最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時30分13秒
代数的整数論 II(901-1001)
元スレ： http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/901-
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/901-
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/901-
901 ：１３２人目の素数さん：2006/02/01(水) 02:59:17
Will you discuss local class field theory?
902 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 09:15:51
>>901
類体論は局所的と大域的の両方やる予定。 どっちを先にやるかは決めてない。
903 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 10:18:30
定義 A をネーター環とする。 D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。 D ≧ 0 (>>894) のとき D を正因子と呼ぶ。
904 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 10:19:40
>>903
D は正確には非負因子と呼ぶべきだが慣用に従った。
905 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 10:21:13
今やろうとしていることは、環の因子とイデアルの関係を調べること。
906 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 10:29:23
このあたりは局所環の深さ(depth)の概念と関係ある。 深さというのは埋蔵随伴素イデアルの有無と結びついてるので。 ただ、深さの概念はホモロジー代数の知識を仮定しないと説明しにくい。
907 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 11:23:11
定義 A をネーター環とする。 D を A の因子(>>826)とする。 D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体 を動く。n_p は整数で、有限個の p を除いて 0 である。
p が A の高さ１の素イデアルのとき、 n_p = multi_p(D) と書く。
908 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 11:26:09
訂正：
>>907 >p が A の高さ１の素イデアルのとき、 >n_p = multi_p(D) と書く。
p が A の高さ１の素イデアルのとき、 n_p を multi_p(D) と書く。
909 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 11:37:01
定義 A をネーター環とする。 D を A の正因子(>>903)とする。
p が A の高さ１の素イデアルのとき、 標準射 A → A_p による (p^(n_p))A_p の逆像を q_p とする。 ここで、n_p = multi_p(D) (>>907) である。
I = ∩q_p とおく。ここで、 p は A の高さ１の素イデアル全体を 動く。multi_p(D) = 0 のとき、q_p = A だから、 multi_p(D) ≠ 0 となる q_p のみを考えても I には影響しない。
この I を I(D) と書く。
910 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 11:51:54
定義 A をネーター環とし、I をそのイデアルとする。 Ass(A/I) の元で Supp(A/I) の極小元でないものを A/I の埋蔵随伴素イデアルと呼ぶ。
Ass(A/I) の極小元と Supp(A/I) の極小元は同じもの(前スレの166) だから、Ass(A/I) の元で Ass(A/I) の極小元でないものを A/I の埋蔵随伴素イデアルと呼ぶと言ってもいい。
911 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/01(水) 12:07:19
命題 A をネーター環とする。 D を A の正因子(>>903)とする。 I(D) (>>909) を I とする。 このとき、以下が成立つ。
1) Supp(A/I) の極小元はすべて高さ１である。、 2) A/I は埋蔵随伴素イデアル(>>910)を持たない。
証明
>>909 の記号をそのまま使う。
I = ∩q_p である。ここで、 p は A の高さ１の素イデアル
で、multi_p(D) ≠ 0 となるものを動く。
前スレの 351 より 各 q_p は準素イデアルであり
Ass(A/q_p) = {p} である。
よって I = ∩q_p は I の最短準素イデアル分解である。
これから、上の 1), 2) は明らかである。
証明終
912 ：１３２人目の素数さん：2006/02/01(水) 17:48:41
助走をつける
913 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/02(木) 20:15:45
命題 A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。 I をそのイデアルで以下が成立つとする。
1) Supp(A/I) の極小元はすべて高さ１である。、 2) A/I は埋蔵随伴素イデアル(>>910)を持たない。
このとき、A の正因子(>>903) D が存在して、 I = I(D) (>>909) となる。
証明
Ass(A/I) ={p_1, ..., p_r} とする。
各 i に対して、標準射 A → A_(p_i) による IA_(p_i) の逆像を q_i とする。各 p_i は Supp(A/I) の極小元であるから、 I = ∩q_i である(前スレの198)。 仮定より 各 A_(p_i) の次元は 1 だから正則局所環であり、 従って >>572 より離散付値環である。 よって、IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_1) となる整数 n_i > 0 が 定まる。D = Σ(n_i)p_i とおく。 I = I(D) となることは I(D) の定義から明らか。 証明終
914 ：１３２人目の素数さん：2006/02/02(木) 22:39:06
バリバリ解析系の俺にはさっぱりだ 代数的整数論ヲタ、一言でまとめてくれ
915 ：１３２人目の素数さん：2006/02/03(金) 03:01:49
>>914 >バリバリ解析系 何処に何書いた？専門は何？ 書いてなかったらバリバリ解析系と言うハンネで次に書いてくれよなking!
