最終更新日時 2011年03月06日 (日) 21時48分53秒
代数的整数論 005 (591-670)
元スレ： http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/591-670
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1173998720/591-670
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591 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 10:46:51
補題 D を有理整数で、D ≡ 0 (mod 8) とする。 ψ_1, ψ_2 を >>511 で定義したものとする。 つまり n が奇数のとき ψ_1(n) = (-1)^((n-1)/2) ψ_2(n) = (-1)^((n^2 - 1)/8)
(Z/DZ)^* の元 [n] に (ψ_1(n), ψ_2(n)) を対応させる写像
(Z/DZ)^* → {±1}^2 は全射である。
証明 mod 8 で奇数は 1, 3, 5, 7 のどれかと合同である。
ψ_1(1) = 1 ψ_1(3) = -1 ψ_1(5) = 1 ψ_1(7) = -1
ψ_2(1) = 1 ψ_2(3) = -1 ψ_2(5) = -1 ψ_2(7) = 1
これから補題の主張が得られる。 証明終
592 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 11:29:10
補題 p を奇素数とする。 n ≧ 1 を有理整数とする。
G = (Z/(p^n)Z)^* とおく。
[a] ∈ G に Legendre の記号 (a/p) を対応させることにより
アーベル群としての準同型 χ_p : G → {±1} が得られる。
このとき χ_p は全射で Ker(χ_p) = G^2 である。
証明 mod p^n の原始根を r とする。 G の任意の元は [r] のベキとして書けるから (r/p) = 1 とすると G の任意の元 [a] に対して (a/p) = 1 となって 矛盾する。 よって (r/p) = -1 である。 よって G の元 [r]^e にたいして χ_p([r]^e) = (-1)^e となる。 これから補題の主張は直ちにでる。 証明終
593 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 11:57:59
補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。
>>590 で定義した
Φ : (Z/DZ)^* → {±1}^μ
は全射である。
証明 D = ±Π(p^a) を D の素因数分解とする。
中国式剰余定理(過去スレ１の341)から Z/DZ = ΠZ/(p^a)Z ここで等号は環としての同型を表す。
よって過去スレ４の612から (Z/DZ)^* = Π(Z/(p^a)Z)^* ここで等号は群としての同型を表す。
ψ_1, ψ_2 を >>511 で定義したものとする。
a ≧ 2 のとき ψ_1 が誘導する準同型 Z/(2^a)Z → {±1} は
明らかに全射である。
a ≧ 3 のとき ψ_2 が誘導する準同型 Z/(2^a)Z → {±1} は
明らかに全射である。
以上の事実と >>591 と >>592 から Φ は全射である。 証明終
594 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 12:26:59
補題
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 1 (mod 4) とする。
H = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で判別式 D の主形式により
表現される }
とおく。
Φ : (Z/DZ)^* → {±1}^μ を >>590 で定義した準同型とする。
H = Ker(Φ) である。
証明 G = (Z/DZ)^* とおく。 >>587 より H = G^2 である。
D = ±Π(p^a) を D の素因数分解とする。 D ≡ 1 (mod 4) だから各 p は奇素数である。
>>593 の証明から (Z/DZ)^* = Π(Z/(p^a)Z)^*
よって >>592 より Ker(Φ) = G^2 である。 証明終
595 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 13:35:39
補題
D を平方数でない有理整数で、D = (2^(a + 2))m とする。
ここで a ≧ 4 で m は奇数である。
H = { [k] ∈ (Z/DZ)^* ; k は D と素で判別式 D の主形式により
表現される } とおく。
Φ : (Z/DZ)^* → {±1}^μ を >>590 で定義した準同型とする。
このとき H = Ker(Φ) である。
証明 G = (Z/DZ)^* とおく。 [k] ∈ H とすると k = u^2 - (2^a)mv^2 となる有理整数 u, v がある。 m = Π(p_i)^(r_i) をm の素因数分解とする。 k ≡ u^2 (mod (p_i)^(r_i)) である。
>>588 より k ≡ z^2 (mod 2^(a + 2)) となる有理整数 z がある。
中国式剰余定理から 各 i に対して w ≡ u (mod (p_i)^(r_i)) かつ w ≡ z (mod 2^(a + 2)) となる有理整数 w がある。 よって k ≡ w^2 (mod D) である。 よって H ⊂ G^2 である。 逆の包含関係は明らかだから H = G^2 である。
中国式剰余定理から G = K×ΠG_i よって G^2 = K^2×Π(G_i)^2
ここで K = (Z/(2^(a + 2))Z)^* G_i = (Z/((p_i)^(r_i))Z)^*
よって >>592 と >>589 より H = Ker(Φ) である。 証明終
596 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 15:23:03
補題
D を平方数でない有理整数で、D = 4m とする。
ここで m は奇数である。
H = { [k] ∈ (Z/DZ)^* ; k は D と素で判別式 D の主形式により
表現される } とおく。
Φ : (Z/DZ)^* → {±1}^μ を >>590 で定義した準同型とする。
