(水) 18:03:40
呼んでねーよターーコ
50 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/15(水) 18:12:11
命題 A を環、M を A-加群、I を A のイデアルとする。 I の元の列 x_1, ..., x_r が M-正則列(前スレ２の941)なら、 r ≦ depth(I, M) である。
証明 depth(I, M) = ∞ なら明らか。
depth(I, M) ＜ ∞ なら >>48 より depth(I, M) = depth(I, M/(x_1M + ... + x_rM)) + r となる。 depth(I, M/(x_1M + ... + x_rM)) ≧ 0 だから depth(I, M) ≧ r である。 証明終
51 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/16(木) 16:41:19
補題 A をネーター環とし、I をそのイデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 Hom(A/I,M) = 0 なら I は M-正則な元を含む。
証明
I の元がすべて M-非正則であると仮定する。
M ≠ 0 だから Ass(M) は空でない。
Ass(M) = {p_1, ..., p_r} とすると、
前スレ１の180より I ⊂ p_1∪...∪p_r となる。
よって、前スレ１の579より I ⊂ p_i となる i がある。
p_i ∈ Ass(M) だから M の元 x ≠ 0 で (p_i)x = 0 となるものがある。
よって Ix = 0 だから、Hom(A/I, M) ≠ 0 である。
これは仮定に反する。
証明終
52 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/16(木) 16:44:25
命題 A を環とし、I をその極大イデアル、 M を有限生成 A-加群とする。 M ≠ IM とする。 n > 0 を整数とし、0 ≦ i ≦ n - 1 のとき Ext^i(A/I, M) = 0 であれば、I の元からなる長さ(>>28) n の M-正則列が存在する。
証明 n に関する帰納法を使う。 M ≠ IM だから M ≠ 0 であり、 Ext^0(A/I, M) = Hom(A/I, M) だから、n = １ のときは、 >>51 で証明されている。 よって n ≧ 2 と仮定する。 Hom(A/I, M) = 0 だから、>>51 より x ∈ I で M-正則なものがある。 x による乗法で定義される射: M → M を考える。 x は M-正則だから次の完全列が得られる。
0 → M → M → M/xM → 0
これから次の完全列が得られる。
Ext^i(A/I, M) → Ext^i(A/I, M/xM) → Ext^(i+1)(A/I, M)
ここで、i は任意の整数 i ≧ 0 である。 仮定より、0 ≦ i ≦ n - 1 のとき Ext^i(A/I, M) = 0 だから、 0 ≦ i ≦ n - 2 のとき Ext^i(A/I, M/xM) = 0 である。 N = M/xM とおけば IN = (IM + xM)/xM = IM/xM である。 よって N ≠ IN である。 帰納法の仮定を M/xM に適用すれば、I の元からなる長さ n - 1 の (M/xM)-正則列 x_2, ..., x_n が存在する。 よって、x, x_2, ..., x_n は I の元からなる M-正則列であり、 長さは n である。 証明終
53 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/16(木) 18:54:01
命題 A を環、M を A-加群とする。 B を平坦な A-代数(前スレ２の>>221)とする。 φ: A → B を A-代数 B の構造射とする。 A の元の列 x_1, ..., x_r が M-正則列 であるとき、 B の元の列 φ(x_1), ..., φ(x_r) は B-加群 M(x)B に関して の正則列である。
証明 M(x)B = M_B とおき、 各 i = 1, ..., r に対して M_i = M/(x_1M + ... x_iM) とおく。 さらに M_0 = M とする。 x_i は M_(i-1) に関して正則だから、
0 → M_(i-1) → M_(i-1) → M_(i-1)/x_iM_(i-1) → 0
は完全列である。ここで、M_(i-1) → M_(i-1) は x_i による乗法 で定義される射である。M_(i-1)/x_iM_(i-1) = M_i に注意する。 B は平坦だから
0 → M_(i-1)(x)B → M_(i-1)(x)B → M_i(x)B → 0
も完全列である。
B は平坦だから M_(i-1)(x)B = M_B/(x_1M_B + ... x_(i-1)M_B) であり、M_(i-1)(x)B → M_(i-1)(x)B は φ(x_i) による乗法 で定義される射である。 よって、φ(x_i)はM(x)B に関して正則である。 よってφ(x_1), ..., φ(x_r)は B-加群 M(x)B に関して の正則列である。 証明終
54 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/17(金) 17:47:47
訂正
