最終更新日時 2011年03月06日 (日) 21時45分52秒
代数的整数論 005 (291-390)
元スレ： http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/291-390
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1173998720/291-390
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1173998720/291-390
291 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/06(日) 09:16:15
>>289 と >>290 より
Ψ_0 : F_0(D)/Γ → (I(R) × {±1})/P~
と
Φ_0 : (I(R) × {±1})/P~ → Cl+(D)
の合成写像
Φ_0Ψ_0 : F_0(D)/Γ → Cl+(D) は同型である。
292 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/06(日) 09:41:43
>>288 を以下のように修正する。
[ (I, s) ] ∈ (I(R) × {±1})/P~ とする。
即ち、I は R の可逆分数イデアルであり、s = ±1 である。
>>207 より qI が原始イデアルとなるような有理数 q ≠ 0 がある。 よって I は原始イデアルと仮定してよい。
>>210より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。 ここで a, b は有理整数で a ＞ 0 である。
α = a β = b+ (D + √D)/2 とおく。 Δ(α, β) = -a√D だから α, β の向きは正である。
s(αα')/N(I) = sa -(αβ' + βα')/N(I) = -2b - D s(ββ')/N(I) = sc となる。 ただし、 c = (ββ')/N(I) とおいた。
よって f(α, β, s; x, y) = sax^2 - (2b + D)xy + scy^2
よって Ψ_1( [ (I, s) ] ) = [ (sa, -(2b + D), sc) ]
Ψ_0( (sa, b, sc) ] = [ ([sa, b + (D + √D)/2], sign(sa)) ] = [ (I, s) ]
よって Ψ_0Ψ_1 = 1 である。
293 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 06:46:05
>>286 より Ψ_0( [ (a, b, c) ] ) = [ ([a, (-b + √D)/2], sign(a)) ] である。
よって Φ_0Ψ_0( [ (a, b, c) ] ) = [a, (-b + √D)/2]δ ここで δ ∈ K^* は sign(a) = sign(N(δ)) となる任意の元である。
従って、>>242 より Φ_0Ψ_0 = ψ_FI である。
294 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 20:38:51
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D ＞ 0 をその判別式 とする。
>>253 より F_0(D)/Γ と Cl+(D) は集合として同型である。
では広義のイデアル類群 Cl(D) は F_0(D) とどのような関係に あるのだろうか？ この問題について考えてみる。
295 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 20:40:28
(a, b, c) ∈ F_0(D) のとき I = [a, (-b + √D)/2] は R の可逆イデアル である。 a ＞ 0 なら、 α = a β = (-b + √D)/2 とおく。
Δ(α, β) = -a√D ＜ 0 だから I の基底 α, β は正の向きである。
(αα')/N(I) = a^2/(-a) = a -(αβ' + βα')/N(I) = (ab)/a = b (ββ')/N(I) = ac/a = c
だから N(xα - yβ)/N(I) = a^x^2 + bxy + cy^2 である。
a ＜ 0 なら、 α = -a β = (-b + √D)/2 とおく。 Δ(α, β) = a√D ＜ 0 だから I の基底 α, β は正の向きである。
(αα')/N(I) = a^2/(-a) = -a -(αβ' + βα')/N(I) = (-ab)/(-a) = b (ββ')/N(I) = ac/(-a) = -c だから N(xα - yβ)/N(I) = -a^x^2 + bxy - cy^2 である。
従って F_0(D)/Γ において [ (a, b. c) ] と [ (-a, b, -c) ] が同一視出来ればそれによる商集合が Cl(D) と同型になるのでは ないかと見当がつく。
296 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 20:51:58
τ = (1, 0)/(0, -1) とおく。 det(τ) = -1 である。 (a, b. c) ∈ F_0(D) のとき (a, b. c)τ = (a, -b, c) である。
σ ∈ SL_2(Z) とし、(a, b, c)σ = (k, l, m) とする。 (-a, -b, -c) と (-k, -l, -m) も F_0(D) の元であることに注意する。
過去スレ４の401より k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2
よって (-a, -b, -c)σ = (-k, -l, -m)
一方、(-a, b, -c)τ = (-a, -b, -c) だから
(-a, b, -c)τσ = (-k, -l, -m) = (-k, l, -m)τ
τを両辺に掛けて τ^2 = 1 より (-a, b, -c)τστ = (-k, l, -m)
det(τστ) = det(τ)^2 det(σ) = 1
以上から (a, b, c) と (k, l, m) が F_0(D)/Γ の同じ類にあるなら (-a, b, -c) と (-k, l, -m) も同じ類にある。
297 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 21:15:53
>>296 より F_0(D)/Γ の元 [ (a, b, c) ] に [ (-a, b, -c) ] を対応させるのは 代表 (a, b, c) の取り方によらない。
有理整数環 Z の単数群 Z^* = {±1} の元 -1 の F_0(D)/Γ への
作用を [ (a, b, c) ](-1) = [ (-a, b, -c) ] で定義すれば、
[ (a, b, c) ](-1)^2 = [ (a, b, c) ] である。
よって F_0(D)/Γ は (Z^*)-集合(過去スレ４の388)となる。
よって商集合(過去スレ４の390)が (F_0(D)/Γ)/Z^* が定義される。