このとき H = Ker(Φ) である。
証明 G = (Z/DZ)^* とおく。 [k] ∈ H とすると k = u^2 - mv^2 となる有理整数 u, v がある。
m = Π(p_i)^(r_i) をm の素因数分解とする。 k ≡ u^2 (mod (p_i)^(r_i)) である。
1) m ≡ 1, 5 (mod 8) のとき >>507 と >>508 より k ≡ 1, 3, 5, 7 (mod 8) となる。
よって k ≡ 1, 3 (mod 4) となる。
よって、この場合 H = Ker(Φ) である。
2) m ≡ 3, 7 (mod 8) のとき >>508 より k ≡ 1, 5 (mod 8) である。
よって k ≡ 1 (mod 4) となる。 よって、この場合も H = Ker(Φ) である。 証明終
597 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 16:08:58
補題
D を平方数でない有理整数で、D = 8m とする。
ここで m は奇数である。
H = { [k] ∈ (Z/DZ)^* ; k は D と素で判別式 D の主形式により
表現される } とおく。
Φ : (Z/DZ)^* → {±1}^μ を >>590 で定義した準同型とする。
このとき H = Ker(Φ) である。
証明 [k] ∈ H とすると k = u^2 - 2mv^2 となる有理整数 u, v がある。
m = Π(p_i)^(r_i) をm の素因数分解とする。 k ≡ u^2 (mod (p_i)^(r_i)) である。
m ≡ 1, 3, 5, 7 (mod 8) だから 2m ≡ 2, 6 (mod 8) である。
2m ≡ 2 (mod 8) のとき >>509 より k ≡ 1, 7 (mod 8) である。
これは、>>511 で定義した ψ_2 に関して ψ_2(k) = 1 と同値である。
2m ≡ 6 (mod 8) のとき >>507 より k ≡ 1, 3 (mod 8) である。 これは、>>511 で定義した ψ_1、ψ_2 に関して ψ_1(k)ψ_2(k) = 1 と同値である。
以上から H = Ker(Φ) である。 証明終
598 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 16:57:37
補題
D を平方数でない有理整数で、D = 16m とする。
ここで m は奇数である。
H = { [k] ∈ (Z/DZ)^* ; k は D と素で判別式 D の主形式により
表現される } とおく。
Φ : (Z/DZ)^* → {±1}^μ を >>590 で定義した準同型とする。
このとき H = Ker(Φ) である。
証明 [k] ∈ H とすると k = u^2 - 4mv^2 となる有理整数 u, v がある。
m = Π(p_i)^(r_i) をm の素因数分解とする。 k ≡ u^2 (mod (p_i)^(r_i)) である。
m ≡ 1, 3, 5, 7 (mod 8) だから 4m ≡ 4 (mod 8) である。
>>509 より k ≡ 1, 5 (mod 8) である。
これは、>>511 で定義した ψ_1 に関して ψ_1(k) = 1 と同値である。
以上から H = Ker(Φ) である。 証明終
599 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 17:30:36
補題
D を平方数でない有理整数で、D = 32m とする。
ここで m は奇数である。
H = { [k] ∈ (Z/DZ)^* ; k は D と素で判別式 D の主形式により
表現される } とおく。
Φ : (Z/DZ)^* → {±1}^μ を >>590 で定義した準同型とする。
このとき H = Ker(Φ) である。
証明 [k] ∈ H とすると k = u^2 - 8mv^2 となる有理整数 u, v がある。
m = Π(p_i)^(r_i) をm の素因数分解とする。 k ≡ u^2 (mod (p_i)^(r_i)) である。
8m ≡ 0 (mod 8) である。
>>507 より k ≡ 1 (mod 8) である。
これは、>>511 で定義した ψ_1, ψ_2 に関して ψ_1(k) = ψ_2(k) = 1 と同値である。
以上から H = Ker(Φ) である。 証明終
600 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 17:39:24
>>593, >>594, >>595, >>596, >>597, >>598, >>599 をまとめると 次の命題が得られる。
命題
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
H = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で判別式 D の主形式により
表現される }
とおく。
Φ : (Z/DZ)^* → {±1}^μ を >>590 で定義した準同型とする。
このとき H = Ker(Φ) である。
よって G = (Z/DZ)^* とおくと G/H は {±1}^μ と同型である。
601 ：１３２人目の素数さん：2007/07/03(火) 17:39:39
うわなんでこの人1人でこんなに楽しそうなのｗ
602 ：１３２人目の素数さん：2007/07/03(火) 17:52:46
>>601
数学とは、こんな物だよ。楽しめる人も限られる。
しかし、ネラーの母数、範囲は広大だから、観客は結構居る。
603 ：１３２人目の素数さん：2007/07/03(火) 17:59:36
まぁクンマーだからな
604 ：１３２人目の素数さん：2007/07/03(火) 18:23:17
そうそう。204だっけ？
605 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 18:40:09
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。
f = (a, b, c) を判別式 D の原始的２次形式とする。
さらに、D ＜ 0 のときは f は正定値と仮定する。
>>461 で２次形式の類集合 F_0(D)/Γ, (F_0)+(D)/Γ を定義した。
D ＞ 0 のとき C(D) = F_0(D)/Γ D ＜ 0 のとき C(D) = (F_0)+(D)/Γ と書く。
集合 S = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で f により表現される }
