最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時28分21秒
代数的整数論 II(501-600)
元スレ： http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/501-600
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/501-600
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/501-600
501 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 17:00:20
命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら M は非退化(>>431)である。
証明 M は可逆だから、B の A-加群としての部分加群 N があり、 MN = A となる。B ⊃ NB だから MB ⊃ MNB = AB = B 他方、MB ⊂ B だから MB = B となる。 証明終
502 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 17:01:50
写経のはじまりはじまり！！ 間違えたらちゃんと揚げ足とってよ！！
503 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 17:18:10
命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら 定義より MN = A となる B の部分加群 N があるが、 このとき N = A:M となる。
証明 MN = A だから、N ⊂ A:M である。 よって、A = NM ⊂ (A:M)M ⊂ A よって、(A:M)M = A この両辺に N を掛けて、(A:M)MN = N よって、(A:M)A = N 即ち、A:M = N 証明終
504 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 17:31:48
命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら M はA-加群として有限生成である。
証明 定義より MN = A となる B の部分加群 N がある。 よって、1 = Σ(x_i)(y_i) となる x_i ∈ M, y_i ∈ N がある。 よって、x ∈ M に対して x = Σ(x_i)(y_i)x となる。 (y_i)x ∈ A だから、M は、有限個の元 x_1, x_2, ... で生成される。 証明終
505 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/15(木) 17:44:14
命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら M はA-加群として射影的である。
証明 定義より MN = A となる B の部分加群 N がある。 よって、1 = Σ(x_i)(y_i) となる x_i ∈ M, y_i ∈ N がある。 f_i ∈ Hom(M, A) を f_i(x) = (y_i)x で定義する。 x ∈ M に対して x = Σ(x_i)(y_i)x = Σf_i(x)x_i となる。 よって、>>429 より M は射影的である。 証明終
506 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 17:46:15
デデキント環まだーーー？
507 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 18:04:58
そうあわてるな。あわてる何とかはと言うだろ。 出来るだけ一般化して論ずるのは、いろいろ利点があるのだよ。 まず証明が自然になって、小手先のテクニックが不要になる。
508 ：１３２人目の素数さん：2005/12/15(木) 19:42:48
あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ
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509 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 10:28:16
命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら M は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。
証明 >>505 より M は射影加群である。 しかも、>>504 より有限生成である。 よって、p を A の素イデアルとすると、>>208 より M_p は A_p-加群として有限階数 r の自由加群である。 S を A の非零因子全体の集合とする。 φ: A → A_p を標準射とする。 (M_p)_φ(S) は (A_p)_φ(S) 上の階数 r の自由加群である。 (A_p)_φ(S) = (A_S)_p = B_p (M_p)_φ(S) = (M_S)_p となる。 M は可逆だから非退化(>>431)である。 よって >>440 より M_S = B である。 よって (M_S)_p = B_p となる。 よって r = 1 である。 証明終
510 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 10:30:17
たけちゃんのウェッブ・ページだよ♪ｗｗｗ http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/%7Et-saito/
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511 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 10:47:54
命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が非退化(>>431)で射影的なら M は可逆(>>430)である。
証明 M は射影的だから、>>426 より、Hom(M, A) の元の族 (f_i), i ∈ I と、M の元の族 (x_i), i ∈ I が存在し、 M の任意の元 x に対して x = Σf_i(x)x_i となる。 M は非退化だから、>>444 より各 i に対して y_i ∈ B があり M の任意の元 x に対して f_i(x) = (y_i)x となる。
>>434 より M ∩ S は空でない。s ∈ M ∩ S をとる。 s は非零因子だから s = Σ(x_i)(y_i)s より、 Σ(x_i)(y_i) = 1 となる。 (y_i) で生成される B の A-部分加群を N とすれば、MN = A となる。 よって M は可逆である。 証明終