298 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 21:43:25
(a, b, c) ∈ F_0(D) に Cl(D) の元 [[a, (-b + √D)/2]] を 対応させる写像をχ_0とかく χ_0((a, b, c)) = [[a, (-b + √D)/2]]
>>185 より (a, b, c)S = (a, 2a + b, a + b + c) χ_0((a, b, c)S) = [[a, -a + (-b + √D)/2]] = [[a, (-b + √D)/2]] よって χ_0((a, b, c)S) = χ_0((a, b, c))
>>184 より (a, b, c)T = (c, -b, a) だから χ_0((a, b, c)T) = [[c, (b + √D)/2]]
I = [a, (-b + √D)/2] J = [c, (b + √D)/2] θ = (-b + √D)/2 とおく。
θ'I = [a(-b - √D)/2, ac] = a[(-b - √D)/2, c] = a[c, (b + √D)/2] = aJ よって I と J は Cl(D) の同じ類に属す。 よって χ_0((a, b, c)T) = [[c, (b + √D)/2]] = χ_0((a, b, c))
以上から χ_0 は F_0(D)/Γ から Cl(D) への写像を誘導する。 この写像を同じ記号 χ_0 で表す。 即ち χ_0([ (a, b, c) ]) = [[a, (-b + √D)/2]] である。
299 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 21:48:55
χ_0([ (-a, b, -c) ]) = [[-a, (-b + √D)/2]] = [[a, (-b + √D)/2]] = χ_0([ (a, b, c) ]) だから χ_0 は (F_0(D)/Γ)/Z^* (>>297)から Cl(D) への写像を誘導する。 この写像を同じ記号 χ_0 で表す。 即ち χ_0([[ (a, b, c) ]]) = [[a, (-b + √D)/2]] である。
300 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 21:59:14
I を R の可逆分数イデアルとする。 I = [α, β] で、α, β は正に向き付けられているとする(>>188)。
N(xα - yβ)/N(I) は F(D) の元である。
I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。
>>189 より α = pγ + qδ β = rγ + sδ となる有理整数 p, q, r, t で ps - qr = 1 となるものがある。
N(xα - yβ)/N(I) の α, β に α = pγ + qδ β = rγ + sδ をそれぞれ代入すると
N(xα - yβ)/N(I) = N(x(pγ + qδ) - y(rγ + sδ))/N(I) = ((xp - yr)γ - (-xq + ys)δ)/N(I)
よって、N(xα - yβ)/N(I) と N(xγ - yδ)/N(I) は F(D)/Γ の同じ類に属す。
301 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 22:20:34
δ ∈ K^* として δI を考える。
δI = [δα, δβ] であり、 Δ(δα, δβ) = δαδ'β' - δβδ'α' = N(δ)Δ(α, β)
よって N(δ) ＞ 0 なら Δ(δα, δβ) ＜ 0 だから δα, δβ の向きは正である。
このとき N(xδα - yδβ)/N(δI) = (N(δ)/|N(δ)|) N(xα - yβ)/N(I) = N(xα - yβ)/N(I) よって N(xδα - yδβ)/N(δI) と N(xα - yβ)/N(I) は (F(D)/Γ)/Z^* の同じ類に属す。
N(δ) ＜ 0 なら δα, -δβ の向きは正である。
N(xδα + yδβ)/N(δI) = (N(δ)/|N(δ)|) N(xα + yβ)/N(I) = -N(xα + yβ)/N(I)
>>197 より a = (αα')/N(I) b = -(αβ' + βα')/N(I) c = (ββ')/N(I) とおけば、N(xα - yβ)/N(I) = ax^2 + bxy + cy^2 である。
よって -N(xα + yβ)/N(I) = -ax^2 + bxy - cy^2 である。
よって N(xδα + yδβ)/N(δI) と N(xα - yβ)/N(I) は (F(D)/Γ)/Z^* の同じ類に属す。
302 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 22:32:34
>>300 と >>301 より Cl(D) から (F(D)/Γ)/Z^* への写像が χ_1([I]) = [[N(xα - yβ)/N(I)]] で定義される。
ここで I = [α, β] は R の可逆分数イデアルであり、 α, β は正に向き付けられているとする。
303 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 22:40:04
>>295 より χ_1χ_0 = 1 である。
304 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 22:41:44
I を R の原始イデアルとする。 >>210より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。 ここで a, b は有理整数で a ＞ 0 である。
α = a β = b + (D + √D)/2 とおく。 Δ(α, β) = -a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において (αα')/N(I) = a^2/a = a -(αβ' + βα')/N(I) = -a(2b + D)/a = -2b - D (ββ')/N(I) = (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a
よって χ_1([I]) = [[ (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) ]]
χ_0χ_1([I]) = [[a, b + (D + √D)/2]]
よって χ_0χ_1 = 1 である。
305 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 22:43:54
>>303 と >>304 より (F_0(D)/Γ)/Z^* と Cl(D) は集合として同型 である。 これで >>294 の問題は解決した。
306 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 22:49:01
訂正
>>285 >Δ(δα, δβ) = Δ(α, β) >だから δα, δβ の向きは正である。
sign(Δ(δα, δβ)) = sign(Δ(α, β)) = -1 だから δα, δβ の向きは正である。
