最終更新日時 2011年03月09日 (水) 20時59分07秒
代数的整数論 006 (271-330)
元スレ： http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/271-330
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/271-330
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/271-330
271 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 10:36:46
命題 X を位相空間とし、Y をその密な部分集合とする。 Z を分離かつ完備な一様空間とする。 h を写像 Y → Z とする。
h が連続写像 f : X → Z に拡張できるためには h が次の条件 (E') を満たすことが必要十分である。
(E') X の任意の点 x に対して x の近傍と Y の交わり全体のなす フィルタ－基底を Φ としたとき h(Φ) は Z における Cauchy フィルターの基底である。
このとき f は一意に決まる。
証明 >>212 より Z は正則である。 従って、本命題は >>266 より明らかである。
272 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 11:05:53
定理(一様連続写像の延長) X を一様空間とし、Y をその密な部分集合とする。 Z を分離かつ完備な一様空間とする。 h を一様連続写像 Y → Z とする。
このとき h は一様連続写像 f : X → Z に一意に拡張できる。
証明 X の任意の点 x に対して x の近傍と Y の交わり全体 Φ は Y における Cauchy フィルターの基底である。
>>240 より h(Φ) は Z における Cauchy フィルターの基底である。 従って >>271 より h は連続写像 f : X → Z に一意に拡張できる。
f が一様連続であることを示せばよい。
V を Z の任意の閉近縁とする。
T を X の近縁で (f×f)(A×A ∩ T) ⊂ V とする。
>>269 より T は A の近縁 W の X×X における閉包としてよい。
>>270 より (f×f)(T) ⊂ cls((f×f)(W))
W ⊂ A×A ∩ T だから (f×f)(W) ⊂ V 従って cls((f×f)(W)) ⊂ V 従って (f×f)(T) ⊂ V である。
>>205 より Z の閉近縁全体は基本近縁系である。 従って f は一様連続である。 証明終
273 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 11:07:39
>>272 の証明における A は Y の間違いである。
274 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 11:55:24
X を一様空間とする。
>>257 を参考にして X の極小 Cauchy フィルター全体 Ω に 一様構造を入れることを試みる。
X の任意の近縁 V に対して V 程度に小さい(>>235)集合を 共有する極小 Cauchy フィルターの対 (α, β) ∈ Ω×Ω の全体を V~ とする。
V~ の全体を Φ_0 とする。 Ω×Ω の対角線集合を Δ とする。
>>196 より以下を示せば Φ_0 は Ω の一様構造の基本近縁系である。
1) V~ ∈ Φ_0 なら Δ ⊂ V~ 2) V~, V'~ ∈ Φ_0 のとき W~ ⊂ V~ ∩ V'~ となる W~ ∈ Φ_0 がある。
3) V~ ∈ Φ_0 のとき W~ ⊂ (V~)^(-1) となる W~ ∈ Φ_0 がある。 4) V~ ∈ Φ_0 のとき (W~)^2 ⊂ V~ となる W~ ∈ Φ_0 がある。
(続く)
275 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 11:56:14
1) の証明。 Ω の任意の元 α は Cauchy フィルターだから X の任意の近縁 V に対して V 程度に小さい(>>235)集合を持つ。 従って (α, α) ∈ V~ である。 即ち Δ ⊂ V
2) の証明。 V と V' を X の任意の近縁とする。 W ⊂ V ∩ V' となる対称近縁 W がある。 明らかに W~ ⊂ V~ ∩ V'~ である。
3) の証明。 (α, β) ∈ V~ なら (β, α) ∈ V~ 従って V~ = (V~)^(-1)
4) の証明。 X の任意の近縁 V に対して W^2 ⊂ V となる対称近縁 W がある。 (α, β) ∈ (W~)^2 とする。
(α, γ) ∈ W~ (γ, β) ∈ W~ となる γ がある。
α, γ の共通元 M で W 程度に小さいものがある。 γ, β の共通元 N で W 程度に小さいものがある。
M と N は γ に属すから M ∩ N は空ではない。 従って M ∪ N は W^2 程度に小さい。 従って V 程度に小さい.