は、f の同値類 [f] で決まる。
さらに >>585 より S は Ker(χ)/H のある剰余類に一致する。
よって [f] に S を対応させることにより C(D) から Ker(χ)/H への 写像 Ψ が得られる： Ψ : C(D) → Ker(χ)/H
Φ : (Z/DZ)^* → {±1}^μ を >>590 で定義した準同型とする。
判別式 D の種の指標系(>>554)を Φ_1, . . . , Φ_μ とする。 >>555 で Φ_1([f]), . . . , Φ_μ([f]) を定義した。
記号の濫用だが Φ([f]) = (Φ_1([f]), . . . , Φ_μ([f])) と書く。
種の定義(>>555)より、 [f], [g] ∈ C(D) のとき [f] と [g] が同じ種に属すためには、 Φ([f]) = Φ([g]) が必要十分である。
>>600 より H = Ker(Φ) だから、これは Ψ([f]) = Ψ([g]) と同値である。
606 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 19:12:42
後の引用のため次の有名な定理を述べておく。 証明は後で行う。
定理(Dirichletの算術級数定理) n ＞ 1 を有理整数とする。 (Z/nZ)^* の各剰余類には素数が無限に存在する。
607 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 19:24:05
補題
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。
H = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で主形式により表現される }
とおく。
判別式 D の種の指標系(>>554)を Φ_1, . . . , Φ_μ とする。
|Ker(χ)/H| = 2^(μ-1) である。
証明 G = (Z/DZ)^* とおく。 χ は明らかに全射である。 よって |G/Ker(χ)| = 2
一方 >>600 より G/H は {±1}^μ と同型である。
よって |G/H| = 2^μ
よって |Ker(χ)/H| = 2^(μ-1) である。
証明終
608 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/03(火) 19:46:05
定理
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。
H = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で主形式により表現される }
とおく。
判別式 D の種の指標系(>>554)を Φ_1, . . . , Φ_μ とする。 判別式 D の種の個数は 2^(μ-1) である。
証明 >>605 より判別式 D の種には Ker(χ)/H のある剰余類が対応し、 異なる種には異なる剰余類が対応する。 よって種の個数は |Ker(χ)/H| 以下である。
>>607 より |Ker(χ)/H| = 2^(μ-1) だから Ker(χ)/H の 任意の剰余類 [n]H に種が対応することを示せばよい。 ここで n は D と素な有理整数で [n] は mod D の剰余類で χ([n]) = 1 である。
Dirichletの算術級数定理(>>606)より [n] には 素数 p が含まれる。 即ち [n] = [p] である。 χ([p]) = 1 だから >>569 より p は判別式 D のある原始的２次形式 f により固有に表現される。 よって f の属す種が [n]H に対応する。 証明終
609 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 04:10:00
58
610 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 04:11:00
57
611 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 04:12:00
56
612 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 04:13:00
55
613 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 04:14:01
54
614 ：１３２人目の素数さん：2007/07/04(水) 04:15:00
53
615 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/04(水) 12:03:13
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 D は２次体 Q(√D) のある整環 R の判別式である(>>465)。
>>225 で Cl(D) を定義した。
D ＜ 0 のとき >>250 より (F_0)+(D)/Γ と Cl(D) は集合として同型である。
D ＞ 0 のとき >>227 で R の狭義のイデアル類群 Cl+(D) を定義した。 >>253 より F_0(D)/Γ と Cl+(D) は集合として同型である。
D ＜ 0 のときと D ＞ 0 のときを同時に扱うため G(D) を 次のように定義する。
D ＞ 0 のとき G(D) = Cl+(D) D ＜ 0 のとき G(D) = Cl(D)
>>605 で C(D) を定義した。 上記から C(D) と G(D) は集合として同型である。
616 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/04(水) 14:58:30
>>605 で 写像 Ψ : C(D) → Ker(χ)/H を定義した。
>>615 より C(D) と G(D) は集合として同型である。 この同型により C(D) と G(D) を同一視すると 写像 G(D) → Ker(χ)/H が得られる。 記号の濫用だが、この写像を同じ記号 Ψ で書くことにする。
Ψ : G(D) → Ker(χ)/H を具体的に決定しよう。
617 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/04(水) 15:03:56
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 D は２次体 Q(√D) のある整環 R の判別式である(>>465)。
