最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時37分46秒
代数的整数論 006 (801-900)
元スレ： http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/801-900
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/801-900
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/801-900
801 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:26:50
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802 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:27:58
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803 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:29:17
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804 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:29:48
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806 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:31:19
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810 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:33:23
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812 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:35:51
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813 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:36:28
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815 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:37:30
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816 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:38:01
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818 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:39:15
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819 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:39:47
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820 ：1stVirtue ◆.NHnubyYck ：2007/08/22(水) 23:49:01
Reply:>>800 よくそこに書けたものだ。
821 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 03:22:04
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822 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 03:22:34
b
823 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 03:23:05
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846 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 03:36:55
z
847 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 04:10:00
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848 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 04:11:00
55
849 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 04:12:00
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850 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 04:13:00
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851 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 04:14:01
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852 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 04:15:01
51
853 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 04:17:54
ノルム環の例
(1)
区間 [0, 1] における連続な実数値関数全体 C[0, 1] を考える。
f ∈ C[0, 1] のとき |f| = sup{f(x); x ∈ [0, 1]} と定義すれば
C[0, 1] は R 上の完備な可換ノルム環である。
(2) K を実数体または複素数体とする。 E を K 上のノルム空間(>>561)とする。 E の連続な K-自己準同型写像全体を X とする。
f ∈ X に対して |f| を f のノルム(>>690)とする。
即ち、|f| = sup{|f(x)| ; x ∈ E, |x| ≦ 1 }
f は連続だから |f| は有限である(>>693)。
>>692 より、任意の x ∈ X に対して |f(x)| ≦ |f||x| である。
よって、f ∈ X, g ∈ X のとき、任意の x ∈ X に対して |fg(x)| ≦ |f||g(x)| ≦ |f||g||x|
よって |fg| ≦ |f||g|
即ち、X は K 上のノルム環である。
854 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 05:23:53
k
855 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 05:24:50
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856 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 05:31:02
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857 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 05:36:58
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858 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 05:41:30
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859 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 05:45:47
ね
860 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 06:29:45
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861 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 09:02:28
>>758の証明は、>>779 の証明のように以下のようにしたほうが 分かりやすい。