M ∪ N は α と β に属すから (α, β) ∈ V~ 従って (W~)^2 ⊂ V~
276 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 12:28:21
>>247 の Ω は分離的であることを証明する。
X の任意の近縁 V に対して (α, β) ∈ V~ とする。 このとき α = β が言えれば >>214 より Ω は分離的である。
γ_0 = {M ∪ N ; M ∈ α, N ∈ β} とおく。
M, M' ∈ α, N, N' ∈ β のとき (M ∩ M') ∪ (N ∩ N') ⊂ (M ∪ N) ∩ (M' ∪ N') である。 従って γ_0 は X のフィルターの基底である。
X の任意の近縁 V に対して (α, β) ∈ V~ だから α と β は V 程度に小さい集合 M を共有する。 M ∈ γ_0 だから γ_0 は Cauchy フィルターの基底である。
γ_0 が生成する Cauchy フィルターを γとすると
γ ⊂ α γ ⊂ β
α と β は極小 Cauchy フィルターだから γ = α γ = β
即ち α = β 証明終
277 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 12:39:15
訂正 >>276 >>247 の Ω は分離的であることを証明する。
>>274 の Ω は分離的であることを証明する。
278 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 12:53:01
X を一様空間とする。
>>246 より X の点 x に対して x の近傍全体 φ_x は極小 Cauchy フィルターである。
φ(x) = φ_x により >>274 の Ω に対して写像 φ : X → Ω を 定義する。
Ω の一様構造の φ による逆像(>>224)が X の一様構造であることを 証明する。
g = φ×φ とおく。
X の任意の対称近縁 V に対して
g^(-1)(V~) ⊂ V ⊂ g^(-1)((V~)^3)
が言えればよい。
(φ(x), φ(y)) ∈ V~ とする。 V 程度に小さい M で x と y を含むものがある。 よって (x, y) ∈ V よって g^(-1)(V~) ⊂ V
(x, y) ∈ V とする。 V(x) ∪ V(y) は V^3 程度に小さく x の近傍でもあり y の近傍でもある。
従って (φ(x), φ(y)) ∈ (V~)^3 である。 よって V ⊂ g^(-1)((V~)^3)
279 ：king氏ね：2007/08/06(月) 13:25:20
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
280 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 13:41:41
X を一様空間とする。 >>274 の Ω と >278 の写像 φ : X → Ω を調べる。
まず X の任意の対称近縁 V に対して α ∈ Ω とその近傍 V~(α) をとり V~(α) ∩ φ(X) を調べる。
φ(x) ∈ V~(α) とは x の近傍で V 程度に小さいものが α に属す ということである。
α は極小 Cauchy フィルターだから V 程度に小さい集合 N の 内部を含む(>>245)。
従って V~(α) ∩ φ(X) は空でない。 即ち φ(X) は Ω で密である。
α に属す集合で V 程度に小さいものの内部すべての合併を M とする。
V~(α) ∩ φ(X) = φ(M) である。
M ∈ α だから V~(α) ∩ φ(X) ∈ φ(α)
V は X の任意の対称近縁だったから φ(α) は α に収束する。
281 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 14:15:17
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282 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/06(月) 14:39:46
>>280 の続き。
ξ を φ(X) における Cauchy フィルターとする。 >>278 より X の一様構造は Ω の一様構造の φ による逆像だから φ^(-1)(ξ) は X における Cauchy フィルター η の基底である。 α を α ⊂ η となる極小 Cauchy フィルター とする。 φ(α) ⊂ φ(η) である。 >>280 より φ(α) は収束するから φ(η) も収束する。
φ(φ^(-1)(ξ)) = ξ だから φ^(-1)(ξ) ⊂ η より ξ ⊂ φ(η)
従って ξ は φ(η) の極限点を接触点にもつ。 ξ は Cauchy フィルターだから >>248 より ξ は収束する。
>>280 より φ(X) は Ω で密である。 従って、>>263 より Ω は完備である。
283 ：１３２人目の素数さん：2007/08/06(月) 15:07:48
>>281 の続き。
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
