最終更新日時 2011年03月05日 (土) 21時47分54秒
代数的整数論 004 (951-992)
元スレ： http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/951-992
ログ元： http://yomi.mobi/read.cgi/science6/science6_math_1164286624/951-992
ログ元： http://yomi.mobi/read.cgi/science6/science6_math_1164286624/951-992
951 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/15(木) 21:46:58 ]
Wilson の定理を一般の mod m の場合に拡張するためには >>948 の 証明ではうまくいかない。 そこで拡張可能な証明を紹介する。
Wilson の定理(>>948)の別証
p = 2 のときは明らかだから p は奇素数とする。
(Z/pZ)^* を以下の同値関係で類別する。
x と y を (Z/pZ)^* の元としたとき y = x^(-1) のとき x と y は 同値と定義する。
x = x^(-1) となるのは x^2 = 1 のときに限る。つまり x = ±1
の時に限る。
x ≠ x^(-1) のとき、つまり x ≠ ±1 のときは x の属す同値類は
{x, x^(-1)} である。
よって (Z/pZ)^* の同値類は以下のタイプで尽くされる。
{1}, {-1}, {x, x^(-1)}
ここで x ≠ ±1
xx^(-1) = 1 であるから (Z/pZ)^* の ±1 以外の全ての元の積は 1 である。 よって (Z/pZ)^* の全ての元の積は 1(-1) = -1 である。 証明終
952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/15(木) 21:47:27 ]
うんこ
953 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/15(木) 22:07:58 ]
m ＞ 2 を有理整数として (Z/mZ)^* を考える。
(Z/mZ)^* を以下の同値関係で類別する。
x と y を (Z/mZ)^* の元としたとき y = x^(-1) のとき x と y は 同値と定義する。
x = x^(-1) となるのは x^2 = 1 のときに限る。
よって (Z/mZ)^* の同値類は以下のタイプで尽くされる。
{a}, {b, b^(-1)}
ここで a^2 = 1, b^2 ≠ 1
よって (Z/mZ)^* の元 b で b^2 ≠ 1 となるもの全ての積は 1 である。
よって S = {a ∈ (Z/pZ)^* ; a^2 = 1} とおくと、
(Z/mZ)^* の全ての元の積は S の全ての元の積と一致する。
S を以下の同値関係で類別する。 x と y を S の元としたとき y = -x のとき x と y は 同値と定義する。
x = -x となるのは 2x = 0 のときに限る。
x = c (mod m) とすると 2c ≡ 0 (mod m) である。
gcd(c, m) = 1 だから 2 ≡ 0 (mod m) である。
m ＞ 2 であるからこれはありえない。
よって S の同値類は以下のタイプで尽くされる。
{b, -b}
よって S の全ての元の積は b(-b) = -b^2 = -1 の(|S|/2)乗である。
これは |S|/2 が偶数、つまり |S| ≡ 0 (mod 4) のときは 1
そうでないときは -1 である。
954 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/15(木) 22:33:22 ]
>>833 より x^2 ≡ 1 (mod m) の解の個数、つまり |S| は
(1) m = p^n または 2p^n のとき |S| = 2 ここで p は奇素数で n ≧ 1
(2) m = 4 のとき |S| = 2
(3) m = 4r、r は奇数 ＞ 1 のとき |S| = 2^(s + 1) ここで s は r の相異なる素因数の個数である。
(4) m = (2^e)r, e ≧ 3, r は奇数のときは |S| = 2^(s + 1)
以上から |S| = 2 となるのは (1) と (2) の場合であり、 (3) と (4) の場合は |S| ≡ 0 (mod 4) である。
よって >>953 より次の命題が得られる。
命題(Wilson の定理の拡張) m ＞ 2 を有理整数とする。 (Z/mZ)^* の全ての元の積は以下のようになる。
(1) m = 4 または m = p^n または 2p^n のとき積は -1 ここで p は奇素数で n ≧ 1
(2) 上記以外の場合、積は 1
955 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/15(木) 22:40:46 ]
>>954 の命題(Wilson の定理の拡張)は Gauss が初めて証明した (Disquisitiones art. 78)。
956 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/15(木) 22:49:18 ]
Wilson の定理(>>948) の逆も成り立つ。
命題 n ＞ 1 を有理整数とする。 (n - 1)! ≡ -1 (mod n) なら n は素数である。
証明 n が素数でないとすると p ＜ n となる素数 p で n を割るものがある。 p ≦ n - 1 だから (n - 1)! ≡ 0 (mod p) である。 一方、(n - 1)! ≡ -1 (mod n) だから (n - 1)! ≡ -1 (mod p) である。 よって -1 ≡ 0 (mod p) である。 これは矛盾である。 証明終