>>615 で定義した G(D) の元 C を任意にとる。 C の代表 I を任意にとる。即ち C = [I] である。 I は R の可逆分数イデアルである。
I = [α, β] とし、α, β の向き(>>188)は正とする。
f(x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。 >>197 と >>202 より f(x, y) は判別式 D の２次形式である。 >>220 より f(x, y) は原始的である。
C に f = f(x, y) の C(G) における類 [f] を対応させることにより、 G(D) と C(G) の同型が得られる。 このことは D ＜ 0 のときは >>250 により、 D ＞ 0 のときは >>253 により証明されている。
>>534 より f により固有に表現される数 m で D と素であるもの が存在する。 >>605 より Ψ([f]) = [m]H である。 よって Ψ([I]) = mH である。
618 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/04(水) 15:39:35
後の引用のため次の命題を述べておく。 証明は後で行う。
命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 R を判別式 D の整環とする。 I と J を可逆な分数イデアルとする。 N(IJ) = N(I)N(J) である。
619 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/04(水) 15:47:13
命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 R を判別式 D の整環とする。 Ψ : G(D) → Ker(χ)/H を >>616 で定義した写像とする。 Ψ はアーベル群の準同型である。
証明 I, J を R の可逆分数イデアルとする。 I = [α, β] とし、α, β の向き(>>188)は正とする。 f(x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。 >>617 より f(x, y) は判別式 D の原始的２次形式である。 >>534 より f(x, y) により固有に表現される数 m で D と素であるもの が存在する。 >>617 より Ψ([I]) = mH である。
同様に J = [γ, δ] とし、γ, δ の向きは正とする。 g(x, y) = N(xγ - yδ)/N(J) とおく。 g(x, y) により固有に表現される数 n で D と素であるもの が存在する。 Ψ([J]) = nH である。
m は f(x, y) により表現されるから μ ∈ I で m = N(μ)/N(I) となるものがある。 同様に ν ∈ J で n = N(ν)/N(J) となるものがある。 mn = N(μν)/N(I)N(J) である。 >>618 より N(IJ) = N(I)N(J) である。 よって mn = N(μν)/N(IJ) よって Ψ([IJ]) = mnH である。 よって Ψ([IJ]) = Ψ([I])Ψ([J]) である。 証明終
620 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/04(水) 16:25:55
補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 R を判別式 D の整環とする。
J ⊂ H を R のイデアルとして J ≠ H で J ⊂ I ⊂ H となる イデアル I が存在しないとする。
このとき R の極大イデアル M が存在して H/J は R/M と同型となる。 しかも M は MH ⊂ J となるように選べる。
証明 x ∈ H - I をとる。 R から H/J への写像 φ を a ∈ R のとき φ(a) = ax (mod J) により定義する。 φ は R-加群としての準同型である。
xR + J = H だから φ(R) = H/J である。 よって R/Ker(φ) は H/J と同型である。 H/J は単純 R-加群だから R/Ker(φ) も単純 R-加群である。 よって M = Ker(φ) は R の極大イデアルである。 Mx ⊂ J だから xR + J = H より MH ⊂ J である。 証明終
621 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/04(水) 16:34:20
>>620 >J ⊂ H を R のイデアルとして J ≠ H で J ⊂ I ⊂ H となる >イデアル I が存在しないとする。
I は勿論 J とも H とも異なるものとする。
622 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/04(水) 16:41:18
補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 R を判別式 D の整環とする。
J ⊂ H を R のイデアルとして J ≠ H で J ⊂ L ⊂ H となる イデアル L で L ≠ J, L ≠ H となるものが存在しないとする。
I を R の可逆イデアルとする。 このとき [IH : IJ] = [H : J] である。
証明 >>620 より R の極大イデアル M が存在して H/J は R/M と同型と なり、MH ⊂ J となる。
一方、IJ ⊂ L ⊂ IH となるイデアル L で L ≠ IJ, L ≠ IH と なるものがあるとすると、J ⊂ I^(-1)L ⊂ H となって矛盾する。 よって >>620 より R の極大イデアル N が存在して IH/IJ は R/N と 同型となる。
MH ⊂ J だから MIH ⊂ IJ となる。よって N の作りから M ⊂ N と なる。M と N は極大イデアルだから M = N である。 よって [IH : IJ] = [R : N] = [R : M] = [H : J] である。 証明終
623 ：１３２人目の素数さん：2007/07/05(木) 04:10:00
60
624 ：１３２人目の素数さん：2007/07/05(木) 04:11:00
59
625 ：１３２人目の素数さん：2007/07/05(木) 04:12:00
58
626 ：１３２人目の素数さん：2007/07/05(木) 04:13:00
57