284 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 10:22:22
命題 X を一様空間とする。 Ω を >>274 と >>275 で定義した一様空間 φ : X → Ω を >>278 で定義した一様連続写像とする。
Ω と φ は次の性質 (P) を持つ。
(P) X から分離かつ完備な一様空間 Y への一様連続写像 f : X → Y に対し、一様連続写像 g: Ω → Y で f = gφ となるものが一意に存在する。
証明 まず写像 g_0 : φ(X) → Y を次のように定義する。
>>278 より x ∈ X のとき φ(x) は x の近傍全体のなす 極小 Cauchy フィルターである。 >>240 より f(φ(x)) は Cauchy フィルターの基底だから Y において極限点を持つ。 Y は分離だから >>252 よりこの極限点は一意に決まる。 この極限点を g_0(φ(x)) と定義する。
一方、 f は連続で x は φ(x) に収束するから f(φ(x)) は f(x) に収束する。 よって f(x) = g_0(φ(x)) である。
(続く)
285 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 10:23:10
U を Y の任意の近縁とする。 f : X → Y は一様連続だから X の近縁 V で (x, y) ∈ V なら (f(x), f(y)) ∈ U となるもの がある。
V~ を >>274 で定義した Ω の近縁とする。
(φ(x), φ(y)) ∈ V~ なら V 程度に小さい集合 M で x と y を 含むものがある。よって (x, y) ∈ V よって (f(x), f(y)) ∈ U 即ち (g_0(φ(x)), g_0(φ(y))) ∈ U よって g_0 は一様連続である。
>>280 より φ(X) は密である。 従って一様連続写像の延長定理(>>272) より g_0 : φ(X) → Y は 一様連続写像 g: Ω → Y に一意に拡張できる x ∈ X のとき g(φ(x)) = g_0(φ(x)) = f(x) である。 従って f = gφ である。
このような g は等式延長の原理(>>265))より一意に決まる。 証明終
286 ：１３２人目の素数さん：2007/08/07(火) 10:41:49
>>283 の続き。
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287 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 10:49:52
定理(一様空間の完備化) X を一様空間とする。 分離かつ完備な一様空間 Ω と一様連続写像 φ : X → Ω で 次の性質 (P) を持つものが存在する。
(P) X から分離かつ完備な一様空間 Y への一様連続写像 f : X → Y に対し、一様連続写像 g: Ω → Y で f = gφ となるものが一意に存在する。
Ω_1 を分離かつ完備な一様空間、φ_1 : X → Ω_1 一様連続写像 として (P) を満たせば、一様同型 ψ: Ω → Ω_1 が存在して φ_1 = ψφ となる。
証明 Ω と φ の存在が存在して性質 (P) を持つことは既に証明されている。
Ω_1 を分離かつ完備な一様空間、φ_1 : X → Ω_1 一様連続写像 として (P) を満たすとする。
一様連続写像 ψ: Ω → Ω_1 で φ_1 = ψφ となるものが一意に 存在する。ψ が一様同型であることを示せばよい。
同様に、一様連続写像 ψ_1: Ω_1 → Ω で φ = ψ_1φ_1 となるもの が一意に存在する。
x ∈ X のとき ψ_1ψ(φ(x)) = ψ_1φ_1(x) = φ(x) だから h = ψ_1ψ とすると h: Ω → Ω で hφ = φ である。 Ω の恒等写像 1: Ω → Ω も 1φ = φ を満たすから 性質 (P) より h = 1 である。 同様に ψψ_1 = 1 となる。 従って ψ は一様同型である。 証明終
288 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 10:57:00
定義 >>287 の Ω を一様空間 X の分離完備化と言い、 φ : X → Ω を X から分離完備化への標準写像と言う。
289 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 11:38:27
補題 X を一様空間とする。 x と y を X の点とする。
x の近傍全体と y の近傍全体が一致するためには X の任意の近縁 V に対して (x, y) ∈ V となることが必要十分である。
証明 x の近傍全体と y の近傍全体が一致するとする。 X の任意の近縁 V に対して V(x) は x の近傍だから 仮定より y の近傍でもある。よって y ∈ V(x) である。 これは (x, y) ∈ V を意味する。
逆に、X の任意の近縁 V に対して (x, y) ∈ V となるとする。 W^2 ⊂ V となる対称近縁 W がある。 (W^2)(x) ⊂ V(x) である。
z ∈ W(y) なら (z, y) ∈ W である。 仮定より (x, y) ∈ W だから (z, x) ∈ W^2 である。 即ち W(y) ⊂ (W^2)(x) である。 従って W(y) ⊂ V(x) である。 これは V(x) が y の近傍であることを意味する。