957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/15(木) 23:02:24 ]
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958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 01:35:00 ]
11
959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 01:36:00 ]
10
960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 01:37:00 ]
9
961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 01:38:00 ]
8
962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 01:39:00 ]
7
963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 01:40:00 ]
6
964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 06:49:00 ]
5
965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 06:50:00 ]
4
966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 06:51:00 ]
3
967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 06:52:00 ]
2
968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 06:53:00 ]
1
969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 06:54:00 ]
0
970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 07:46:06 ]
次スレ立てておきました。
代数的整数論 005 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/
971 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/16(金) 12:59:01 ]
>>970
有難うございます。
972 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/16(金) 21:37:03 ]
>>778 以降、合同方程式 x^2 ≡ a (mod m) の解法について述べて きたが、これと >>756 に述べた方法を使って m = ax^2 + bxy + cy^2 の解を求めて見よう。
まず、p = 2281 として p = x^2 + y^2 を解く。 >>758 の方法を使う。 >>941 より z = 1207 (mod 2281) とおくと、z^4 = -1 であった。 よって z^2 = 1571 (mod 2281) は x^2 ≡ -1 (mod m) の解である。 つまり、1571^2 ≡ -1 (mod 2281) である。
2*1571 = 3142 だから 3142^2 ≡ -4 (mod 4*2281) である。
3142^2 + 4 = 4*2281*1082 よって ２次形式 (a, b, c) = (2281, 3142, 1082) の判別式は D = b^2 - 4ac = 3142^2 - 4*2281*1082 = -4
(a, b, c) を >>335 の方法(>>411 の注意も参照)により簡約２次形式に 変形する。 (2281, 3142, 1082)S^(-1) = (2281, -1420, 221) (2281, -1420, 221)T = (221, 1420, 2281) (221, 1420, 2281)S^(-3) = (221, 94, 10) (221, 94, 10)T = (10, -94, 221) (10, -94, 221)S^5 = (10, 6, 1) (10, 6, 1)T = (1, -6, 10) (1, -6, 10)S^3 = (1, 0, 1) となる。 ここで S = (1, 1)/(0, 1) T = (0, -1)/(1, 0)
973 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/16(金) 21:43:32 ]
よって (2281, 3142, 1082)S^(-1)TS^(-3)TS^5TS^3 = (1, 0, 1)
行列の積 U = S^(-1)TS^(-3)TS^5TS^3 を計算すると。 U = (11, 31)/(-16, -45) U の逆行列は V = U^(-1) = (-45, -31)/(16, 11) よって (1, 0, 1)V = (2281, 3142, 1082)
>>758 より x = -45, y = 16 が 2281 = x^2 + y^2 の解である。 実際、45^2 + 16^2 = 2025 + 256 = 2281
974 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/16(金) 22:01:40 ]
岩波数学辞典によると p = 9689 は素数で 2^p - 1 は素数である。 2^p - 1 は Mersenne数である。
さらに p ≡ 1 (mod 8) である。
p = x^2 + y^2 を >>972 と同様に解いてみるのも面白いかもしれない。 誰か解いてくれないか？