307 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/07(月) 22:52:16
訂正
>>285 >Δ(δα, δβ) = -Δ(α, β) >だから δα, -δβ の向きは正である。
sign(Δ(δα, δβ)) = -sign(Δ(α, β)) = 1 だから δα, -δβ の向きは正である。
308 ：１３２人目の素数さん：2007/05/08(火) 04:10:00
55
309 ：１３２人目の素数さん：2007/05/08(火) 04:11:00
54
310 ：１３２人目の素数さん：2007/05/08(火) 04:12:07
53
311 ：１３２人目の素数さん：2007/05/08(火) 04:13:00
52
312 ：１３２人目の素数さん：2007/05/08(火) 04:14:00
51
313 ：１３２人目の素数さん：2007/05/08(火) 04:15:00
50
314 ：１３２人目の素数さん：2007/05/09(水) 04:10:00
49
315 ：１３２人目の素数さん：2007/05/09(水) 04:11:00
48
316 ：１３２人目の素数さん：2007/05/09(水) 04:12:03
47
317 ：１３２人目の素数さん：2007/05/09(水) 04:13:00
46
318 ：１３２人目の素数さん：2007/05/09(水) 04:14:00
47
319 ：１３２人目の素数さん：2007/05/09(水) 04:15:00
46
320 ：１３２人目の素数さん：2007/05/10(木) 04:10:00
45
321 ：１３２人目の素数さん：2007/05/10(木) 04:11:01
44
322 ：１３２人目の素数さん：2007/05/10(木) 04:12:01
43
323 ：１３２人目の素数さん：2007/05/10(木) 04:13:00
42
324 ：１３２人目の素数さん：2007/05/10(木) 04:14:00
41
325 ：１３２人目の素数さん：2007/05/10(木) 04:15:00
40
326 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/10(木) 12:43:06
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。
Q+(D) = { (-b + √D)/2a ; a ＞ 0, D ≡ b^2 (mod 4a) } とおく。
これは >>218 で Qd と書いたものである。
>>218 より
φ_FQ([ (a, b, c) ]) = ([ (-b + √D)/2|a| ], sign(a))
により同型 φ_FQ : F(D)/Γ_∞ → Q+(D)/Z × {±1}
が得られる。
(a, b, c) ∈ F(D) に ((-b + √D)/2|a|, sign(a)) を対応させる
ことにより
写像 F(D) → Q+(D) × {±1} が得られる。
この写像を記号の濫用でやはり φ_FQ と書くことにする。
これは明らかに集合としての同型である。
327 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/10(木) 16:58:20
判別式が正の２次形式を不定符号２次形式と呼ぶ。
328 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/10(木) 17:01:14
過去スレ４の293で判別式が負の２次形式 (a, b, c) で a ＞ 0 のとき (a, b, c) は正定値というと書いたが、 これは Zagier の数論入門の日本語訳(岩波) から借りたものである。
しかし、この訳語はあまり良くない。 判別式が負の２次形式を定符号２次形式と呼び、 正定値の代わりに正の定符号と呼んだほうが意味がはっきりする。 しかし、今さら変えるのも混乱するのでこのままにしておく。
329 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/10(木) 20:38:01
(a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 即ち、不定符号２次形式(>>327)とする。
>>326 より (a, b, c) には ((-b + √D)/2|a|, sign(a)) が対応する。
(-b + √D)/2|a| は２次無理数だから >>41 以降で展開した連分数の 理論が適用できる。 この理論を上記の対応により２次形式の言葉に翻訳しよう。
330 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/10(木) 20:44:53
定義 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 θ = (-b + √D)/2|a| とおく。
1/θ が簡約された２次無理数のとき (a, b, c) を簡約された２次形式、 または単に簡約２次形式という。
331 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/10(木) 20:47:39
>>330 において、θ ではなく 1/θ としたのは後で述べる ２次形式の簡約過程の計算をより単純にするためである。
332 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/10(木) 21:11:44
補題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 θ = (-b + √D)/2|a| とおく。
(a, b, c) が簡約２次形式であるためには
0 ＜ θ ＜ 1 1 ＜ -θ'
が必要十分である。
ここで、θ' はいつものように θ の共役を表す。
証明 1/θ が簡約ということは >>95 より
1/θ ＞ 1 -1 ＜ 1/θ' ＜ 0
ということである。
1/θ ＞ 1 は 0 ＜ θ ＜ 1 と同値である。
-1 ＜ 1/θ' ＜ 0 は -θ' ＞ 1 と同値である。 証明終
333 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/10(木) 22:54:24
命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 (a, b, c) が簡約２次形式であるためには
|√D - 2|a|| ＜ b ＜ √D
が必要十分である。
証明 θ = (-b + √D)/2|a| とおく。
>>332 より (a, b, c) が簡約２次形式であるためには 0 ＜ θ ＜ 1 1 ＜ -θ' が必要十分である。 0 ＜ θ ＜ 1 より 0 ＜ (-b + √D)/2|a| ＜ 1 だから 0 ＜ -b + √D ＜ 2|a| よって √D - 2|a| ＜ b ＜ √D
他方 1 ＜ (b + √D)/2|a| より 2|a| ＜ b + √D よって 2|a| - √D ＜ b
よって |√D - 2|a|| ＜ b ＜ √D
この逆も明らかである。 証明終
334 ：１３２人目の素数さん：2007/05/11(金) 07:57:24
oniku!!