916 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/03(金) 07:29:46
talk:>>915 私を呼んだか？
917 ：１３２人目の素数さん：2006/02/03(金) 09:50:11
お前の専門は何だ 微分方程式か？
918 ：１３２人目の素数さん：2006/02/03(金) 11:00:30
僕の専門はε-δ論法です
919 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 13:39:34
命題 ０次元の正則局所環(>>571)は体である。
証明 A を０次元の正則局所環とし、m をその極大イデアルとする。 dim(m/m^2) = 0 である。 よって中山の補題(前スレの242)より、m = 0 である。 よって A は体である。 証明終
920 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 13:46:07
>>919 よりネーター環 A が性質 (R_0) (>>889)を持つ、 即ち余次元０以下で正則であるというのは、 A のすべての高さ０の素イデアル、即ち極小素イデアル p に対して A_p が体であるということと同じである。
921 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 13:55:35
命題
A をネーター整域とすると、
Ass(A) = {0} である。
証明 p ∈ Ass(A) とする。随伴素イデアルの定義(前スレの89)より p = Ann(x) となる A の元がある。x ≠ 0 だから p = 0 である。 証明終
922 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 14:14:47
命題 A を被約(前スレの206)なネーター環とする。 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とすると、 0 = p_1∩...∩p_r となる。
証明 前スレの163より、A のすべての素イデアルの共通部分は A の べき零元の全体と一致する。A は被約だから、この共通部分は 0 である。A の任意の素イデアル p は極小素イデアルを含むから 0 = p_1∩...∩p_r となる。 証明終
923 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 14:25:20
命題 A をネーター環とする。 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r としたとき、 0 = p_1∩...∩p_r となるなら、A は被約である。
証明 明らかだろう(>>922の証明を参照)。
924 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 14:44:03
命題 A を環とし、S を A の積閉集合(前スレの>>63)とする。 A が被約なら、A_S も被約である。 ここで、A_S は A の S による局所化(前スレの>>65)である。
証明 x ∈ A, s ∈ S とし、A_S において、(x/s)^n = 0 とする。 ここで、n > 0 である。 x^n/s^n = 0 だから、ある t ∈ S があって t(x^n) = 0 である。 よって (tx)^n = 0 となる。A は被約だから、tx = 0 である。 よって、x/s = 0 である。 証明終
925 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 14:53:26
命題 被約な０次元のネーター局所環は体である。
証明 A を被約な０次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルと する。ht(m) = 0 だから、m は A の唯一つの素イデアルである。 よって m は A のべき零元の全体と一致する(前スレの163)。 A は被約だから m = 0 である。 よって A は体である。 証明終
926 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 15:10:50
命題
A を被約なネーター環とする。
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とすると、
Ass(A) = {p_1, ..., p_r} である。
証明 >>922 より、0 = p_1∩...∩p_r である。 これは 0 の最短準素イデアル分解(前スレの188)であることが 容易に分かる。 これから、前スレの190より本命題の主張は明らか。 証明終
927 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 15:27:55
命題 A を被約なネーター環とすると、A は性質 (R_0) (>>889)を持つ。
証明 p を A の極小素イデアルとする。>>924 より A_p は被約である。 dim(A_p) = 0 だから >>925 より A_p は体である。 >>920 より A は性質 (R_0) を持つ。 証明終
928 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/03(金) 15:37:24
命題 A を被約なネーター環とする。 p が A の素イデアルで ht(p) ≧ 1 なら pA_p は Ass(A_p) の元 ではない。
証明
A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。
>>926 より Ass(A) = {p_1, ..., p_r} である。
前スレの95より、Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) となる。 よって、Ass(A_p) は p に含まれる極小素イデアルの全体と 同一視される。 ht(p) ≧ 1 だから p は極小素イデアルではない。 よって、pA_p は Ass(A_p) に属さない。 証明終