対称的に V(y) は x の近傍である。 よって x の近傍全体と y の近傍全体は一致する。 証明終
290 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 12:03:25
命題 X を一様空間とする。 X の分離完備化(>>288)を Ω、φ : X → Ω を標準写像(>>288)とする。
φ(X) の任意の近縁は X のある近縁の φ×φ による像になっている。
証明 φ(X) の任意の近縁は W = V ∩ φ(X)×φ(X) の形である。 ここで V は Ω の近縁である。
>>278 より X の一様構造は Ω の一様構造の φ による逆像である。 従って、h = φ×φ とおけば、 h^(-1)(V) = h^(-1)(W) は X の近縁である。
φ : X → φ(X) は全射だから h(h^(-1)(W)) = W 証明終
291 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 12:06:12
命題 X を一様空間とする。 X の分離完備化(>>288)を Ω、φ : X → Ω を標準写像(>>288)とする。
φ(X) の近縁の Ω×Ω における閉包全体は Ω の基本近縁系に なっている。
証明 >>280 より φ(X) は Ω で密である。
>>269 より φ(X) の近縁の Ω×Ω における閉包全体は Ω の基本近縁系である。 証明終
292 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 13:04:47
命題 X を分離一様空間とする。 X の分離完備化(>>288)を Ω、φ : X → Ω を標準写像(>>288)とする。
φ は X から φ(X) への一様同型である。
証明 φ(x) = φ(y) なら x の近傍全体と y の近傍全体は一致する。 従って >>289 より X の任意の近縁 V に対して (x, y) ∈ V となる。 >>214 より x = y である。
従って φ は X から φ(X) への全単射である。 >>278 より X の一様構造は Ω の一様構造の φ による逆像である。 よって φ は X から φ(X) への一様同型である。 証明終
293 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 13:08:22
X が分離一様空間のとき、X の分離完備化(>>288)を X の完備化と言う。
このとき X とその標準写像による像は >>292 より一様同型であるから、 この両者を同一視するのが普通である。
294 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/07(火) 14:26:49
命題(一様空間に伴う分離一様空間) 一様空間 X の分離完備化を X^ とし、 φ : X → X^ を X から分離完備化への標準写像とする。
Y を分離一様空間として f : X → Y を一様連続写像とすると、 一様連続写像 h: φ(X) → Y で f = hφ となるものが一意に存在する。
証明 Y^ を Y の完備化として ψ : Y → Y^ を標準写像とする。 >>287 より一様連続写像 g : X^ → Y^ で ψf = gφ となるものが ある。
ψf(X) = gφ(X) だから g は g_0 : φ(X) → ψ(Y) を引き起こす。 >>292 より ψ は Y から ψ(Y) への一様同型である。 この逆写像を μ とすると μg_0 : φ(X) → Y は一様連続写像である。 h = μg_0 とおくと hφ = μg_0φ 従って ψ(hφ) = ψ(μg_0φ) = gφ 一方、ψf = gφ だったから ψf = ψ(hφ) よって f = hφ
h の一意性は明らかである。 証明
295 ：１３２人目の素数さん：2007/08/07(火) 14:37:47
命題(一様空間に伴う分離一様空間)
証明 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 証明
296 ：Kummer ◆nzEQlu8i3E ：2007/08/07(火) 19:25:07
X を一様空間とする。
>>246 より X の点 x に対して x の近傍全体 φ_x は極小 Cauchy フィルターである。
φ(x) = φ_x により >>274 の Ω に対して写像 φ : X → Ω を 定義する。
Ω の一様構造の φ による逆像(>>224)が X の一様構造であることを 証明する。
g = φ×φ とおく。
X の任意の対称近縁 V に対して
g^(-1)(V~) ⊂ V ⊂ g^(-1)((V~)^3)
が言えればよい。
(φ(x), φ(y)) ∈ V~ とする。 V 程度に小さい M で x と y を含むものがある。 よって (x, y) ∈ V よって g^(-1)(V~) ⊂ V
(x, y) ∈ V とする。 V(x) ∪ V(y) は V^3 程度に小さく x の近傍でもあり y の近傍でもある。
従って (φ(x), φ(y)) ∈ (V~)^3 である。 よって V ⊂ g^(-1)((V~)^3)