定理(Gelfand-Mazur) A を Banach 代数(>>748)で必ずしも可換とは限らない体とする。 このとき A は複素数体 C と Banach 代数として標準的に同型である。
証明 A ≠ C と仮定する。 x ∈ A - C を任意にとり固定する。 >>755 より、連続線形写像 ψ : K → C で ψ(1/x) ≠ 0 となるものが存在する。
A は体だから、f(λ) = ψ(1/(x - λ)) は全複素平面 C で定義される。 >>752 より f(λ) は C で正則で、 λ → ∞ のとき f(λ) → 0 である。 よって 複素関数論の Liouville の定理より f(λ) は定数 0 である。 しかし、ψ(1/x) ≠ 0 だから f(0) ≠ 0 である。 これは矛盾である。
よって A = C である。 証明終
862 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 09:09:15
訂正
>>861 >連続線形写像 ψ : K → C で
連続線形写像 ψ : A → C で
863 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 10:53:41
>>790
次の命題の証明をしようとしていたが、意外と準備に 時間がかかることが分かった。
従って、この命題の証明は後でやる予定の単純多元環論の副産物として 証明することにする。
命題 K を実数体 R 上の(完備とは限らない)ノルム環(>>694) で、 非可換な体とする。 このとき K は４元数体と標準的に同型である。
864 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 12:07:42
補題 L を必ずしも可換とは限らない体とする。 K をその部分体で必ずしも可換とは限らないとする。 さらに、L は K 上の有限次元の左ベクトル空間とする。
g を L 上の絶対値(>>414)とし、 f をその K への制限とする。 f が自明でなく K が f で完備なら L は g で完備である。
h を L の絶対値で、その K への制限が f と一致するなら g = h である。
証明 g により L は K 上のノルム空間(>>561)になる。 >>651 より L は K^n と位相ベクトル空間として同型である。 ここで n は L の K 上の次元である。
K^n は完備空間の直積として完備である(>>255)。 よって、L も完備である。
h により L は K 上のノルム空間(>>561)になる。 >>651 より g と h は L に同じ位相を定義する。
>>435 より、ある実数 s ＞ 0 があり、h(x) = g(x)^s が全ての x ∈ L で成り立つ。
f は自明でないから a ∈ K があり f(a) ≠ 1 となる。 h(a) = g(a) = f(a) だから f(a) = f(a)^s となる。 よって、s = 1 である。 証明終
865 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 12:38:35
補題 K を必ずしも可換とは限らない体とする。 K の標数が p ＞ 0 なら K の任意の絶対値(>>414)は 非アルキメデス的(>>448)である。
証明 ｆを K の任意の絶対値とする。
K の素体を F とする。 F の任意の元 x ≠ 0 に対して x^(p-1) = 1 となる。 よって f(x) = 1 である。 よって、任意の整数 n ＞ 0 に対して f(n) ≦ 1 となる。 よって、f は非アルキメデス的である。 証明終
866 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 13:22:13
定理(Ostrowski) K を必ずしも可換とは限らない体とする。 f を K 上のアルキメデス的(>>448)絶対値とする。 K が f で完備なら K から R, C, または H への体同型 j と、 実数 0 ＜ s ≦ 1 が存在し、f(x) = |j(x)|^s となる。
ここで、R, C, H はそれぞれ実数体、複素数体、４元数体である。
証明 >>865 より K の標数は 0 である。 よって K は Q 上の代数である。
x ∈ Q に対して h(x) = f(x.1) とおく。 h は Q のアルキメデス的絶対値である。
>>469 より 実数 s ＞ 0 があり、 任意の x ∈ Q に対して h(x) = |x|^s となる。
g = f^(1/s) とおく。 任意の整数 n ＞ 0 に対して g(n.1) = n となる。
>>459 より g は一般絶対値(>>453)である。 >>457 より g は絶対値である。
(続く)
867 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 13:23:01
任意の x ∈ Q と y ∈ K に対して g(xy) = |x|g(y) である。 従って g により K は Q 上のノルム環(>>694)である。
K は完備だから >>774 より K は R = Q^ 上のノルム環である。 >>784, >>785, >>863 より、K は、 R, C または H のどれかに R-代数として標準的に同型である。 この同型を j とする。
x ∈ K に対して g'(x) = |j(x)| とおくと g' は K の絶対値である。 g と g' は K の部分体 R.1 で一致する。 K は R 上有限次だから >>864 より g = g' である。 よって g(x) = |j(x)| である。 即ち、f(x) = |j(x)|^s である。
f は絶対値だから f(1 + 1) ≦ f(1) + f(1) 即ち、|j(1) + j(1)|^s ≦ |j(1)|^s + |j(1)|^s よって、2^s ≦ 2 よって、s ≦ 1 である。 証明終
868 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 17:21:26
459KB
869 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 17:23:23
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | あらすな Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
870 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 18:17:33
>>863 の命題につて、 Bourbaki の可換代数 VI の§6 の演習２にヒントが書いてあった。
これを参考にして >>863 を証明してみる。
871 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 18:18:04
定義
K を非可換な体とする。
Z = {x ∈ K; 全ての y ∈ K に対して xy = yx }
を K の中心と言う。
K の中心は可換体である。
872 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 18:34:06
命題 K を実数体 R 上の(完備とは限らない)ノルム環(>>694) で、 非可換な体とする。
K は R 上４次元のベクトル空間である。
証明 R を K の部分体 R.1 と同一視する。 λ ∈ K - R に対して R(λ) は R 上の可換なノルム環である。 >>784 と >>785 から R(λ) は R または複素数体 C と同型である。 R ≠ R(λ) であるから R(λ) は C と同型である。 よって、i ∈ R(λ) で i^2 = -1 となる元がある。
x ∈ K に対して σ(x) = ixi^(-1) と定義する。 σ は K の体としての自己同型である。 σ^2 = 1 である。
K+ = {x ∈ K ; σ(x) = x }
K- = {x ∈ K ; σ(x) = -x } とおく。
K+ と K- は R 上のベクトル空間である。
x ∈ K+ ∩ K- なら σ(x) = x = -x だから x = 0 である。
即ち、K+ ∩ K- = {0} である。
任意の x ∈ K に対して y = (x + σ(x))/2 z = (x - σ(x))/2 とおく。 x = y + z で y ∈ K+, z ∈ K- である。 以上から K は K+ と K- の直和になる。
(続く)
873 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 18:38:15
>>872 の続き。
C を R + Ri と同一視する。
K+ = {x ∈ K ; ix = xi } である。
よって、K+ は K の可換な部分体で C を含む。
K+ は R 上の可換なノルム環である。
よって、>>784 より K+ = C である。
K- の元 j ≠ 0 を取る。