>>52 >命題 >A を環とし、I をその極大イデアル、
命題 A を環とし、I をそのイデアル、
55 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/17(金) 18:10:48
訂正の訂正(^^;
>>52 >命題 >A を環とし、I をその極大イデアル、
>命題 >A をネーター環とし、I をそのイデアル、
56 ：中川秀泰：2006/03/18(土) 17:59:14
削除依頼ﾖﾛ
57 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/21(火) 21:15:20
命題
A をネーター環とし、I をそのイデアル、
M を有限生成 A-加群で、M ≠ IM とする。
このとき depth(I, M) は有限である。
さらに depth(I, M) ≦ inf {dim(M_p); p ∈ Supp(M/IM)} である。
証明 M ≠ IM だから Supp(M/IM) は空でない。 p を Supp(M/IM) に属する任意の素イデアルとする。 前スレ２の>>953 より Supp(M/IM) = V(I) ∩ Supp(M) である。 φ: A → A_p を標準射とする。
x_1, ..., x_r を I に含まれる M-正則列 とする。 I ⊂ p だから φ(x_1), ..., φ(x_r) は pA_p に含まれる。 さらに p ∈ Supp(M) だから M_p ≠ 0 である。 >>53 より、φ(x_1), ..., φ(x_r) は M_p に関しての 正則列である。よって、>>34 より r ≦ dim(M_p) である。 よって、I に含まれ x_1, ..., x_r を含む M-正則列で極大 なものが存在する。その長さを s とする。 depth(I, M) ＞ s とすると >>52 より I に含まれる M-正則列で 長さ s + 1 のものが存在する。これは s の取り方に反する。 よって、depth(I, M) ≦ s である。 さらに s ≦ dim(M_p) だから depth(I, M) ≦ dim(M_p) である。 証明終
58 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/21(火) 21:34:42
訂正。
>>57 >よって、I に含まれ x_1, ..., x_r を含む M-正則列で極大 >なものが存在する。その長さを s とする。
I に含まれる M-正則列の長さの最大を s とする。
59 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/22(水) 11:04:55
>>35 の証明は不十分だったので、以下、この証明を補足する。 そのために補題を述べる。
60 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/22(水) 11:23:10
補題 A を環とし、I をそのイデアル、 M を A-加群とする。 x を I の元で M-正則とする。 p ≧ 1 を整数とする。 Ext^(p-1)(A/I, M) と Ext^p(A/I, M/xM) は同型である。
証明 x による乗法で定義される射: M → M を考える。 x は M-正則だから次の完全列が得られる。
0 → M → M → M/xM → 0
これから次の完全列が得られる。
Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^p(A/I, M/xM) → Ext^p(A/I, M) → Ext^p(A/I, M)
>>32 より、Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M) は x による 乗法である。 一方、A/I は A-加群として、I の元で零化される。 よって、>>30 より x(Ext^(p-1)(A/I, M)) = 0 である。 同様に x(Ext^p(A/I, M)) = 0 である。 よって、次の完全列が得られる。
0 → Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^p(A/I, M/xM) → 0 証明終
61 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/22(水) 11:47:14
補題 A を環とし、I をそのイデアル、 M を A-加群とする。 x_1, ..., x_r を I に含まれる M-正則列とする。 Hom(A/I, M/(x_1M + ... + x_rM)) = Ext^r(A/I, M) (同型)である。
証明 M_0 = M とおき、 1 ≦ i ≦ r のとき、M_i = M/(x_1M + ... + x_iM) とおく。
1 ≦ i ≦ r のとき、M_i = M_(i-1)/x_iM_(i-1) である。
>>60 より Ext^r(A/I, M) = Ext^(r-1)(A/I, M_1) (同型)となる。
同様にして Ext^(r-1)(A/I, M_1) = Ext^(r-2)(A/I, M_2) = ... = Ext^1(A/I, M_(r-1)) = Hom(A/I, M_r)(同型)である。
よって Ext^r(A/I, M) = Hom(A/I, M_r) (同型)である。 証明終