297 ：Kummer ◆AeTRuuI8SA ：2007/08/07(火) 19:26:06
命題(>>139 の一般化) X を一様空間とする。 x を X の点とする。 X の任意の近縁 V に対して V(x) の全体 Φ は X の 極小 Cauchy フィルターである。
証明 Φ がフィルターであることは明らかである。
X の任意の近縁 V に対して W^2 ⊂ V となる対称近縁 W を取る。
y ∈ W(W(x)) なら z ∈ W(x) があり (y, z) ∈ W 従って、y ∈ (W^2)(x) ⊂ V(x) 即ち W(W(x)) ⊂ V(x)
よって >>245 より Φ は極小 Cauchy フィルターである。 証明終
298 ：１３２人目の素数さん：2007/08/07(火) 19:27:10
命題(一様空間に伴う分離一様空間)
証明 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) 証明
299 ：１３２人目の素数さん：2007/08/07(火) 19:33:34
http://up.nm78.com/obj/29789
300 ：Kummer ◆pJ9/G9wrbQ ：2007/08/07(火) 22:25:44
ゲイの出会い系で知り合った10歳以上年上のオジサンの家へ。 そしたら「これ着て責めて欲しい」と言われて、レンコン掘りというか、 魚河岸の人が着てるような胸まであるゴム長を着させられ、捻りハチマキをさせられた。
向こうは全裸。
まあこんなのもたまにはいいか、と愛撫してたら、オジサンが喘ぎ声の中、喋りだした。 「お、おにいちゃん…お、おかえりなさい…た、大漁だった？ねえ大漁だった？？」 …オレは突然の、しかも想定の範囲を超えたセリフにポカーンとしてしまった。 オジサンは素に戻って、「…返事して欲しい」と恥ずかしそうにオレに言った。
プレー再開。 耳とかをなめつつ体中をさわさわと触る 「お、おにいちゃん、大漁だった？」 「ああ、大漁だったよ」 「あぁぁぁあぁすごいいいぃいぃ！、、な、なにが、、ハァハァなにが捕れたの？」 乳首を舌でやさしく舐めながらオレは答えた 「…鯛とか、、、ヒラメがいっぱい捕れたよ」 セリフを聞き、オジサンはびくんびくんと身体をひきつらせた 「はっ！はぁぁぁあんっ！イ、イサキは？イサキは、と、取れたの？？」 チンコをしごく 「ああ。でかいイサキが取れたよ。今年一番の大漁だ。」 「大漁っ！！イサキぃぃ！！おにいちゃんかっこいいいいぃぃぃい ぃくううううう！」
実話です。。きっと漁師の人との幼い頃の体験というか、淡い恋心とかが あったんだろうなあ、といろんなことを考えさせられた一夜でした。
301 ：Kummer ◆bIhAlQTTPM ：2007/08/08(水) 03:05:22
最近俺のエロ本がいつの間にか数冊無くなっている。 そういえば妹も中学生になったし、まぁいろいろあるのだろう。 まだまだ若い兄としてはイタズラ心も湧くと言うものだ。 そこで俺の部屋の床に無造作に置いたエロ本の中に 「オナニーは結構だがもうちょっと声を抑えろ。聞こえてるぞ。」 とメモを挟んでおいた。 そして風呂から出ると、そのエロ本は見事になくなっていた。
翌日の朝食時、なぜか親父がチラチラとこちらを見てきた。 何で顔が赤いんだ、クソ親父。つーかてめぇか。クソ。
302 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 08:56:37
定義 X を一様空間とする。 X がその任意の近縁 V に対して V 程度に小さい集合(>>235)からなる 有限被覆をもつとき、X を全有界と言う。
303 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 09:24:23
補題 X を位相空間とし、Φ をそのフィルターする。 A を X の部分集合で Φ に含まれないとする。
このとき Ψ = { M ; A ∪ M ∈ Φ } はフィルターで
Φ ⊂ Ψ である。
証明 Ψ が >>75 の条件を満たせばよい。
1) A は Φ に含まれないから A ∪ M ∈ Φ なら M は空でない。
2) A ∪ M ∈ Φ で M ⊂ L なら A ∪ M ⊂ A ∪ L であるから A ∪ L ∈ Φ
3) A ∪ M ∈ Φ, A ∪ N ∈ Φ のとき (A ∪ M) ∩ (A ∪ N) = A ∪ (M ∩ N) ∈ Φ
証明終
304 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 09:25:42
訂正
>>303 >X を位相空間とし、Φ をそのフィルターする。
X を集合とし、Φ をそのフィルターする。
305 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 09:27:57
定義 X を集合とし、Φ をそのフィルターする。
Φ ⊂ Ψ となる X のフィルターで Φ ≠ Ψ となるものが 存在しないとき Φ を X の極大フィルターという。
306 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 09:34:51
命題 X を集合とし、Φ をフィルターとする。 Φ ⊂ Ψ となる極大フィルター(>>305) Ψ が存在する。
証明 Zorn の補題を使えば明らかである。