ただし、結果だけでなく >>972, >>973 と同様に x^2 ≡ -1 (mod p) の解と２次形式 (a, b, c) および (a, b, c) の簡約過程。 (1, 0, 1)V = (a, b, c) となる V ∈ SL_2(Z) も求めて欲しい。
975 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/17(土) 03:31:02 ]
>>974
今の場合、2^p - 1 が Mersenne数であるということに特に意味があるわけではない。 適当な大きさの素数が欲しかっただけである。
976 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/17(土) 06:48:22 ]
今度は p を奇素数としたとき p = x^2 + 2y^2 を解くことを 考えてみよう。
２次形式 (1, 0, 2) = x^2 + 2y^2 の判別式 D は -8 である。 判別式が -8 の簡約２次形式は、>>757 と同様にして (1, 0, 2) のみであることが分かる。
よって >>758 と同様にして p = x^2 + 2y^2 に解があるためには、 x^2 ≡ -8 (mod 4p) に解があることが必要十分である。
x^2 ≡ 0 (mod 4) だから x は偶数である。 x = 2y とすると y^2 ≡ -2 (mod p) である。
よって上記の条件は (-2/p) = 1 と同値である。 (-2/p) = (-1/p)(2/p) = 1 だから これは (2/p) = (-1/p) = 1 または (2/p) = (-1/p) = -1 と同値である。
平方剰余の第一補充法則(>>163)と第２補充法則(>>53)より、 これは p ≡ 1 (mod 8) または p ≡ 3 (mod 8) と同値である。
977 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/17(土) 06:49:40 ]
x^2 ≡ -8 (mod 4p) の解 l に対して l^2 + 8 = 4pk とする。 p は奇素数だから l とは互いに素である。 よって２次形式 (p, l, k) は正定値かつ原始的で判別式は -8 である。 これは (1, 0, 2) と同値である。
よって (1, 0, 2)σ = (p, l, k) となる σ ∈ SL_2(Z) がある。 σ = (u, q)/(r, s) とする。
>>749 より (1, 0, 2)ε = (1, 0, 2) となる ε ∈ SL_2(Z) は
{±1} である。
よって (1, 0, 2) を (p, l, k) に移す SL_2(Z) の元は σ = (u, q)/(r, s) と -σ = (-u, -q)/(-r, -s) の２個である。
よって (u, r) と (-u, -r) が l に対応する p = x^2 + 2y^2 の 解である。
x^2 ≡ -4 (mod 4p) の別の解 -l には ２次形式 (p, -l, k) が対応する。
R = (1, 0)/(0, -1) とすると (1, 0, 1)RσR = (p, l, k)R = (p, -l, k) U = RσR とおく。 U ∈ SL_2(Z) で U = (u, -q)/(-r, s) である。
よって (u, -r) と (-u, r) が -l に対応する p = x^2 + 2y^2 の 解である。
978 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/17(土) 07:19:23 ]
>>976 と >>977 から次の命題が得られる。
命題(Fermat-Euler) p を奇素数とする。 p = x^2 + 2y^2 が有理整数解を持つためには p ≡ 1 (mod 8) または p ≡ 3 (mod 8) が必要十分である。 さらに、このとき解は順序と符号を除いて一つである。
979 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/17(土) 19:54:29 ]
>>974 を解いてみる。
p = 9689 p - 1 = 8*1211
(3/p) = (p/3) = (2/3) = -1 だから z = 3^1211 ≡ 6682 (mod p) とすると、z^8 = 1 である。 よって (z^2)^2 = -1 である。 z^2 = 2212 (mod p) だから 2212^2 ≡ -1 (mod p)
2*2212 = 4424 だから 4424^2 ≡ -4 (mod 4*9689) である。
4424^2 + 4 = 4*9689*505 だから ２次形式 (9689, 4424, 505) の判別式は -4
>>335 より (9689, 4424, 505) T = (505, -4424, 9689) (505, -4424, 9689) S^4 = (505, -384, 73) (505, -384, 73) T = (73, 384, 505)
このあとは読者の誰かに任そう。 誰か？
ただし、続きは上の結果が正しいかどうか確かめてからにしてください。 計算ミスがあるかもしれないので。
980 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/17(土) 20:44:05 ]
訂正 >>978 >さらに、このとき解は順序と符号を除いて一つである。
さらに、このとき解は符号を除いて一つである。
981 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 01:59:09 ]
p を素数としたとき p = x^2 + 3y^2 を解くことを考えてみよう。 ２次形式 (1, 0, 3) = x^2 + 3y^2 の判別式 D は -12 である。