512 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 10:48:52
・教授のコネがもうないから、俺達就職できない じゃん ・何でたけちゃんは研究しても就職できないって 言わなかったんだよ ・大学院なんて役に立つこと何も教えないじゃん ・企業への就職を世話するのも大学の義務だろが ・数学なんて税金泥棒、研究する価値なし！！！
513 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 11:07:27
命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 M, N を B の A-加群としての部分加群とする。 M が可逆(>>430)なら、標準射 M(x)N → MN は同型である。
証明 >>509 より M は射影的だから >>188 より平坦である。 よって、完全列 0 → N → B より完全列 0 → M(x)N → M(x)B が得られる。
一方、M(x)B = M_S である。ここで、S は A の非零因子全体の 集合である。 M は可逆だから >>501 より非退化(>>431)である。 よって、>>440 より M_S = B である。 よって、完全列 0 → M(x)N → B が得られる。 M(x)N の像は MN であるから M(x)N → MN は同型である。 証明終
514 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 13:29:22
>>294 >優拳固にする必要はなかろう
優拳固＝有限個のつもりかよ。 今、気がついた。荒しだと思ったぞ。 なんでちゃんと書かないんだ？ それもしつこく何回も。 確かに有限個の単純部分加群の直和でなくてもいい。 そんなことは初めからわかってる。 だけど、このスレでは必要ないから書かなかった。 それが何か？
515 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 13:57:15
命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 で可逆(>>430)なもの全体は 部分加群の積によりアーベル群となる。
証明 明らか。
516 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 14:03:01
＞今、気がついた。荒しだと思ったぞ。
いちいち反応するな。
>そんなことは初めからわかってる。 >だけど、このスレでは必要ないから書かなかった。
はじめからそう書けアホ
517 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 14:38:56
>いちいち反応するな。
アホ
>はじめからそう書けアホ
ドアホ
518 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 16:03:41
やめれ馬鹿
519 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 16:49:35
>やめれ馬鹿
ガキはすっこんどれ
520 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 16:52:42
定義 A を環とし、M を A 上の階数１(>>253)の射影加群とする。 M の同型類を cl(M) と表す。cl(M) は Pic(A)(>>360) の元である。
521 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 17:02:20
定義 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 >>515 より B の A-加群としての部分加群 で可逆(>>430)なもの 全体は、部分加群の積によりアーベル群となる。 このアーベル群を、A の可逆分数イデアル群と呼び、I(A) と書く。
522 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 17:07:00
命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 M を B の A-加群としての部分加群で可逆(>>430)とする。 >>509 より M は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。 よって、M の同型類 cl(M) は Pic(A) の元である。 M に cl(M) を対応させることにより、I(A)(>>521) から Pic(A) への アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) が得られる。
証明 Pic(A) の定義(>>360) と >>513 より明らか。
523 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 17:13:29
いい加減にやめれ馬鹿
524 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 17:13:39
定義 A を環とする。A の可逆元全体は乗法によりアーベル群となる。 この群を U(A) または A^* と書く。
525 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 17:20:03
定義 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 x ∈ B のとき、Ax が可逆となるためには、x が可逆、 即ち x ∈ U(B)(>>524) が必要十分である。
証明 B の A-加群としての部分加群 N で (Ax)N = A となるものがある。 (Ax)N = xN だから、y ∈ N で xy = 1 となるものがある。 よって、x は可逆である。 証明終
526 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 17:22:14
かかってこい弱虫ども！！
527 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 17:23:42
>>525
x ∈ U(B) なら Ax が可逆なことも明らか。
528 ：9208 ◆6WlJFCskKc ：2005/12/16(金) 17:28:52
だらだらしすぎ。
529 ：9208 ◆0qS9/fAJ8E ：2005/12/16(金) 17:31:26
とろくせー。
530 ：１３２人目の素数さん：2005/12/16(金) 17:33:22
かかってこんかい！！