335 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/11(金) 09:42:22
命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。
このとき ac ＜ 0 である。 即ち a と c は符号が反対である。 つまり sign(c) = -sign(a)
証明 >>333 より 0 ＜ b ＜ √D
よって b^2 ＜ D
D - b^2 = -4ac だから 0 ＜ -4ac
よって ac ＜ 0 証明終
336 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/11(金) 09:43:42
命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。 このとき |a| + |c| ＜ √D である。
証明 >>333 より |√D - 2|a|| ＜ b
両辺を２乗して (√D - 2|a|)^2 ＜ b^2
よって (√D - 2|a|)^2 - b^2 = D - 4|a|√D + 4a^2 - b^2 = -4ac - 4|a|√D + 4a^2 ＜ 0
よって ((√D - 2|a|)^2 - b^2)/4|a| = -ac/|a| - √D + |a| = -sign(a)c - √D + |a| = sign(c)c - √D + |a| = |c| - √D + |a| ＜ 0 証明終
337 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/11(金) 09:44:42
命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 (a, b, c) が簡約２次形式(>>330)であるためには
|√D - 2|c|| ＜ b ＜ √D
が必要十分である。
証明 >>333 より |√D - 2|a|| ＜ b よって -b ＜ √D - 2|a| ＜ b 即ち 0 ＜ √D - b ＜ 2|a| ＜ √D + b
√D - b ＜ 2|a| の両辺に √D + b を掛けて -4ac ＜ 2|a|(√D + b) -2sign(a)c ＜ √D + b 2sign(c)c ＜ √D + b よって 2|c| - √D ＜ b
他方 2|a| ＜ √D + b の両辺に √D - b を掛けて
2|a|(√D - b) ＜ -4ac √D - b ＜ -2sign(a)c = 2sign(c)c = 2|c| √D - b ＜ 2|c| よって -b ＜ 2|c| - √D 以上から |√D - 2|c|| ＜ b ＜ √D
同様にして、この式から逆に |√D - 2|a|| ＜ b ＜ √D がでる。 証明終
338 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/11(金) 09:50:01
(a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。
>>333 より 0 ＜ b ＜ √D >>336 より |a| + |c| ＜ √D
従って、判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式 (a, b, c) の個数は 有限である。
339 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/11(金) 15:15:39
(a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。
θ = (-b + √D)/2|a| とおく。
α = 1/θ - [1/θ] とおくと
1/θ = [1/θ] + 1/(1/α) である。
>>41 の連分数の記号で書くと 1/θ = [[1/θ], 1/α]
α = 1/θ - [1/θ] を計算しよう。
>>335 より sign(a) = -sign(c) であることに注意する。
1/θ = 2|a|/(-b + √D) = 2|a|(-b - √D)/4ac = sign(a)(-b - √D)/2c = -sign(c)(-b - √D)/2c = (b + √D)/2|c|
よって 1/θ - [1/θ] = (b + √D)/2|c| - [(b + √D)/2|c|] = (b - 2|c|[(b + √D)/2|c|] + √D])/2|c| ∈ Q+(D)
よって >>326 より
φ_FQ( (c, r, (r^2 - D)/4c) ) = (1/θ - [1/θ], -sign(a)) である。 ここで r = -b + 2|c|[(b + √D)/2|c|]
340 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/11(金) 15:36:10
>>339 の続き。
n = [(b + √D)/2|c|] とおく。 即ち n ＜ (b + √D)/2|c| ＜ n + 1
よって 2|c|n ＜ b + √D ＜ 2|c|n + 2|c|
r = -b + 2|c|n だから
√D - 2|c| ＜ r ＜ √D
341 ：１３２人目の素数さん：2007/05/13(日) 04:10:00
40
342 ：１３２人目の素数さん：2007/05/13(日) 04:11:00
39
343 ：１３２人目の素数さん：2007/05/13(日) 04:12:00
38
344 ：１３２人目の素数さん：2007/05/13(日) 04:13:00
37
345 ：１３２人目の素数さん：2007/05/13(日) 04:14:00
36
346 ：１３２人目の素数さん：2007/05/13(日) 04:15:00
35
347 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/13(日) 13:05:45
(a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 D = b^2 - 4ac は平方数でないと仮定しているから c ≠ 0 である。
>>340 と同様に