627 ：１３２人目の素数さん：2007/07/05(木) 04:14:00
56
628 ：１３２人目の素数さん：2007/07/05(木) 04:15:00
55
629 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/05(木) 11:09:33
補題(Cohen の Advanced topics in computational number theory) D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 R を判別式 D の整環とする。
I を R の可逆イデアルとする。 J ⊂ H を R のイデアルととする。
このとき [IH : IJ] = [H : J] である。
証明 [H : J] に関する帰納法を使う。
J ⊂ L ⊂ H となる R のイデアル L で L ≠ J, L ≠ H となるものが 存在するとする。
帰納法の仮定より [IH : IL] = [H : L], [IL : IJ] = [L : J] よって [IH : IJ] = [IH : IL][IL : IJ] = [H : L][L : J] = [H : J]
J ⊂ L ⊂ H となる R のイデアル L で L ≠ J, L ≠ H となるものが 存在しない場合も、>>622 より [IH : IJ] = [H : J] である。 証明終
630 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/05(木) 11:21:04
命題(Cohen の Advanced topics in computational number theory) D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 R を判別式 D の整環とする。 I と J を R の分数イデアルとする。 さらに I は可逆とする。
このとき N(IJ) = N(I)N(J) である。
証明 >>164 より I と J は R のイデアルと仮定してよい。
>>629 において H = R とすれば、[I : IJ] = [R : J] である。
よって N(IJ) = [R : IJ] = [R : I][I : IJ] = [R : I][R : J] = N(I)N(J) である。 証明終
631 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/05(木) 11:22:50
>>618 の命題は >>630 の特殊な場合である。
632 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/05(木) 12:10:47
>>616 において C(D) と G(D) を同一視した。 この同一視により C(D) にアーベル群の構造がはいる。 よって、以後 C(D) をアーベル群として考えることにする。
よって、>>605 で定義した Ψ : C(D) → Ker(χ)/H は >>619 よりアーベル群の準同型である。
>>605 より [f] と [g] が同じ種に属すためには Ψ([f]) = Ψ([g]) が必要十分である。
よって [f] の属す種は [f]Ker(Ψ) である。 とくに、Ker(Ψ) は主種である。
これから種に含まれる類 [f] の個数は |Ker(Ψ)| となり、個々の種に よらず一定である。
>>608 より Ψ は全射である。 よって |C(D)/Ker(Ψ)| = |Ker(χ)/H| であるが、
>>607 より |Ker(χ)/H| = 2^(μ-1) だから |C(D)/Ker(Ψ)| = 2^(μ-1)
よって |C(D)| = (2^(μ-1))|Ker(Ψ)| よって |Ker(Ψ)| = |C(D)|/(2^(μ-1))
|C(D)| は D ＞ 0 のとき、>>399 より狭義の類数 h+(D) D ＜ 0 のとき、h(D) である。
633 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/05(木) 23:42:39
>>555 の種の定義は Gauss による。 しかし、この種の定義はやや人工的に感じるかもしれない。
>>605 より [f] と [g] が同じ種に属すためには Ψ([f]) = Ψ([g]) が必要十分である。
従って、これを種の定義とすることも出来る。 これは形式 f が表現する数全体を mod D で考えることにより 自然に得られるから、このほうが分かりやすいだろう。
この定義は、Cox の Primes of the Form x2 + ny2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication による。
>>600 や >>605 はこの本による。 しかし、この本では D ＜ 0 の場合しか扱っていない。 しかも、この本は面倒な証明は演習にまわしたり、他のやや手に 入れにくい本を引用して済ますというやり方をしている。
>>619 の証明は私が考えた。 Cox の本では、Gauss による２次形式の合成により C(D) に直接に アーベル群の構造を入れて、それにより >>605 の Ψ : C(D) → Ker(χ)/H がアーベル群の準同型であることを 証明している。
634 ：１３２人目の素数さん：2007/07/07(土) 04:10:00
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635 ：１３２人目の素数さん：2007/07/07(土) 04:11:00
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636 ：１３２人目の素数さん：2007/07/07(土) 04:12:01
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637 ：１３２人目の素数さん：2007/07/07(土) 04:13:00
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638 ：１３２人目の素数さん：2007/07/07(土) 04:14:00
55
639 ：１３２人目の素数さん：2007/07/07(土) 04:15:00
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640 ：１３２人目の素数さん：2007/07/07(土) 08:30:33
YOU ARE GENIUS!!!!!