62 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/22(水) 11:53:39
>>60 は次のように修正する。
補題 A を環とし、I をそのイデアル、 M を A-加群とする。 x を I の元で M-正則とする。 p ≧ 1 を整数とする。 Ext^p(A/I, M) と Ext^(p-1)(A/I, M/xM) は同型である。
証明 x による乗法で定義される射: M → M を考える。 x は M-正則だから次の完全列が得られる。
0 → M → M → M/xM → 0
これから次の完全列が得られる。
Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M/xM) → Ext^p(A/I, M) → Ext^p(A/I, M)
>>32 より、Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M) は x による 乗法である。 一方、A/I は A-加群として、I の元で零化される。 よって、>>30 より x(Ext^(p-1)(A/I, M)) = 0 である。 同様に x(Ext^p(A/I, M)) = 0 である。 よって、次の完全列が得られる。
0 → Ext^(p-1)(A/I, M/xM) → Ext^p(A/I, M) → 0 証明終
63 ：隅広秀康：2006/03/22(水) 13:57:55
君、いい加減に止め給え
64 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/22(水) 15:46:34
命題 A をネーター環とし、I をそのイデアル、 M を有限生成 A-加群で、M ≠ IM とする。 I に含まれる M-正則列で極大なものの長さは depth(I, M) に等しい。
証明 >>57 から depth(I, M) は有限である。 x_1, ..., x_r を I に含まれる M-正則列 で極大なものとする。 >>50 より r ≦ depth(I, M) である。
r ＜ depth(I, M) と仮定する。 depth(I, M) の定義から Ext^r(A/I, M) = 0 である。 >>61 より Hom(A/I, M/(x_1M + ... + x_rM)) = 0 である。 M ≠ IM だから M/(x_1M + ... + x_rM) ≠ 0 である。 よって >>51 より I は M/(x_1M + ... + x_rM) に関して 正則な元 y を含む。 x_1, ..., x_r, y は I に含まれる M-正則列 だから x_1, ..., x_r の極大性に反する。 よって r = depth(I, M) である。 証明終
65 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/22(水) 15:51:44
>>64 から >>34 が出るのは、中山の補題より M ≠ mM だから 明らかだろう。
66 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/22(水) 15:53:40
>>65 >>64 から >>34 が出るのは、中山の補題より M ≠ mM だから >明らかだろう。
>>64 から >>35 が出るのは、中山の補題より M ≠ mM だから 明らかだろう。
67 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/22(水) 16:01:39
可換代数の最初の難関が正則列とか深さの概念じゃないのかな。 深さは幾何的に捕らえ難いというのがある。
68 ：１３２人目の素数さん：2006/03/22(水) 16:27:49
馬鹿は幾ら起っても馬鹿だな
69 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/22(水) 17:45:43
補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 a を m の元で M-正則とする。 p ∈ Ass(M) とすると、p + aA ⊂ q となる q ∈ Ass(M/aM) が存在する。
証明 a による乗法により次の完全列が得られる。
0 → M → M → M/aM → 0
これから次の完全列が得られる。
0 → Hom(A/p, M) → Hom(A/p, M) → Hom(A/p, M/aM)
この完全列より、Hom(A/p, M) → Hom(A/p, M/aM) の核は a(Hom(A/p, M)) だから Hom(A/p, M) → Hom(A/p, M/aM) の像は Hom(A/p, M)/a(Hom(A/p, M)) と同型である。
一方、p ∈ Ass(M) だから Hom(A/p, M) ≠ 0 である(前スレ１の93)。 よって中山の補題(前スレ１の242)より a(Hom(A/p, M)) ≠ Hom(A/p, M) である。よって Hom(A/p, M/aM) ≠ 0 である。 よって、px ∈ aM となる x ∈ M で aM に含まれないものがある。 よって前スレ１の90より p を含む q ∈ Ass(M/aM) がある。 前スレ１の99より Ass(M/aM) ⊂ Supp(M/aM) であるから、 q ∈ Supp(M/aM) である。 一方、前スレ２の953より Supp(M/aM) = V(Ann(M) + aA) である。 よって aA ⊂ q である。よって p + aA ⊂ q である。 証明終