n = [(b + √D)/2|c|] r = -b + 2|c|n とおく。
>>340 と同様に √D - 2|c| ＜ r ＜ √D である。
>>339 を参考にして２次形式 (c, r, (r^2 - D)/4c) を考える。
r^2 - D = (-b + 2|c|n)^2 - D = b^2 - 4b|c|n + 4c^2 n^2 - b^2 + 4ac = - 4b|c|n + 4c^2 n^2 + 4ac
よって (r^2 - D)/4c = a - sign(c)bn + cn^2
よって (c, r, (r^2 - D)/4c) = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2)
σ = (0, 1)/(-1, -sign(c)n) とおく。 det(σ) = 1 だから σ ∈ SL_2(Z) である。
過去スレ４の280より (a, b, c)σ = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2) である。
348 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/13(日) 15:39:41
ρ(a, b, c) = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2) とおく。 即ち ρ(a, b, c) = (a, b, c)σ である。
ρ(a, b, c) = (a_1, b_1, c_1) とおく。
|c_1| ＜ |a_1| なら、即ち |a - sign(c)bn + cn^2| ＜ |c| なら
ρ(a_1, b_1, c_1) = (a_2, b_2, c_2) とおく。
以下同様にして |c_(n-1)| ＜ |a_(n-1)| なら ρ(a_(n-1), b_(n-1), c_(n-1)) = (a_n, b_n, c_n) とおく。
|c| = |a_1| ＞ |c_1| = |a_2| ＞ . . . ＞ |c_(n-1)| = |a_n|
|c| は有限だからこの過程は有限回で終わる。 よって |a_n| ≦ |c_n| となる n がある。
このとき (ρ^n)(a, b, c) = (a_n, b_n, c_n) は簡約された２次形式 であることを証明しよう。
349 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/13(日) 16:29:19
記号を簡単にするため (a_n, b_n, c_n) = (A, B, C) とおく。 |A| ≦ |C| である。
>>347 より √D - 2|A| ＜ B ＜ √D よって 0 ＜ √D - B ＜ 2|A| よって 1/|√D - B| ＞ 1/(2|A|)
一方、 |√D - B||√D + B| = |D - B^2| = 4|A||C| よって |√D + B| = 4|A||C|/|√D - B| ＞ 2|C| よって |√D + B| ＞ 2|C| ≧ 2|A| ＞ √D - B ＞ 0
B ＜ 0 とすると √D + B = √D - |B| √D - B = √D + |B| よって |√D - |B|| ＞ √D + |B| となって矛盾。
従って、B ≧ 0 である。 B = 0 なら |√D + B| ＞ √D - B より √D ＞ √D となって矛盾。 よって B ＞ 0 である。 よって 0 ＜ B ＜ √D である。
上の |√D + B| ＞ 2|C| ≧ 2|A| ＞ √D - B ＞ 0 より √D - B ＜ 2|A| ＜ √D + B 即ち |√D - 2|A|| ＜ B ＜ √D である。 よって (A, B, C) は簡約されている。
350 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/13(日) 18:17:50
命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 (a, b, c) が簡約されていれば >>348 で定義した ρ(a, b, c) も 簡約されている。
証明 n = [(b + √D)/2|c|] r = -b + 2|c|n とおく。 ρ(a, b, c) = (c, r, (r^2 - D)/4c) である。
>>347 より √D - 2|c| ＜ r ＜ √D
|c| ＜ (√D)/2 なら 0 ＜ √D - 2|c| よって |√D - 2|c|| ＜ r ＜ √D よって ρ(a, b, c) は簡約されている。
|c| ＞ (√D)/2 なら 2|c| - √D ＞ 0 (a, b, c) は簡約されているから 2|c| - √D = |√D - 2|c|| ＜ b ＜ √D よって 2|c| ＜ b + √D ＜ 2√D ＜ 4|c|
よって 1 ＜ (b + √D)/2|c| ＜ 2 よって [(b + √D)/2|c|] = 1 r = -b + 2|c| ＞ 2|c| - √D = |√D - 2|c|| 一方 2|c| - √D ＜ b だから r = -b + 2|c| ＜ √D よって ρ(a, b, c) は簡約されている。 証明終
351 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/18(金) 12:13:22
D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。
>>326 で
φ_FQ((a, b, c)) = ((-b + √D)/2|a|, sign(a)) により
写像 φ_FQ : F(D) → Q+(D) × {±1} を定義した。
任意の σ ∈ SL_2(Z) に対してある τ ∈ GL_2(Z) があり
φ_FQ((a, b, c)σ) = (τ(θ), det(τ)sign(a))
となることを証明しよう。
ここで (a, b, c) は F(D) の任意の元であり、 θ = (-b + √D)/2|a| である。
352 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/18(金) 14:39:08