641 ：１３２人目の素数さん：2007/07/08(日) 04:10:01
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642 ：１３２人目の素数さん：2007/07/08(日) 04:11:00
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643 ：１３２人目の素数さん：2007/07/08(日) 04:12:00
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644 ：１３２人目の素数さん：2007/07/08(日) 04:13:00
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645 ：１３２人目の素数さん：2007/07/08(日) 04:14:00
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646 ：１３２人目の素数さん：2007/07/08(日) 04:15:00
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647 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/08(日) 09:09:00
命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 R を判別式 D の整環とする。 >>632 より C(D) はアーベル群である。 f = (a, b c) を [f] ∈ C(D) となる２次形式とする。 即ち f は原始的で D ＜ 0 のとき a ＞ 0 である。 g = (a, -b, c) とおく。 このとき [f][g] = 1 である。
証明 I = [a, (-b + √D)/2] J = [a, (-b + √D)/2] とおく。 I と J は R の原始イデアルである(過去スレ４の592)。
IJ = [a, (-b + √D)/2][a, (b + √D)/2] = <a^2, a(b + √D)/2, a(-b + √D)/2, (D - b^2)/4> = <a^2, ab, a(b + √D)/2, a(-b + √D)/2, ac> = a<a, b, (b + √D)/2, (-b + √D)/2, c> = aR
ここで、<x, y, . . .> は x, y, . . . で生成される R の部分群を表す。
上記から IJ = aR だから D ＜ 0 のとき G(D) (>>615) において [I][J] = 1 である。よって [f][g] = 1 である。
D ＞ 0 のときは α を sign(N(α)) = sign(a) となる Q(√D) の 任意の元とする。 [f] ∈ C(D) には [Iα] ∈ G(D) が対応する。 [g] ∈ C(D) には [Jα] ∈ G(D) が対応する。 [Iα] [Jα] = [IJα^2] = [aα^2] = 1 よって [f][g] = 1 である。 証明終
648 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/08(日) 09:25:59
命題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 R を判別式 D の整環とする。 >>632 より C(D) はアーベル群である。
C ∈ C(D) が両面類(>>450)であるためには C^2 = 1 が必要十分である。
証明 f = (a, b, c) として、C = [f] を C(D) の元とする。 g = (a, -b, c) とおく。 C が両面類であるとする。
>>451 より [f] = [g] である。 >>647 より [g] = [f]^(-1) である。 よって [f] = [f]^(-1) となり [f]^2 = 1 である。
逆に、[f]^2 = 1 なら [f] = [f]^(-1) = [g] となり、 [f] は両面類である。 証明終
649 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/08(日) 10:04:22
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
>>605 で定義した Ψ : C(D) → Ker(χ)/H は >>619 よりアーベル群の準同型である。
G = (Z/DZ)^* とおくと Ker(χ)/H は G/H の部分群である。
>>600 より G/H は {±1}^μ と同型である。
よって Ker(χ)/H の単位元以外の元の位数は 2 である。 よって Ψ(C(D)^2) = 1 である。 即ち C(D)^2 ⊂ Ker(Ψ) である。
実は C(D)^2 = Ker(Ψ) である。 即ち、平方類全体は主種と一致する。 これが Gauss の種の理論の主定理である。
これを証明しよう。
650 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/08(日) 10:07:31
>>608 より Ψ : C(D) → Ker(χ)/H は全射である。
よって [C(D) : Ker(Ψ)] = |Ker(χ)/H|
>>607 より |Ker(χ)/H| = 2^(μ-1) である。
よって C(D)^2 = Ker(Ψ) を示すには、 [C(D) : C(D)^2] = 2^(μ-1) を証明すればよい。
>>648 より C(D) の両面類全体は C(D) の部分群である。 これを A(D) と書こう。
次の完全列が得られる。
1 → A(D) → C(D) → C(D)^2 → 1
よって [C(D) : A(D)] = |C(D)^2|
よって [C(D) : C(D)^2] = |A(D)|
よって |[A(D)| = 2^(μ-1) を証明すればよい。
651 ：１３２人目の素数さん：2007/07/08(日) 10:10:06
ふにゃ？
652 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/08(日) 10:56:53
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
C(D) の両面類の個数を求めるため。 まず判別式 D の原始的な両面形式(>>438) で同値でないものの個数を 求めよう。