70 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/22(水) 17:47:43
>>69 の証明は Serre の Local Algebra から借りた。
71 ：１３２人目の素数さん：2006/03/22(水) 18:09:23
king たーん TamaKing たーん 蟹たーん
72 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/03/22(水) 18:49:51
talk:>>71 私を呼んだか？
73 ：１３２人目の素数さん：2006/03/22(水) 18:50:41
>>72 氏ね
74 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/03/22(水) 19:14:54
talk:>73 お前に何が分かるというのか？
75 ：１３２人目の素数さん：2006/03/22(水) 19:19:49
>>73 迷惑です
76 ：BWofTamaKing一ヶ月禁おなＯ－生活[１日目] ◆gqRrL0OhYE ：2006/03/22(水) 20:00:09
>>71私を呼びまくっても駆けつけられないことが多いぞ。
77 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/23(木) 12:22:44
ホモロジー代数というのは不思議だね。 EisenbudもHomological algebra is uncannily effectiveと書いている。 uncannilyというのがいいね。薄気味悪いほど効果的とでも訳せばいいのか。
何故なのかよく分からないが非常に強力な道具なんだよね。 ホモロジー代数のこの強力さを良く知らない人は、ホモロジー代数を 過小評価するというか関心をあまり持たない。なんであんな形式ばった 面白くないものをやるんだろう、とかね。
78 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/24(金) 11:41:11
命題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 p ∈ Ass(M) なら depth(M) ≦ dim(A/p) である。
証明 depth(M) に関する帰納法を使う。 depth(M) = 0 なら明らか。 depth(M) ≧ 1 とする。 よって m の元 a で M-正則なものがある。 >>69より p + aA ⊂ q となる q ∈ Ass(M/aM) が存在する。 >>47より depth(M/aM) = depth(M) - 1 だから帰納法の仮定より depth(M/aM) ≦ dim(A/q) である。 a は M-正則 だから a は p に含まれない。 よって p ≠ q である。よって dim(A/q) ≦ dim(A/p) - 1 である。 よって、depth(M) - 1 = depth(M/aM) ≦ dim(A/p) - 1 となる。 よって depth(M) ≦ dim(A/p) である。 証明終
79 ：１３２人目の素数さん：2006/03/26(日) 15:24:06
80 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/28(火) 10:02:08
A をネーター環とし、I をそのイデアルで I ⊂ rad(A) とする。 M を有限生成 A-加群で、M ≠ 0 とする。 中山の補題(前スレ１の242)より M ≠ IM である。 x_1, ..., x_r を I に含まれる M-正則列とする。 このとき、x_1, ..., x_r を任意の順に並び替えたものも M-正則列となることを証明しよう。 そのため、いくつかの準備をする。
81 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/28(火) 10:03:57
まずKrullの共通イデアル定理(前スレ１の252)を加群の場合に拡張する。
定理 A をネーター環、M を有限生成 A-加群とし、 I を rad(A) に含まれるイデアルとする。 ∩(I^n)M = 0 となる。ここで n はすべての正の整数 n > 0 を動く。
証明
N = ∩(I^n)M とおく。
IN = N を示せば、中山の補題より N = 0 となる。
IN ⊂ N は明らかだから N ⊂ IN を示す。
IN の準素部分加群分解(前スレ１の182)を IN = N_1 ∩ ... ∩ N_r
とする。各 i に対して Ass(M/N_i) = {p_i} とする。
S = {1, ..., r} とおく。S を以下の２個の部分集合に分割する。
S_1 = {i ∈ S; I ⊂ p_i}
S_2 = S - S_1 とおく。
定義から i ∈ S_1 のとき、I ⊂ p_i である。
Ass(M/N_i) = {p_i} だから (p_i)^nM ⊂ N_i となる n > 0 がある。
I ⊂ p_i だから (I^n)M ⊂ (p_i)^nM ⊂ N_i である。
一方 N ⊂ (I^n)M だから結局 N ⊂ N_i となる。