>>351 の主張は(たぶん)誤りなので >>351 は削除する。
353 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/18(金) 21:42:49
補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 (a, b, c) を判別式 D の2次形式とする。 σ = (p, q)/(r, s) ∈ GL_2(Z) とし、 (a, b, c)σ = (k, l, m)とする。
θ = (-b + √D)/2a とおき、τ = (-sθ + q)/(rθ - p) とする。 即ち θ = (pτ + q)/(rτ + s) である。 このとき τ = (-l + (ps - qr)√D)/2k
証明 過去スレ４の401より k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2
τ = (-sθ + q)/(rθ - p) に θ = (-b + √D)/2a を代入すると、 τ = (-s(-b + √D) + 2aq)/(r(-b + √D) - 2ap) この分子と分母にそれぞれ (r(-b - √D) - 2ap) を掛けると
分子 = (-s(-b + √D) + 2aq)(r(-b - √D) - 2ap) = -4acrs - 2apsb - 2aqrb + (2aps - 2aqr)√D = -2a(2crs + psb + qrb + 2apq) + 2a(ps - qr)√D = -2al + 2a(ps - qr)√D
分母 = (r(-b + √D) - 2ap)(r(-b - √D) - 2ap) = 4acr^2 + 4abpr + 4a^2p^2 = 4a(cr^2 + bpr + ap^2) = 4ak
よって τ= (-l + (ps - qr)√D)/2k 証明終
354 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/18(金) 22:25:29
D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。
判別式 D の簡約2次形式(>>330)の集合を RF(D) と書く。
355 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/18(金) 22:32:47
D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。
σ = (p, q)/(r, s) ∈ GL_2(Z) とし、 (a, b, c) を判別式 D の2次形式とする。
過去スレ４の401より k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2 とおけば
(a, b, c)σ = (k, l, m)
とくに U = (0, 1)/(1, 0) ∈ GL_2(Z) のとき
(a, b, c)U = (c, b, a)
明らかに (a, b, c) が簡約(>>330)されていれば (a, b, c)U = (c, b, a) も簡約されている。
μ(a, b, c) = (c, b, a) と書く。
μ は RF(D) (>>354) から RF(D) への写像を定める。 この写像をやはり μ と書く。
μ^2 = 1 だから μ は RF(D) の集合としての自己同型である。
356 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/18(金) 23:34:23
>>348 の ρ(a, b, c) は RF(D) (>>354) から RF(D) への写像を 定める。この写像をやはり ρ と書く。
(ρμ)(ρμ) = (μρ)(μρ) = 1 となることを示そう。
>>347 より n = [(b + √D)/2|c|] として、 σ = (0, 1)/(-1, -sign(c)n) とおくと、 σ ∈ SL_2(Z) で、ρ(a, b, c) = (a, b, c)σである。
>>355 より U = (0, 1)/(1, 0) とおくと、 μ(a, b, c) = (a, b, c)U
σU = (1, 0)/(-sign(c)n, -1) よって (σU)(σU) = 1
よって (ρμ)(ρμ) = 1
同様に、 Uσ = (-1, -sign(c)n)/(0, 1) よって (Uσ)(Uσ) = 1 よって (μρ)(μρ) = 1
357 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/18(金) 23:39:39
>>356 より ρ^(-1) = μρμ である。 よって (a, b, c) ∈ RF(D) のとき ρ^(-1)(a, b, c) ∈ RF(D) である。 よって ρ は RF(D) の集合としての自己同型である。
358 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/19(土) 02:05:20
D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。
(a, b, c) ∈ RF(D) (>>354) とする。
i ＞ 0 を任意の正の有理整数とすると、 >>350 より (ρ^i)(a, b, c) ∈ RF(D) である。
>>338 より RF(D) は有限集合である。 従って、(ρ^n)(a, b, c) = (ρ^(n+m))(a, b, c) となる n ＞ 0 と m ＞ 0 がある。
>>357 より RF(D) の集合としての自己同型 ρ^(-n) が存在するから ρ^(-n)(ρ^n)(a, b, c) = ρ^(-n)(ρ^(n+m))(a, b, c) より、 (a, b, c) = (ρ^m)(a, b, c) となる。
さて、(a, b, c) は簡約されているので、>>335 より (a, b, c) の先頭項、即ち a と ρ(a, b, c) の先頭項 c は 符号が反対である。 同様に i ＞ 0 を任意の正の有理整数とすると、 (ρ^i)(a, b, c) の先頭項と (ρ^(i+1))(a, b, c) の先頭項は 符号が反対である。 従って、(a, b, c) = (ρ^m)(a, b, c) となる m は偶数である。