(a, b, c) を原始的な両面形式とする。 b ≡ 0 (mod a) である。
SL_2(Z) の元 (1, 1)/(0, 1) を S と書いた(過去スレ４の237)。
任意の n ∈ Z に対して S^n = (1, n)/(0, 1) である。 よって過去スレ４の401より (a, b, c) ∈ F(D) のとき (a, b, c)S^n = (a, 2an + b, an^2 + bn + c) である。
一方、 b ≡ 0 (mod a) だから、 b ≡ 0, a (mod 2a) である。
よって (a, b, c) は (a, 0, c) または (a, a, c) と同値である。
653 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/08(日) 11:27:24
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 (mod 4) とする。 判別式 D の原始的な２次形式 (a, 0, c) の個数 n を求めよう。 D = -4ac で gcd(a, c) = 1 である。
D/4 を割る素数の集合を S とする。 D/4 = Πp^(e_p) とする。ここで p は S の元を動く。
S の部分集合 E に対して Πp^(e_p) を n(E) と書く。 E が空集合のときは n(E) = 1 とする。
(D/4)/n(E) = n'(E) と書く。 gcd(n(E), n'(E)) = 1 である。
D = -4ac で gcd(a, c) = 1 となる a に対して S の部分集合 E が存在して a = ±n(E) である。
以上から n = 2^(|S| + 1) である。
654 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/08(日) 11:30:53
>>653 >S の部分集合 E に対して Πp^(e_p) を n(E) と書く。
ここで p は E の元を動く。
655 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/08(日) 12:40:40
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 1 (mod 4) とする。 判別式 D の原始的な２次形式 (a, a, c) の個数 n を求めよう。
D = a^2 - 4ac で gcd(a, c) = 1 である。 D = a(a - 4c)
a' = 4c - a とおく。 a + a' = 4c D = -aa'
D ≡ 1 (mod 4) だから a と a' は奇数である。
gcd(a, a') = gcd(a, 4c - a) = gcd(a, 4c) a は奇数だから gcd(a, a') = gcd(a, 4c) = 1
よって D を割る素数の集合を S(D) とすると、>>653 と同様の理由から n = 2^(|S(D)| + 1) である。
656 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/08(日) 12:52:54
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 (mod 4) とする。 判別式 D の原始的な２次形式 (b, b, c) の個数 n を求めよう。 D ≡ b^2 (mod 4) だから b は偶数である。 よって b = 2a としてよい。
D = 4(a^2) - 8ac で gcd(2a, c) = 1 である。 D/4 = a^2 - 2ac = a(a - 2c) a' = 2c - a とおく。 a + a' = 2c よって a + a' ≡ 2 (mod 4)
a が奇数なら a ≡ 1, 3 (mod 4) である。 a ≡ 1 (mod 4) なら、a' ≡ 1 (mod 4) a ≡ 3 (mod 4) なら、a' ≡ 3 (mod 4)
よって a ≡ a' (mod 4) よって D/4 ≡ -aa' ≡ -(a^2) ≡ -1 ≡ 3 (mod 4)
gcd(a, a') = gcd(a, 2c) gcd(2a, c) = 1 で a が奇数だから gcd(a, 2c) = 1 よって gcd(a, a') = 1
逆に D/4 ≡ 3 (mod 4) なら D/4 = -aa' より a は奇数。
aa' ≡ 1 (mod 4) だから a ≡ a' (mod 4) よって a + a' ≡ 2 (mod 4)
以上から D/4 ≡ 3 (mod 4) のとき、 D/4 を割る素数の集合を S(D/4) とすると、>>653 と同様の理由から n = 2^(|S(D/4)| + 1) である。
657 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/08(日) 13:15:42
>>656 の続き。
a が偶数なら a ≡ 0, 2 (mod 4) a + a' ≡ 2 (mod 4) だから
a ≡ 0 (mod 4) のとき a' ≡ 2 (mod 4)
a ≡ 2 (mod 4) のとき a' ≡ 0 (mod 4)
よって D/4 ≡ -aa' ≡ 0 (mod 8)
a + a' ≡ 2 (mod 4) だから a/2 + a'/2 ≡ 1 (mod 2)
よって a/2 と a'/2 は 2 を公約数にもたない。 gcd(a, a') = gcd(a, 2c) で gcd(2a, c) = 1 だから gcd(a/2, a'/2) = 1 である。
D/4 = -aa' だから D/16 = -(a/2)(a'/2)
よって D/4 ≡ 0 (mod 8) のとき D/16 を割る素数の集合を S(D/16) とすると、>>653 と同様の理由から n = 2^(|S(D/16)| + 1) である。
658 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/08(日) 13:54:48
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 D を割る奇素数の個数を r とする。 判別式 D の原始的な２次形式 (a, 0, c) の個数を m とし 判別式 D の原始的な２次形式 (a, a, c) の個数を n とする。 >>653, >>655, >>656, >>657 より