307 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 09:35:38
命題 X を集合とし、Φ をその極大フィルター(>>305)とする。 A と B を X の部分集合で A ∪ B ∈ Φ なら A ∈ Φ または B ∈ Φ となる。
証明 A も B も Φ に含まれないとする。
>>303 より
Ψ = { M ; A ∪ M ∈ Φ } はフィルターで Φ ⊂ Ψ である。
B は Ψ に属し、 Φ に属さないから Φ ≠ Ψ である。 これは矛盾である。 証明終
308 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 09:43:55
命題 X を全有界(>>302)な一様空間とする。 X の極大フィルター(>>305) は Cauchy フィルター(>>236)である。
証明 Φ をX の極大フィルターとする。
X の任意の近縁 V に対して V 程度に小さい集合(>>235)からなる X の有限被覆がある。
X = M_1 ∪ . . . ∪ M_n で各 M_i は V 程度に小さいとする。
X ∈ Φ だから >>307 を繰り返し使って M_i ∈ Φ となる i がある。 従って Φ は Cauchy フィルターである。 証明終
309 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 10:35:49
命題 位相空間が準コンパクトであるためには、その任意のフィルターが 接触点(>>132)を持つことである。
証明
X を準コンパクトな位相空間とし、Φ をそのフィルターとする。
Φ が接触点を持たないとする。
∩{cls(A) ; A ∈ Φ} は空集合であるから
{X - cls(A) ; A ∈ Φ} は X の被覆である。
X は準コンパクトだから Φ の元 A_1 . . . , A_n があり、 X = ∪(X - cls(A_i)) よって ∩cls(A_i) は空である。 cls(A_i) は Φ の元だからこれは矛盾である。
逆に X の任意のフィルターが接触点を持つとする。 (U_λ), λ ∈ L を X の開被覆とする。 A_λ = X - U_λ とする。 ∩A_λ は空である。
任意の有限部分集合 J ⊂ L に対して ∩(A_λ, λ ∈ J) が空でない とする。
Φ_0 = {∩(A_λ, λ ∈ J) ; J は L の有限部分集合} は
フィルター基底である。
仮定より Φ_0 は接触点を持つ。
従って ∩A_λ は空でない。
これは矛盾である。
従って (U_λ), λ ∈ L は有限部分被覆を持つ。 証明終
310 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 10:36:46
命題 全有界(>>302)かつ完備な一様空間は準コンパクトである。
証明 X を全有界かつ完備な一様空間とする。
Φ を X の任意のフィルターとする。 >>306 より Φ ⊂ Ψ となる極大フィルター(>>305) Ψ が存在する。 >>308 より Ψ は Cauchy フィルターである。
X は完備だから Ψ は収束する。 従って Φ は接触点をもつ。 >>309 より X は準コンパクトである。 証明終
311 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 10:40:08
>>310 の証明は極大フィルターの存在を使っているので Zorn の補題を 使っていることになる。
312 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 10:42:50
命題 X を全有界(>>302)な一様空間とする。 X の分離完備化(>>288) Ω はコンパクトである。
証明 φ : X → Ω を標準写像(>>288)とする。
U を Ω の任意の閉近縁とする。 V を U の φ×φ による逆像とする。
X の V 程度に小さい集合からなる有限被覆 (A_i) がある。 B_i = φ(A_i) は U 程度に小さく、(B_i) は φ(X) の被覆である。
C_i を B_i の Ω における閉包とすると、φ(X) は Ω で密だから (C_i) は Ω の被覆である。 U は Ω の閉集合だから (C_i)×(C_i) ⊂ U である。 即ち、各 C_i は U 程度に小さい。 従って Ω は全有界である。 >>310 より Ω はコンパクトである。 証明終
313 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 10:57:22
命題 準コンパクトな一様空間 X は全有界である。
証明 X の任意の対称開近縁 V に対して (V(x)), x ∈ X は X の開被覆である。 X は準コンパクトだから (V(x)) の有限部分被覆が取れる。 V(x) は V^2 程度に小さいから X は全有界である。 証明終
314 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 11:01:40
命題 一様空間 X の分離完備化(>>288) Ω がコンパクトなら X は全有界(>>302)である。
証明 φ : X → Ω を標準写像(>>288)とする。
>>313 より Ω は全有界である。 従って φ(X) も全有界である。 X の一様構造は φ(X) の一様構造の φ による逆像だから X も全有界である。 証明終