359 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/19(土) 02:27:23
D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。
>>357 より ρ は RF(D) の自己同型である。 G を ρ で生成される巡回群とする。 RF(D) は G-集合(過去スレ４の388)となる。 よって軌道空間(過去スレ４の390) RF(D)/G が考えられる。
f ∈ RF(D) のとき f の軌道(過去スレ４の390) は
>>358 より { f, ρf, . . . , ρ^(m-1)f } の形である。
ここで (ρ^m)f = f であり、 0 ≦ i ＜ j ＜ m のとき
(ρ^i)f ≠ (ρ^j)f である。
さらに m は偶数である。
f の軌道のことを f のサイクルと呼ぶ。
360 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/19(土) 03:20:43
>>359 において f のサイクル { f, ρf, . . . , ρ^(m-1)f } の
元の個数 m を ｆのサイクルの長さという。
361 ：１３２人目の素数さん：2007/05/20(日) 04:10:00
42
362 ：１３２人目の素数さん：2007/05/20(日) 04:11:00
41
363 ：１３２人目の素数さん：2007/05/20(日) 04:12:00
40
364 ：１３２人目の素数さん：2007/05/20(日) 04:13:00
39
365 ：１３２人目の素数さん：2007/05/20(日) 04:14:00
38
366 ：１３２人目の素数さん：2007/05/20(日) 04:15:00
37
367 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/20(日) 10:13:37
D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。
f = (a, b, c) を判別式 D の簡約２次形式とする。
f のサイクル(>>359) を { f, ρf, . . . , ρ^(m-1)f } とする。
n ≧ 0 のとき (ρ^n)f = f_n
f_n = (a_n, b_n, c_n) とおく。
f のサイクルは { f_0, f_1, . . . , f_(m-1) } である。
>>326 で
φ_FQ((a, b, c)) = ((-b + √D)/2|a|, sign(a)) により
写像 φ_FQ : F(D) → Q+(D) × {±1} を定義した。
θ_n = (-b_n + √D)/2|a_n| とおくと、
φ_FQ(f_n) = (θ_n, sign(a_n)) である。
368 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/20(日) 10:24:42
>>339 より
φ_FQ( ρ(a, b, c) ) = (1/θ - [1/θ], -sign(a))
よって φ_FQ( ρ(f_n) ) = (1/θ_n - [1/θ_n], -sign(a_n))
よって (θ_(n+1), sign(a_(n+1)) = (1/θ_n - [1/θ_n], -sign(a_n))
即ち θ_(n+1) = 1/θ_n - [1/θ_n] sign(a_(n+1) = -sign(a_n)
よって sign(a_n) = (-1)^n sign(a_0)
369 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/20(日) 10:35:53
>>368 より
f = (a, b, c) のサイクルは 1/θ の連分数展開 と対応していることがわかる。
(a, b, c) は簡約されているから >>335 より sign(c) = -sign(a)
よって 1/θ = 2|a|/(-b + √D) = 2|a|(-b - √D)/4ac = -sign(a)(b + √D)/2c = sign(c)(b + √D)/2c = (b + √D)/2|c|
370 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/20(日) 10:49:57
ここで、簡約２次形式のサイクルの計算例を述べる。
D = 52 = 4×13 として２次形式 f = (3, 2, -4) を考える。
[√D] = 7 である。
|√D - 6| ＜ 2 ＜ √D だから (3, 2, -4) は簡約されている。
(a, b, c) = (3, 2, -4) とおく。 >>348 より ρ(a, b, c) = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2)
n = [(b + √D)/2|c|] = [(2 + √D)/8] = 1 だから ρ(3, 2, -4) = (-4, 6, 1)
同様に [(6 + √D)/2] = 6 だから ρ(-4, 6, 1) = (1, 6, -4)
以下同様にして長さ10のサイクル
(3, 2, -4) → (-4, 6, 1) → (1, 6, -4) → (-4, 2, 3) → (3, 4, -3) → (-3, 2, 4) → (4, 6, -1)→(-1, 6, 4) → (4, 2, -3) → (-3, 4, 3) →(3, 2, -4)
が得られる。
371 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/20(日) 11:16:11
>>367 より θ_n = (-b_n + √D)/2|a_n| とおくと、 φ_FQ(f_n) = (θ_n, sign(a_n)) = (1/(1/θ_n), sign(a_n))