1) D ≡ 1 (mod 4) のとき、m = 0, n = 2^(r + 1) よって m + n = 2^(r + 1)
2) D ≡ 0 (mod 4) で D/4 ≡ 0 (mod 8) のとき m = 2^(r + 2), n = 2^(r + 2) よって m + n = 2^(r + 3)
3) D ≡ 0 (mod 4) で D/4 ≡ 1, 5 (mod 8) のとき m = 2^(r + 1), n = 0 よって m + n = 2^(r + 1)
4) D ≡ 0 (mod 4) で D/4 ≡ 2 (mod 8) のとき m = 2^(r + 2), n = 0 よって m + n = 2^(r + 2)
5) D ≡ 0 (mod 4) で D/4 ≡ 3, 7 (mod 8) のとき m = 2^(r + 1), n = 2^(r + 1) よって m + n = 2^(r + 2)
6) D ≡ 0 (mod 4) で D/4 ≡ 4, 6 (mod 8) のとき m = 2^(r + 2), n = 0 よって m + n = 2^(r + 2)
以上をまとめると、>>554 より m + n = 2^(μ + 1) となる。 ここで μ は種の指標系(>>554) Φ_1, . . . , Φ_μ の要素の 個数である。
659 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 04:10:01
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660 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 04:11:00
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661 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 04:12:00
54
662 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 04:13:00
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663 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 04:14:00
52
664 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 04:15:00
51
665 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 11:23:03
1 必要十分条件 は同値関係であることを証明せよ 2 三角形a ｂ が合同であることは同値関係であることをしめせ 3 相似関係は同値関係であることをしめせ。
学校の宿題ででたけど僕あほなんでわかりません。 だれか解答おしえてくだい。
666 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 14:06:56
あほには解答丸移しさえ難しいだろうから 無駄なことはしません
667 ：１３２人目の素数さん：2007/07/09(月) 15:55:37
>>665 全部明らか
668 ：１３２人目の素数さん：2007/07/10(火) 10:59:40
>>665 まずは、「阿呆にも解かる教え方」というものを 明示してくれ！でなければ、教えようが無い！
669 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/10(火) 13:28:51
C(D) (>>605) の両面類の個数を求めよう。
まず D ≡ 1 (mod 4) の場合を考える
>>655 より 判別式 D の原始的な２次形式は、(a, a, (a + a')/4) の形である。 ここで、D = -aa', gcd(a, a') = 1
gcd(a, a') = 1 より なら |a| = |a'| = 1 である。 よって |D| = |a||a'| = 1 となるが、D ≡ 1 (mod 4) だから これはあり得ない。 よって |a| ≠ |a'| である。
SL_2(Z) の元 U = (-1, -1)/(2, 1) に対して (a, a, c)U = (a', a', c) となることは、>>504 の公式
k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2
から簡単な計算でわかる。
よって |a| ＜ |a'| となる a に対して (a, a, (a + a')/4) のみを 考えればよい。 このような (a, a, (a + a')/4) の個数は >>658 より 2^(μ + 1)/2 = 2^μ である。
670 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/10(火) 14:05:17
>>669 の続き。
D ≡ 1 (mod 4) で D ＜ 0 の場合を考える。 この場合、(a, a, (a + a')/4) が正定値、即ち a ＞ 0 となる もののみ考えればよい。 このような、(a, a, (a + a')/4) の個数は >>669 より 2^(μ-1) である。
過去スレ４の408より、 正定値かつ原始的な２次形式 (a, b, c) が簡約２次形式であるためには |b| ≦ a ≦ c であり、 |b| = a または a = c のときは b ≧ 0 となることが必要十分である。
よって (a, a, (a + a')/4) が簡約２次形式であるためには、 a ≦ (a + a')/4 即ち 3a ≦ a' が必要十分である。
3a ＞ a' のときは (2a, 2a, (a + a')/2) の右に隣接してる(>>433)形式 ((a + a')/2, a' - a, (a + a')/2) を考える。 即ち、 (2a, 2a, (a + a')/2) → ((a + a')/2, a' - a, (a + a')/2)
>>669 より |a| ＜ |a'| だから、a' ＞ a ＞ 0 である。
3a ＞ a' だから a' - a ＜ (a + a')/2 よって、((a + a')/2, a' - a, (a + a')/2) は簡約されている。
これらの簡約形式が相異なることはすぐわかる。 以上から C(D) (>>605) の両面類の個数は 2^(μ-1) である。