929 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/06(月) 14:11:06
補題 A を環とし、p をその素イデアルする。 I を標準射 A → A_p の核とする。 A_p が体なら I = p である。
証明 x ∈ I なら sx = 0 となる s ∈ A - p がある。 当然、 sx ∈ p だから x ∈ p となる。 よって I ⊂ p である。
逆に y ∈ p とする。pA_p = 0 だから y/1 は A_p の元として 0 である。よって ty = 0 となる t ∈ A - p がある。 よって y ∈ I である。つまり p ⊂ I である。 証明終
930 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/06(月) 18:02:11
命題 A をネーター環とする。 A が被約であるためには、以下の条件を満たすことが必要十分である。
1) A は (R_0) を満たす、即ち余次元０以下で正則(>>889)である。 2) p が A の素イデアルで ht(p) ≧ 1 なら pA_p は Ass(A_p) の元 ではない。
証明 条件 1), 2) が必要なことは >>927 と >>928 で証明されている。
よって十分なことの証明のみを行う。 A をネーター環で、条件 1), 2) を満たすとする。
2) から Ass(A) の元は全て A の極小素イデアルである。
A の極小素イデアルの全体を p_1, ..., p_r とする。
0 = q_1∩...∩q_r を 0 の最短準素イデアル分解(前スレの188)とする。
ただし、各 i に対して Ass(A/q_i) = {p_i} である。
前スレの198より q_i は 標準射 A → A_(p_i) の核である。
一方、条件 1) より各 A_(p_i) は体である。 >>929 より、q_i = p_i である。 よって、 0 = p_1∩...∩p_r となる。 従って、>>923 より A は被約である。 証明終
931 ：１３２人目の素数さん：2006/02/06(月) 18:02:15
>D は正確には非負因子と呼ぶべきだが慣用に従った。
アホ
932 ：１３２人目の素数さん：2006/02/06(月) 18:30:53
king!@!!
933 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/06(月) 22:00:26
talk:>>932 私を呼んだか？
934 ：１３２人目の素数さん：2006/02/07(火) 09:14:20
>>933
荒しに、いちいち反応するのはちょっとおかしいぞ。 律儀というか神経質というか。 どうでもいい細かいことに異様にこだわる。
脳を読まれるとか言ってるのもおかしいしな。
935 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/07(火) 10:12:46
talk:>>934 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。
936 ：１３２人目の素数さん：2006/02/07(火) 10:54:49
>>935
頼むから荒しにいちいち反応しないでくれ。
937 ：１３２人目の素数さん：2006/02/07(火) 12:47:38
頼んでどうする
938 ：１３２人目の素数さん：2006/02/07(火) 16:04:46
頼んでどうすると聞いてどうする
939 ：１３２人目の素数さん：2006/02/07(火) 16:47:37
そうする
940 ：１３２人目の素数さん：2006/02/08(水) 03:08:46
kong!@!!
941 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/08(水) 13:14:41
因子論の説明の都合上、局所環の深さ(depth)について簡単に述べる。 深さの概念は代数的整数論にあまり関係ないが可換代数 において重要なので知っておいて損はないだろう。
定義 Aを環とし、MをA-加群とする。 A の元の列 x_1, ..., x_r があり、 x_1 は M に関して正則(前スレの179)であり、 i ≧ 2 に対して x_i が M/(x_1M + ... x_(i-1)M) に関して正則のとき、 この列を M-正則列と呼ぶ。
942 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/08(水) 18:16:53
補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 dim(A) = n とする。 dim(A/p) = n となる A の素イデアル p は A の極小素イデアル であるから有限個である。これ等を p_1, .., p_r とする。 x ∈ m が、p_1∪...∪p_r に含まれないなら。 dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。
証明 xA はどの p_i にも含まれないから、 xA ⊂ p となる素イデアル p に対して dim(A/p) ≦ n - 1 である。 よって dim(A/xA) ≦ n - 1 である。 一方、前スレの454 より dim(A/xA) ≧ dim(A) - 1 である。 よって、dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。 証明終
943 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/09(木) 11:23:58
定義 A をネーター環とし、M を有限生成 A-加群とする。 dim(A/Ann(M)) を M の次元 と呼び、dim(M) と書く。
944 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/09(木) 11:51:25
>>943
Supp(M) = V(Ann(M)) (前スレの161) だから dim(M) は Supp(M) だけで決まる。
945 ：１３２人目の素数さん：2006/02/11(土) 12:09:58
king kong bundy....
sugoi wrestler datta.....