今度は j ∈ S_2 とする。 I は p_j に含まれないから、I の元 a で p_j に含まれないもの がある。このとき N が N_j に含まれないと仮定する。 IN ⊂ N_j だから aN ⊂ N_j である。よって a は M/N_j に関して 非正則である。N_j は準素だから a ∈ p_j である。 これは仮定に反する。よって N ⊂ N_j でなければならない。
以上から、 任意の i ∈ S に対して N ⊂ N_i となる。 よって、N ⊂ IN となる。 証明終
82 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/28(火) 11:01:43
次の命題は周知だが復習もかねて証明する。
命題
n > 0 を整数とし、集合 {1, ..., n} の置換全体のなす
対称群を S_n とする。
S_n の任意の元 σ はいくつかの互換の積として表すことが出来る。
証明 n に関する帰納法を使う。 n = 1 なら明らか(零個の互換の積は恒等置換とみなす)。 n ≧ 2 とする。 σ(n) = n なら σ は S_(n-1) の元とみなせる。 よって帰納法の仮定より、σ は互換の積となる。 よって σ(n) ≠ n とする。σ(n) = j とおく。 τ = (j, n)σ とおく。 τ(n) = (j, n)(σ(n)) = n である。 よって τは S_(n-1) の元とみなせる。 よって帰納法の仮定より、τ は互換の積となる。 よってσ = (j, n)τも互換の積となる。 証明終
83 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/28(火) 11:36:25
命題
n > 0 を整数とし、集合 {1, ..., n} の置換全体のなす
対称群を S_n とする。
S_n の任意の元 σ は (i, i+1), 1 ≦ i ≦ n-1 の形の互換の積として
表すことが出来る。
証明 >>82 より任意の互換 (j, k), j < k が(i, i+1) の形の互換の積と となることを示せばよい。互換(j, k)の長さを k - j で定義する。 互換の長さの帰納法で証明する。 互換の長さが１のときは明らか。 よって互換(j, k)の長さは２以上とする。 (j, k) = (j, k-1)(k-1, k)(j, k-1) となることが簡単に確かめられる。 帰納法の仮定より(j, k-1)は(i, i+1) の形の互換の積となる。 よって(j, k)も同様である。 証明終
84 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/28(火) 12:23:44
補題 A をネーター環とし、I をそのイデアルで I ⊂ rad(A) とする。 M を有限生成 A-加群で、M ≠ 0 とする。 a, b を I に含まれる M-正則列とすると、 並びを入れ替えた b, a もM-正則列である。
証明 まず、b が M-正則であることを証明する。 x を M の元として、bx = 0 とする。 x = 0 を示せばよい。 b は M/aM に関して正則だから、x ∈ aM となる。 よって x = ay となる y ∈ M がある。 bx = aby = 0 であり、a は M-正則だから by = 0 である。 よって上と同様に y ∈ aM となる。つまり、x ∈ (a^2)M となる。 以上を繰り返して x ∈ ∩(a^n)M となる。 ここで n はすべての正の整数 n > 0 を動く。 >>81 より ∩(a^n)M = 0 だから x = 0 である。
次に、a が M/bM に関して正則なことを示す。 x を M の元として、ax ∈ bM とする。 ax = by となる y ∈ M がある。 b は M/aM に関して正則だから y ∈ aM となる。 よって y = az となる z ∈ M がある。 よって ax = abz である。a は M-正則だから x = bz である。 よって x ∈ bM となって a は M/bM に関して正則である。 証明終
85 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/03/28(火) 14:17:16
命題 A をネーター環とし、I をそのイデアルで I ⊂ rad(A) とする。 M を有限生成 A-加群で、M ≠ 0 とする。 x_1, ..., x_n を I に含まれる M-正則列 とする。 このとき x_1, ..., x_n を任意に並び替えた列も M-正則列である。
証明 n に関する帰納法を使う。 n = 1 なら明らか。 n ≧ 2 とする。 >>83 より 1 ≦ i ≦ n - 1 となる任意の整数 i に対して、 x_1,..., x_(i+1), x_i,..., x_n が M-正則列であることを示せばよい。
i + 1 ≦ n - 1 のときは、帰納法の仮定により、 x_1,..., x_(i+1), x_i,..., x_(n-1) は M-正則列である。 よって、この列に x_n を追加した x_1,..., x_(i+1), x_i,..., x_(n-1), x_n も M-正則列である。
よって残るのは i + 1 = n の場合だけである。 つまり、x_1,..., x_(n-2), x_n, x_(n-1) が M-正則列であることを 示せばよい。 これは、N = M/(x_1M + ... + x_(n-2)M) とおいたとき、 x_n, x_(n-1) が N-正則列であることと同値である。 しかし、これは >>84 で証明されている。 証明終