>>408 より判別式 -4 の (a, b, c) が簡約２次形式であるためには gcd(a, b, c) = 1 かつ、 |b| ≦ a ≦ c であり、 |b| = a または a = c のときは b ≧ 0 となることが必要十分である。
>>341 と同様にして a ≦ √(|D|/3) である。 a ≦ √(|D|/3) = 2 4ac = b^2 + |D| = b^2 + 12 よって b^2 ≡ 0 (mod 4) よって b は偶数である。
0^2 + 12 = 4・3 2^2 + 12 = 16 = 4・4
a = 1 のとき (1, 0, 3) a = 2 のとき (2, 2, 2) は原始的でない。 よって判別式が -12 の簡約２次形式は、(1, 0, 3) のみである。
p ≠ 2, 3 として合同方程式 x^2 ≡ -12 (mod 4p) を考える。 x^2 ≡ 0 (mod 4) だから x は偶数である。 x = 2y とおくと y^2 ≡ -3 (mod p)
これは (-3/p) = (-1/p)(3/p) = 1 のときのみ解がある。 p ≡ 1 (mod 4) なら (-1/p) = 1, (3/p) = (p/3) p ≡ 3 (mod 4) なら (-1/p) = -1, (3/p) = -(p/3) いずれにしても (-1/p)(3/p) = (p/3) である。 よって (-3/p) = 1 は p ≡ 1 (mod 3) と同値である。
982 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 02:08:41 ]
p ≡ 1 (mod 3) のとき x^2 ≡ -12 (mod 4p) の解 l に対して l^2 + 12 = 4pk とする。 p は奇素数だから l とは互いに素である。 よって２次形式 (p, l, k) は正定値かつ原始的で判別式は -12 である。 これは (1, 0, 3) と同値である。
よって (1, 0, 3)σ = (p, l, k) となる σ ∈ SL_2(Z) がある。 σ = (u, q)/(r, s) とする。
>>749 より (1, 0, 3)ε = (1, 0, 3) となる ε ∈ SL_2(Z) は
{±1} である。
よって (1, 0, 3) を (p, l, k) に移す SL_2(Z) の元は σ = (u, q)/(r, s) と -σ = (-u, -q)/(-r, -s) の２個である。 よって (u, r) と (-u, -r) が l に対応する p = x^2 + 3y^2 の 解である。
x^2 ≡ -12 (mod 4p) の別の解 -l には ２次形式 (p, -l, k) が対応する。
R = (1, 0)/(0, -1) とすると (1, 0, 3)RσR = (p, l, k)R = (p, -l, k) U = RσR とおく。 U ∈ SL_2(Z) で U = (u, -q)/(-r, s) である。
よって (u, -r) と (-u, r) が -l に対応する p = x^2 + 3y^2 の 解である。
983 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 02:14:29 ]
>>981 と >>982 から次の命題が得られる。
命題(Fermat-Euler) p を 3 以外の奇素数とする。 p = x^2 + 3y^2 が有理整数解を持つためには p ≡ 1 (mod 3) が必要十分である。 さらに、このとき解は符号を除いて一つである。
984 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 02:33:12 ]
>>978 の命題は Fermat に知られていたが初めて証明したのは Euler らしい。らしいというのは Gauss が Disquisitiones の art. 182 に Lagrange が最初に証明したと書いているからである。 しかもはっきりと Euler は証明に成功しなかったと書いている。 しかし、Weil は「数論」で Euler が証明したと書いている。
985 名前：１３２人目の素数さん [2007/03/18(日) 02:45:40 ]
Kummer ◆g2BU0D6YN2 かっこいい
986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/18(日) 02:48:40 ]
@
987 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 11:36:15 ]
今度は p を素数としたとき p = x^2 + 5y^2 を解くことを考えてみよう。 この問題は >>161 でも考えたし解決済み(>>363)である。 しかし、２次形式論の応用として証明をする。
２次形式 (1, 0, 5) = x^2 + 5y^2 の判別式 D は -20 である。 >>408 より判別式 -20 の (a, b, c) が簡約２次形式であるためには gcd(a, b, c) = 1 かつ、 |b| ≦ a ≦ c であり、 |b| = a または a = c のときは b ≧ 0 となることが必要十分である。
>>341 と同様にして a ≦ √(|D|/3) である。 よって a ≦ 2
4ac = b^2 + |D| = b^2 + 20 よって b^2 ≡ 0 (mod 4) よって b は偶数である。
0^2 + 20 = 4・5 2^2 + 20 = 4・2・3
a = 1 のとき (a, b, c) = (1, 0, 5) a = 2 のとき (a, b, c) = (2, 2, 3)
よって判別式が -20 の簡約２次形式は、(1, 0, 5) と (2, 2, 3) である。
988 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 13:22:45 ]