よって φ_FQ( (3, 2, -4) ) = ( (-2 + √D)/6, 1 ) = (1/((2 + √D)/8), 1) φ_FQ( (-4, 6, 1) ) = ( (-6 + √D)/8, 1 ) = (1/((6 + √D)/2), -1) φ_FQ( (1, 6, -4) ) = ( (-6 + √D)/2, 1 ) = (1/((6 + √D)/8), 1) φ_FQ( (-4, 2, 3) ) = ( (-2 + √D)/8, 1 ) = (1/((2 + √D)/6), -1) φ_FQ( (3, 4, -3) ) = ( (-4 + √D)/6, 1 ) = (1/((4 + √D)/6), 1) φ_FQ( (-3, 2, 4) ) = ( (-2 + √D)/6, 1 ) = (1/((2 + √D)/8), -1) φ_FQ( (4, 6, -1) ) = ( (-6 + √D)/8, 1 ) = (1/((6 + √D)/2), 1) φ_FQ( (-1, 6, 4) ) = ( (-6 + √D)/2, 1 ) = (1/((6 + √D)/8), -1) φ_FQ( (4, 2, -3) ) = ( (-2 + √D)/8, 1 ) = (1/((2 + √D)/6), 1) φ_FQ( (-3, 4, 3) ) = ( (-4 + √D)/6, 1 ) = (1/((4 + √D)/6), -1) φ_FQ( (3, 2, -4) ) = ( (-2 + √D)/6, 1 ) = (1/((2 + √D)/6), 1)
372 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/20(日) 11:28:39
>>371 から次の巡回系列が得られる。
(1/((2 + √D)/8), 1) → (1/((6 + √D)/2), -1) → (1/((6 + √D)/8), 1) → (1/((2 + √D)/6), -1) → (1/((4 + √D)/6), 1) → (1/((2 + √D)/8), -1)
→ (1/((6 + √D)/2), 1) → (1/((6 + √D)/8), -1) → (1/((2 + √D)/6), 1) → (1/((4 + √D)/6), -1) → (1/((2 + √D)/6), 1)
これから、符号を無視すると以下の簡約２次無理数の長さ５の巡回系列が ２つ繰り替えされていることが分かる。
(2 + √D)/8 → (6 + √D)/2 → (6 + √D)/8 → (2 + √D)/6 → (4 + √D)/6 → (2 + √D)/8
373 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/20(日) 11:33:29
>>372 >→ (1/((6 + √D)/2), 1) → (1/((6 + √D)/8), -1) >→ (1/((2 + √D)/6), 1) → (1/((4 + √D)/6), -1) >→ (1/((2 + √D)/6), 1)
→ (1/((6 + √D)/2), 1) → (1/((6 + √D)/8), -1) → (1/((2 + √D)/6), 1) → (1/((4 + √D)/6), -1) → (1/((2 + √D)/8), -1)
374 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/20(日) 15:31:31
(2 + √D)/8 を連分数に展開してみよう。
(2 + √D)/8 = 1 + (-6 + √D)/8 = 1 + 1/(6 + √D)/2
(6 + √D)/2 = 6 + (-6 + √D)/2 = 6 + 1/(6 + √D)/8
(6 + √D)/8 = 1 + (-2 + √D)/8 = 1 + 1/(2 + √D)/6
(2 + √D)/6 = 1 + (-4 + √D)/6 = 1 + 1/(4 + √D)/6
(4 + √D)/6 = 1 + (-2 + √D)/6 = 1 + 1/(2 + √D)/8
よって (2 + √D)/8 = [1, 6, 1, 1, 1, ...]
ここに現れた、簡約２次無理数の巡回列は >>372 と同じものである。
375 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/05/20(日) 16:16:57
D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。
f = (a, b, c) と g = (k, l, m) を判別式 D の簡約２次形式とする。
f と g が F(D)/Γ の同じ類に属すとする。 ここで F(D) は判別式 D の２次形式の集合であり、Γ = SL_2(Z) である(>>234)。
このとき f のサイクルと g のサイクルは一致することを証明しよう。 ρ(f) の先頭項は a の符号と反対であり、f と ρ(f) は F(D)/Γ の 同じ類に属すから a ＞ 0 と仮定してよい。 同様に k ＞ 0 と仮定してよい。
σ = (p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) とし、 (a, b, c)σ = (k, l, m)とする。
θ = (-b + √D)/2a とおき、τ = (-sθ + q)/(rθ - p) とする。 即ち θ = (pτ + q)/(rτ + s) である。 このとき >>353 より τ = (-l + √D)/2k
θ = (pτ + q)/(rτ + s) より 1/θ = (r + s(1/τ)/(p + q(1/τ))
>>112 より、ある実無理数 ω と n ≧ 1, m ≧ 1 があり、 1/θ = [k_0, . . . , k_(n-1), ω] 1/τ = [h_0, . . . , h_(m-1), ω] となる。 ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 であり、 各 h_i も有理整数で i ≧ 1 のとき h_i ≧ 1 である。
376 ：１３２人目の素数さん：2007/05/20(日) 16:32:15
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