315 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 11:21:38
命題 準コンパクトな一様空間 X は完備である。
証明 >>309 より X の任意の Cauchy フィルターは接触点を持つから >>248 より収束する。 証明終
316 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 11:25:47
命題 一様空間 X が準コンパクトであるためには X が全有界かつ完備であることが必要十分である。
証明 十分なことは >>310 で証明してある。 必要なことは >>313 と >>315 で証明してある。 証明終
317 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 11:28:22
命題 X を一様空間とする。 X が全有界(>>302)であるためには X の分離完備化(>>288) Ω がコンパクトであることが必要十分である。
証明 必要なことは >>312 で証明してある。 十分なことは >>314 で証明してある。
318 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 12:18:58
補題 X を分離一様空間とする。 x と y を X の点で x ≠ y とする。
x の近傍 V_1 と y の近傍 V_2 と X×X の対角線集合 Δ の近傍 W で (V_1)×(V_2) が W^2 と交わらないものがある。
証明 X は分離だからｘ の近傍 U_1 と y の近傍 U_2 で共通の点を 持たないものがある。
>>212 より X は正則だから ｘ の閉近傍 V_1 で V_1 ⊂ U_1 y の閉近傍 V_2 で V_2 ⊂ U_2 となるものがある。 U_3 = X - (V_1 ∪ V_2) とおく。
W = (U_1)×(U_1) ∪ (U_2)×(U_2) ∪ (U_3)×(U_3) とおく。
z ∈ V_1 ∪ V_2 なら (z, z) ∈ W z ∈ U_3 なら (z, z) ∈ W
従って W は X×X の対角線集合 Δ の近傍である。 (a, b) ∈ W (b, c) ∈ W で (a, c) ∈ (V_1)×(V_2) とする。
(a, b) ∈ W で a ∈ V_1 だから b ∈ U_1 である。 (b, c) ∈ W だから c は V_2 に含まれない。 これは矛盾である。
従って (V_1)×(V_2) は W^2 と交わらない。 証明終
319 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 12:38:56
命題 X をコンパクト空間とする。 X×X の対角線集合 Δ の近傍全体は X の一様構造である。
証明 Φ を Δ の近傍全体とする。
>>194 の条件で
1) V ∈ Φ なら Δ ⊂ V 2) V ∈ Φ を含む X×X の部分集合は Φ に属す。 3) V ∈ Φ, W ∈ Φ のとき V ∩ W ∈ Φ 4) V ∈ Φ のとき V^(-1) ∈ Φ
は明らかである。
5) V ∈ Φ のとき W^2 ⊂ V となる W ∈ Φ がある。 を証明すればよい。
これが成り立たないとする。
ある V ∈ Φ があり任意の W に対して W^2 ∩ (X - V) は空でない。 V は開近傍と仮定してよい。
W^2 ∩ (X - V) 全体は X のフィルター基底だから >>309 より 接触点 (x, y) を持つ。X - V は閉集合だから (x, y) ∈ X - V 従って x ≠ y である。
>>318 より x の近傍 V_1 と y の近傍 V_2 と Δ の近傍 W で (V_1)×(V_2) が W^2 と交わらないものがある。 これは矛盾である。 証明終
320 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 12:55:54
命題 X をコンパクト空間とする。 この位相構造 α より荒いハウスドルフ位相構造 β は α と一致する。
証明 恒等写像 f: (X, α) → (X, β) は連続である。 (X, α) はコンパクトだから (X, β) もコンパクトである。 A を (X, α) の閉集合とする。 A は (X, α) でコンパクトだから (X, β) でもコンパクトである。 (X, β) はハウスドルフ空間だから A は (X, β) の閉集合である。 即ち f は閉写像である。 よって α = β である。 証明終
321 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 13:02:22
補題 X をハウスドルフ空間とする。 X×X の対角線集合 Δ の近傍全体の共通部分は Δ である。
証明
x と y を X の点で x ≠ y とする。
X はハウスドルフだから (x, y) は X×X の閉集合である。
従って X×X - {(x, y)} は Δ の近傍で (x, y) を含まない。
証明終
322 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 13:15:22