946 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/02/11(土) 12:13:42
talk:>>945 私を呼んだか？
947 ：１３２人目の素数さん：2006/02/14(火) 14:09:59
ころ
948 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/14(火) 16:46:22
補題 A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。 p を A の素イデアルとし、A_p の剰余体 A_p/pA_p を k とおく。
標準射 A → A_p により k を A-加群とみて A 上のテンソル積 M(x)k を考える。 このとき、M(x)k = 0 は M_p = 0 と同値である。
証明 M(x)k = M_p/(pA_p)M_p であり、M_p は有限生成 A_p-加群であるから 中山の補題(前スレの242)より、M_p/(pA_p)M_p = 0 から M_p = 0 が 出る。逆は明らか。 証明終
949 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/14(火) 16:47:36
補題 k を体とし、M, N を k-加群とする。 M(x)N を k 上のテンソル積とする。
M ≠ 0 かつ N ≠ 0 なら M(x)N ≠ 0 である。
証明 x ∈ M で x ≠ 0 なら x は M の k 上の基底の要素となる。 同様に、y ∈ N で y ≠ 0 なら y は N の k 上の基底の要素となる。 よって x(x)y も M(x)N の基底の要素となる。 よって x(x)y ≠ 0 であり、M(x)N ≠ 0 となる。 証明終
950 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/14(火) 16:48:24
補題 A を環とし、M と N を A-加群とする。 B を A-代数とする。 このとき、(M(x)N)_B = M_B(x)N_B となる。
ここで、M_B = M(x)B である。N_B, (M(x)N)_B も同様。 M_B(x)N_B は B 上のテンソル積である。
証明 テンソル積の結合法則と B と B-加群 N_B の B 上のテンソル積 B(x)N_B は N_B に等しいことを使う。
(M(x)N)_B = M(x)N_B = M(x)(B(x)N_B) = M_B(x)N_B 証明終
951 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/14(火) 16:58:59
補題 A を環とし、M と N を有限生成 A-加群とする。 Supp(M(x)N) = Supp(M) ∩ Supp(N) となる。
証明 p を A の素イデアルとし、A_p の剰余体 A_p/pA_p を k とおく。 標準射 A → A_p により k を A-代数とみる。
>>950 において B を k に置き換えて (M(x)N)_k = (M_k)(x)(N_k) となる。
よって、>>948 と >>949 より Supp(M(x)N) = Supp(M) ∩ Supp(N) となる。 証明終
952 ：１３２人目の素数さん：2006/02/14(火) 18:31:32
ころ
953 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/15(水) 10:28:58
命題 A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。 I を A のイデアルとする。 Supp(M/IM) = V(Ann(M) + I) である。
証明 M/IM = M(x)(A/I) だから、 >>951 より Supp(M/IM) = Supp(M) ∩ Supp(A/I) となる。
Supp(M) = V(Ann(M)) (前スレの161) だから Supp(M/IM) = V(Ann(M)) ∩ V(I) = V(Ann(M) + I) となる。 証明終
954 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/15(水) 10:59:38
>>953の別証明をする。
この別証明は、あまり知られてないのではないか。 少なくとも、私は他で見たことがない。
955 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/15(水) 11:00:28
補題 A を環とし、M を有限生成 A-加群とする。 I を A のイデアルとする。 Ann(M/IM) ⊂ rad(Ann(M) + I) となる (rad の記号については前スレの164参照)。
証明 M の生成元を ω_1, ..., ω_n とする。 x ∈ Ann(M/IM) とする。 xM ⊂ IM となる。 よって、以下の関係式が成立つ。
xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n . . . xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n
ここで、各 a(i,j) は I の元。
前スレの505の証明と同様にして、 モニックな n 次の多項式 f(X) ∈ A[X] で、 その X^n 以外の係数がすべて I に属すものがあり、f(x)M = 0 となる。 よって、f(x) ∈ Ann(M) である。 よって、x^n ∈ Ann(M) + I となる。 これは x ∈ rad(Ann(M) + I) を意味する。 証明終
956 ：１３２人目の素数さん：2006/02/20(月) 14:36:42
ころ
957 ：１３２人目の素数さん：2006/02/20(月) 18:52:01
age
958 ：１３２人目の素数さん：2006/02/20(月) 21:09:34