x ∈ K- に対して y = xj^(-1) = -xjとおく。 σ(y) = σ(-xj) = -σ(x)σ(j) = -xj = y よって y ∈ K+ x = yj だから K- = (K+)j と書ける。
K+ = C だったから K は R 上４次元である。 証明終
874 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 18:46:33
補題 K を実数体 R 上の(完備とは限らない)ノルム環(>>694) で、 非可換な体とする。
K の中心は R である。
証明 K の中心 Z は R を含む可換体である。 >>872 より Z は R 上有限次だから R または C と同型である。
Z が C と同型であるとする。 x ∈ K - Z に対して Z(x) は Z を真に含む可換体である。 C は代数的閉体なので、これはあり得ない。 証明終
875 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 19:10:51
命題 K を実数体 R 上の(完備とは限らない)ノルム環(>>694) で、 非可換な体とする。 このとき K は４元数体と同型である。
証明 >>872 の証明と同じ記号を使う。
K- の元 j ≠ 0 を取る。
>>873 より K- = (K+)j と書ける。
j ∈ K- だから σ(j) = -j 即ち、iji^(-1) = -j よって、ij = -ji よって、jij^(-1) = -i
よって、(j^2)ij^(-2) = i
即ち、j^2 は i と交換可能である。 j^2 は j とも交換可能だから j^2 は K の中心に含まれる。 >>874 より K の中心は R だから j^2 ∈ R である。
j^2 = a で a ≧ 0 とすると、a = b^2, b ∈ r と書ける。 j^2 - b^2 = (j - b)(j + b) = 0 よって j = b または -b となって矛盾である。
よって a = -b^2, b ∈ R, b ≠ 0 と書ける。
(j/b)^2 = -1 だから ｊ を j/b に置き換えて j^2 = -1 としてよい。
(続く)
876 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 19:11:51
>>875 の続き。
C を R + Ri と同一視すれば、
K = C + Cj である。
よって K = R + Ri + Rj + Rij である。
i^2 = j^2 = -1 で ij = -ji であった。
ij = k とおくと、k^2 = (ij)(ij) = (-ji)ij = -1
jk = j(ij) = j(-ji) = i ki = (ij)i = (-ji)i = j
kj = (ij)j = -i ik = i(ij) = = -j
以上から K は４元数体に同型である。 証明終
877 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 19:16:47
命題 K を実数体 R 上の有限次の代数で非可換な体とする。 このとき K は４元数体と同型である。
証明 >>872 と殆ど同じである。
878 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 19:22:11
訂正
>>877 >>>872 と殆ど同じである。
>>875 と殆ど同じである。
879 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 19:22:46
この辺りで、次の疑問が自然に湧く。
実数体 R 上の無限次の代数で非可換な体は存在するか？
どなたか答えを知ってますか？
880 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 19:57:16
>>879
僕がすぐに思いついたのは、超準解析の方法によるものです： H を4元数体、I を連続濃度 κ を持つ無限集合、 F を I 上の κ 級正則超フィルターとし、 F を法とする H の超冪 H' をとれば、H' の濃度は、 2^κ となりますから。
文献：斎藤正彦著「超積と超準解析」pp.71-72
881 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 19:59:14
Kummer 様の >>875 に依れば、 >>880 の H' は、もちろん、ノルム環とはならない。
882 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 20:53:36
>>880
有難うございます。 しかし、超準解析は全然知らないのでお手上げです。
883 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 20:57:19
>>879 ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | R(X) 上の非可換体はないのか Kummer ーーー！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
884 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 21:05:41
>>882
そうでしたか。これはかえって混乱させたかもしれません。 でも、R 上の無限次代数で、非可換体なるものですから、 超準解析という大道具を使わなくても、 代数的に構成できないものかと思ってしまいます。
まず、R の無限次拡大（可換）体を L として、 L 上の (-1,0,-1) 型の４元数線型環 D をとれば、 D は R 上無限次で、（L 上４次元の）非可換な体となります。
えーと、ブルバキの和訳では、 代数の chpter 3 (1971 年版),§2 の no.5 の最後のほうの アナロジーです。
885 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 21:08:18
>>883
R(X) 上の (-1,0,-1)型の４元数線型環
886 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 21:09:52
>>783 の命題は >>778 の定理から直接には導けないことに 注意をする。
何故なら >>783 の K の部分体としての C には K のノルムを制限した ノルムが入るが、これは等式 |zw| = |z||w| を満たすとは限らないから である。このため、K は C 上のノルム環とは必ずしもならない。
C のノルムで絶対値とはならないものの例としては、 次のようなものがある。
z = a + bi のとき φ(z) = |a| + |b| と定義する。 φ は C の R 上のノルムで、これにより C は R 上のノルム環となるが φ は C の >>414 の意味の絶対値ではない。
887 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/23(木) 21:14:33
>>884
なるほど。 有難うございます。
888 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 23:42:01
a
889 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 23:42:51
b
890 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 23:43:31
c
891 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 23:44:02
d
892 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 23:44:38
e
893 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 23:45:08
f
894 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 23:45:38
g
895 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 23:46:13
h
896 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 23:46:44
i
897 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 23:47:14
j
898 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 23:47:23
king氏ね
899 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 23:47:44
k
900 ：１３２人目の素数さん：2007/08/23(木) 23:48:19
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