命題 X をコンパクト空間とする。 X×X の対角線集合 Δ の近傍全体は X の一様構造であり、 この一様構造で定まる位相は X の位相と一致する。
証明 X の位相構造を α とする。 >>319 より X×X の対角線集合 Δ の近傍全体は X の一様構造である。 この一様構造から定まる位相構造を β とする。 β ⊂ α である。
>>321 より、Δ の近傍全体は分離的一様構造である。 従って β はハウスドルフである。 従って >>320 より α = β である。 証明終
323 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 13:50:41
命題 準コンパクト一様空間 X から一様空間 Y への連続写像 f は 一様連続である。
証明 V を Y の任意の近縁とする。 W^2 ⊂ V となる対称近縁 W を取る。
f は連続だから x を X の任意の点としたとき X の近縁 U_x で f(U_x(x)) ⊂ W(f(x)) となるものがある。
(T_x)^2 ⊂ U_x となる対称近縁 T_x を取る。
X はコンパクトだから有限個の点 x_1, ... , x_n があり、 (T_x_i(x_i)) は X の被覆になる。
T ⊂ ∩T_x_i となる X の対称近縁 T を取る。
(x, y) ∈ T なら x ∈ T_x_i(x_i) となる x_i がある。
y ∈ T(x) ⊂ (T_x_i)^2(x_i) ⊂ U_x_i(x_i)
よって (f(x), f(x_i)) ⊂ W (f(y), f(x_i)) ⊂ W
(f(x), f(y)) ⊂ W^2 ⊂ V 証明終
324 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 13:56:44
定理 コンパクト空間にはその位相を引き起こす一様構造が一意に入る。
証明 このような一様構造の存在は >>322 で証明されている。
一意性は >>323 より直ちに得られる。 証明終
325 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 14:15:36
命題 X を可算な基本近縁系をもつ一様空間とする。 X の任意の Cauchy 点列(>>237)が収束すれば X は完備(>>249)である。
証明 (V_n), n ∈ Z+ を可算な基本近縁系とする。
Φ を Cauchy フィルターとする。 Φ は V_n 程度に小さい集合 A_n を含む。
各 n ∈ Z+ に対して B_n = A_0 ∩ . . . ∩ A_n とおく。 B_n ∈ Φ である。
(B_n) は Cauchy フィルターの基底であり、その生成するフィルターを Ψ とすれば Ψ ⊂ Φ である。
各 B_n から点 x_n を取り出せば (x_n) は Cauchy 点列だから X の点 x に収束する。
x は Ψ の接触点だから >>248 より Ψ は x に収束する。 従って Φ も x に収束する。 証明終
326 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 14:22:40
命題 X を可算な基本近縁系をもつ一様空間とする。 X の任意の Cauchy フィルター Φ に対して 高々可算な基底を持つ Cauchy フィルター Ψ があり、 Ψ ⊂ Φ となる。
証明 >>325 の証明から分かる。
327 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/08(水) 14:24:06
命題 X を可算な基本近縁系をもつ一様空間とする。 X の任意の極小 Cauchy フィルター(>>133) Φ は高々可算な基底を持つ。
証明 >>326 より明らかである。
328 ：Kummer ◆Qk1D5QGAJw ：2007/08/08(水) 16:38:53
★天使＝ＡＶ女優 ★★大天使＝あいり＆めいり・天海麗・小倉ありす・角松かのり・森下くるみ・あいだゆあ・吉岡なつみ・つかもと友希・みひろ・小沢菜穂・酒井るんな・etc… ★★★主天使（中級天使）＝ 蒼井そら・乃亜・桜朱音・志保・ｎａｏ.・松島かえで・小澤マリア・穂花・光月夜也・片瀬まこ ★★★★智天使（上級天使） 高樹マリア・吉崎直緒・南波杏・堤さやか・高井桃・天野こころ・滝沢優奈 ★★★★★熾天使 （四大天使長） 朝河蘭・古都ひかる・ 葉山レイコ・吉沢明歩 ∞：ネ申 小林ひとみ
329 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 04:58:45
定義 G を位相群、X を位相空間とし、 G は X に作用しているとする。 即ち、s ∈ G と x ∈ X に対して sx が定義されて 以下の 1), 2) を満たす。
(1) e を G の単位元とすると、ex = e が任意の x ∈ X に対して 成り立つ。
(2) s(tx) = (st)x が任意の s, t ∈ G と x ∈ X に対して成り立つ。
写像 φ : G × X → X を φ(s, x) = sx で定義する。 φ が連続のとき G は X に連続作用すると言う。
330 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 05:00:14
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