p ≠ 2, 5 として合同方程式 x^2 ≡ -20 (mod 4p) を考える。 x^2 ≡ 0 (mod 4) だから x は偶数である。 x = 2y とおくと y^2 ≡ -5 (mod p)
x^2 ≡ -20 (mod 4p) が解けるためには (-5/p) = 1 が 必要十分である。
(-5/p) = (-1/p)(5/p)
平方剰余の相互律から (5/p) = (p/5) である。 よって p ≡ 1, 4 (mod 5) のとき (5/p) = 1 p ≡ 2, 3 (mod 5) のとき (5/p) = -1
一方、p ≡ 1 (mod 4) のとき (-1/p) = 1 p ≡ 3 (mod 4) のとき (-1/p) = -1
よって (-5/p) = 1 は
p ≡ 1, 4 (mod 5) かつ p ≡ 1 (mod 4) つまり、p ≡ 1, 9 (mod 20) または p ≡ 2, 3 (mod 5) かつ p ≡ 3 (mod 4) つまり、p ≡ 3, 7 (mod 20) と同値である。
989 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 13:45:35 ]
p ≠ 2, 5 として p = x^2 + 5y^2 となる有理整数 (x, y) が あったとする。 p ≡ x^2 (mod 5) だから (p/5) = 1
p ≠ 2, 5 として p = 2x^2 + 2xy + 3y^2 となる有理整数 (x, y) が あったとする。
2p = 4x^2 + 4xy + 6y^2 = (2x + y)^2 + 5y^2 2p ≡ (2x + y)^2 (mod 5)
よって (2p/5) = (2/5)(p/5) = -(p/5) = 1 よって (p/5) = -1
990 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 15:39:57 ]
p ≡ 1, 2, 3, 9 (mod 20) なら >>988 より x^2 ≡ -20 (mod 4p) に 解がある。 x^2 ≡ -20 (mod 4p) の解 l に対して l^2 + 20 = 4pk とする。 p は奇素数だから l とは互いに素である。 よって２次形式 (p, l, k) は正定値かつ原始的で判別式は -20 である。 よって >>987 より (p, l, k) は (1, 0, 5) または (2, 2, 3) に 同値である。
>>733 より (p, l, k) が (1, 0, 5) に同値なら p = x^2 + 5y^2 となる 有理整数 (x, y) がある。
このとき >>989 より (p/5) = 1 である。 p ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20) であったから p ≡ 1, 9 (mod 20) である。
逆に p ≡ 1, 9 (mod 20) なら (p/5) = 1 だから >>989 より (p, l, k) は (2, 2, 3) に同値ではない。 よって (p, l, k) は (1, 0, 5) に同値である。
以上から p = x^2 + 5y^2 となる有理整数 (x, y) があるためには p ≡ 1, 9 (mod 20) が必要十分である。
>>977 と同様に、この場合、解は符号を除いて一個である。
同様に p = 2x^2 + 2xy + 3y^2 となる有理整数 (x, y) があるためには p ≡ 3, 7 (mod 20) が必要十分である。
この場合も、解は符号を除いて一個である。
991 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 16:05:30 ]
p ≠ 2, 5 として 2p = x^2 + 5y^2 を考える。 gcd(x, y) = d なら 2p が d^2 で割れるから d = 1 である。
よって解があるなら合同方程式 x^2 ≡ -20 (mod 8p) に解がある。 x^2 ≡ 0 (mod 4) だから x は偶数である。 x = 2y とおくと y^2 ≡ -5 (mod 2p) である。 これは連立合同方程式 y^2 ≡ -5 (mod 2) y^2 ≡ -5 (mod p) と同値である
y^2 ≡ -5 (mod 2) は常に解 y ≡ 1 (mod 2) をもつから、 x^2 ≡ -20 (mod 8p) に解があるなら (-5/p) = 1 である。 よって >>988 より p ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20) である。
一方、2p = x^2 + 5y^2 なら x^2 ≡ 2p (mod 5) よって (2p/5) = 1 (2p/5) = (2/5)(p/5) = -(p/5) よって (p/5) = -1 となる。 よって p ≡ 3, 7 (mod 20) である。
よって >>990 と同様に 2p = x^2 + 5y^2 となる有理整数 (x, y) があるためには p ≡ 3, 7 (mod 20) が必要十分である。
992 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 16:14:17 ]
>>990 と >>991 をまとめると次の命題が得られる。
命題(Fermat-Euler-Lagrange) p ≠ 2, 5 を素数とする。
(1) p = x^2 + 5y^2 となる有理整数 (x, y) があるためには p ≡ 1, 9 (mod 20) が必要十分である。
(2) p = 2x^2 + 2xy + 3y^2 となる有理整数 (x, y) があるためには p ≡ 3, 7 (mod 20) が必要十分である。
(3) 2p = x^2 + 5y^2 となる有理整数 (x, y) があるためには p ≡ 3, 7 (mod 20) が必要十分である。
上記のいずれの場合も解は符号を除いて一意である。