もう飽きたのか？
959 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/21(火) 12:27:51
>>953の別証明
Ann(M) + I ⊂ Ann(M/IM) は明らか。 よって、>>955 より Ann(M) + I ⊂ Ann(M/IM) ⊂ rad(Ann(M) + I) となる。
一方、V(Ann(M) + I) = V(rad(Ann(M) + I) ) だから V(Ann(M) + I) = V(Ann(M/IM)) である。 この右辺の V(Ann(M/IM)) は、Supp(M/IM) だから Supp(M/IM) = V(Ann(M) + I) である。 証明終
960 ：１３２人目の素数さん：2006/02/21(火) 17:21:49
ころ
961 ：１３２人目の素数さん：2006/02/22(水) 14:35:46
次ｽﾚ http://live19.2ch.net/test/read.cgi/ogame/1140344331/
962 ：１３２人目の素数さん：2006/02/22(水) 14:50:23
次ｽﾚ終了
963 ：１３２人目の素数さん：2006/02/22(水) 14:52:18
ころ
964 ：１３２人目の素数さん：2006/02/23(木) 02:07:35
このスレ
～～～終了～～～
965 ：１３２人目の素数さん：2006/02/23(木) 13:33:21
ころ
966 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/23(木) 18:06:46
命題 A をネーター環とし、M を有限生成 A-加群とする。 I を A のイデアルとすると、 dim(M/IM) = dim(A/(Ann(M) + I)) となる。
証明 >>943, >>944 と >>953 より明らか。
967 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 09:44:38
定義 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 x_1, ... x_r を m の相異なる元の列とする。 dim(M/x_1M + ... + x_rM) = dim(M) - r となるとき、 x_1, ... x_r を M に関する切断列(secant sequence) または M-切断列と呼ぶ。
968 ：１３２人目の素数さん：2006/02/24(金) 09:50:15
話は変わるけど、代数多様体の正規点における局所環の完備化は 正規であるというZariskiの定理の証明ってあまり本に書いてないね。 この定理は代数幾何では重要なんだけど。
Zariski-Samuelには当然書いてある。
969 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 09:56:44
補題 A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 x を rad(A) の元とすれば、 dim(M/xM) ≧ dim(M) - 1 となる。
証明 I = Ann(M)、B = A/I とおく。 定義より、dim(M) = dim(B) である。 前スレの446より dim(B) ≧ dim(B/xB) - 1 となる。 B/xB = A/(I + xA) であるから、>>953 より dim(B/xB) = dim(M/xM) である。 証明終
970 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 10:04:33
補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 I を m に含まれるイデアルとする。 dim(A/I) ＜ dim(A) なら x ∈ I で dim(A/xA) = dim(A) - 1 となるものが存在する。
証明 dim(A) = n とする。 dim(A/p) = n となる A の素イデアル p は A の極小素イデアル であるから有限個である。これ等を p_1, .., p_r とする。 dim(A/I) ＜ dim(A) だから I はどの p_i にも含まれない. 前スレの579より I の元 x でどの p_i にも含まれないものがある。 >>942 より dim(A/xA) = dim(A) - 1 である。 証明終
971 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 10:06:30
補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 dim(A) ≧ 1 なら x ∈ m で dim(A/xA) = dim(A) - 1 となるものが存在する。
証明 >>970 において I = m とすればよい。 証明終
972 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 10:09:54
>>967 の切断列の定義はBourbakiによる。
973 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 10:24:44
命題 A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 x_1, ... x_r を rad(A) の元の列とすれば、 dim(M/(x_1M + ... + x_rM)) ≧ dim(M) - r となる。
証明 r に関する帰納法を使う。 r = 1 のときは >>969 で証明されている。
r > 1 とする。 M/(x_1M + ... x_(r-1)M) = N とおく。 N/x_rN = M/(x_1M + ... + x_rM) である。 >>969 より、dim(N/x_rN) ≧ dim(N) - 1 である。 帰納法の仮定より、dim(N) ≧ dim(M) - r + 1 である。 よって、dim(N/x_rN) ≧ dim(N) - 1 ≧ dim(M) - r 証明終
974 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 10:45:48
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
S = {x_1, ..., x_r} を m の r 個の元からなる集合とする。
列 x_1, ..., x_r が M-切断列(>>967)になることは、集合 S のみで
定まる。よって、集合 S も（不正確だが）M-切断列と呼ぶ。
x_1M + ... + x_rM を SM と書く。
975 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 10:48:21
記法の定義 集合 S の濃度を |S| と書く。
976 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/24(金) 11:14:03
補題 A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、 M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。 S と T を m の元からなる空でない有限集合で交わらないものとする。 S∪T が M-切断列(>>974)になることと、 S が M-切断列 であり、かつ T が (M/SM)-切断列 となることは同値である。
証明 N = M/SM とおく。 N/TN = M/(S∪T)M となる。 よって、次の等式が得られる(記法 |S| については >>975)。
dim(M/(S∪T)M) - dim(M) + |S| + |T| = (dim(N/TN) - dim(N) + |T|) + (dim(M/SM) - dim(M) + |S|)
>>973 より、この等式の左辺 ≧ 0 であり、 右辺の括弧の中の各項も ≧ 0 である。
さらに、S と T は交わらないから、|S∪T| = |S| + |T| である。
よって本補題の主張が得られる。 証明
977 ：１３２人目の素数さん：2006/02/24(金) 15:21:18
ころ
978 ：１３２人目の素数さん：2006/02/27(月) 14:46:32
9208さん、新スレ立てましたので 引越しをお願いいたします。 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
979 ：１３２人目の素数さん：2006/02/27(月) 21:24:08
梅
980 ：１３２人目の素数さん：2006/02/27(月) 21:24:50
ウメ
981 ：１３２人目の素数さん：2006/02/28(火) 00:02:57
メシ
982 ：１３２人目の素数さん：2006/02/28(火) 00:43:37
シマ
983 ：１３２人目の素数さん：2006/02/28(火) 09:57:11
( ´,_ゝ｀)プッ
984 ：１３２人目の素数さん：2006/02/28(火) 16:08:30
九十八日。
985 ：１３２人目の素数さん：2006/02/28(火) 21:49:11
（；゜〇゜)
986 ：１３２人目の素数さん：2006/03/01(水) 11:00:31
king氏ね
987 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/03/01(水) 11:24:43
talk:>>986 お前に何が分かるというのか？
988 ：１３２人目の素数さん：2006/03/01(水) 11:40:00
>>987 たまには数学の話もしてみれば？
989 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/03/01(水) 11:42:47
talk:>>988 何やってんだよ？
990 ：１３２人目の素数さん：2006/03/01(水) 12:48:41
ε ⌒ﾍ⌒ヽﾌ （ ( ；・ω・）＝3 呼んだブヒ？ しー し─Ｊ
991 ：１３２人目の素数さん：2006/03/01(水) 20:37:49
kkkinggguuu
992 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/03/01(水) 21:50:52
talk:>>991 私を呼んだか？
993 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 00:10:52
消えろ
994 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 04:20:59
ほらほら
995 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 04:22:16
もうすぐだよ、ほら
996 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 04:23:08
後少しで、ほら
997 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 04:23:54
みんな、寝てるのかな
998 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 04:24:56
きっとこの先何年たってもこれだけは変わらない！
999 ：１３２人目の素数さん：2006/03/02(木) 04:25:49
そうこの数学板のみんなも！
1000 ： ◆xeS.CIM.Jk ：2006/03/02(木) 04:28:16
数学を愛するすべての人は幸せになる！ 小さな希望にも無限の可能性を抱いて頑張れる！
数学は不滅だ！それを愛するおまいらがいる限り！
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