531 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 17:42:35
命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 >>522 より、アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) がある。 他方、>>525 より、アーベル群としての射 φ: U(B) → I(A) を φ(x) = Ax で定義出来る。 このとき、Ker(cl) = Im(φ) となる。
証明 M ∈ Ker(cl) とする。 cl(M) = cl(A)、つまり、M は A-加群として A と同型である。 これから、M = Ax, x ∈ U(B) となる。 よって、Ker(cl) ⊂ Im(φ) である。 逆の包含関係は明らか。 証明終
532 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/16(金) 18:12:15
命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 自然な単射 A → B によりアーベル群としての射 ψ: Pic(A) → Pic(B) が誘導される(>>276)。 他方、>>522 より、アーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) がある。 このとき、Ker(ψ) = Im(cl) となる。
証明 M を A 上の階数１の射影加群とし、ψ(cl(M)) = 0 とする。 これは M(x)B が B と同型になることを意味する。 M は平坦だから 単射 A → B より単射 M → M(x)B が得られる。 よって、M は B の部分加群とみなせる。M(x)B = B だから M は非退化である。よって、>>511 より M は可逆である。 よって、cl(M) ∈ Im(cl) である。 よって、Ker(ψ) ⊂ Im(cl) である。
逆に M ∈ I(A) なら、>>501 より M は非退化である。 よって、 >>440 より M(x)B = M_S = B となる。 よって、Im(cl) ⊂ Ker(ψ) である。 証明終
533 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/17(土) 12:33:26
talk:>>381 お前に何が分かるというのか？ talk:>>432 二日ぶりだな。 talk:>>477 そんなひまがあったら人の脳を読む能力を悪用する奴を殺せ。
534 ：１３２人目の素数さん：2005/12/17(土) 13:06:29
【建部 】斎藤毅先生【Invent】 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134743220/
535 ：9280 ◆owS58xj2hQ ：2005/12/17(土) 13:07:42
命題 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すのが先だ。
証明 そんなことよりキングの脳を止めるのが先だ。 証明終
536 ：１３２人目の素数さん：2005/12/17(土) 13:12:20
僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる
僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる
僕はポスドクで、アナレン級隔年の下層崩れになる
537 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/17(土) 21:21:06
talk:>>535 お前に何が分かるというのか？
538 ：１３２人目の素数さん：2005/12/17(土) 22:15:27
下層崩れ＝アナレン級隔年の駒場のＣＯＥ 中堅崩れ＝アナレン級１本／年の学振ＰＤ 上層崩れ＝建部、Ｉｎｖｅｎｔ．崩れかけ
539 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 10:11:52
定義 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 >>525 より、アーベル群としての射 φ: U(B) → I(A) を φ(x) = Ax で定義出来る。 Im(φ) を A の単項分数イデアル群と呼び、P(A) と書く。
540 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 10:29:46
命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 以下の完全列がある。
0 → U(A) → U(B) → I(A) → Pic(A) → Pic(B)
証明 >>531, >>532 より U(B) → I(A) → Pic(A) → Pic(B) は完全である。
0 → U(A) → U(B) → I(A) が完全なのは明らかだろう。 証明終
541 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 10:31:55
命題 A をネーター環とする。 >>522 で定義したアーベル群としての射 cl: I(A) → Pic(A) は 同型 I(A)/P(A) = Pic(A) を誘導する。 ここで、P(A) は A の単項分数イデアル群(>>539) である。
証明 A の全商環を B とすると、>>363 より B は半局所環である。 よって、>>361 より Pic(B) = 0 である。 よって、>>540 より、同型 I(A)/P(A) = Pic(A) が得られる。 証明終
542 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 11:37:11
環 A の可逆分数イデアル群(>>521) I(A) は、アフィンスキームとしての Spec(A) の Cartier因子群と同一視される。 だから Pic(A) にしろ I(A) にしろ幾何的に解釈したほうがいい。 しかし、残念なことに、ここでスキーム論の初歩を展開するわけには行かない。 やってもいいけど、本筋から離れすぎる。
因みに日本語で書かれたスキーム論の入門書としては 上野の代数幾何(岩波) がある。
俺としては EGA I を勧めたいとこだけどね。 EGA がフランス語で書かれていることが残念だね。 EGA I の改定版は英語だけど絶版だろう。 オリジナルならネットからダウンロード出来る。
543 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 11:40:17
>EGA I の改定版は英語だけど絶版だろう。
英語だよね？ 違ったかな。
544 ：１３２人目の素数さん：2005/12/19(月) 14:20:54
>>543 違います。フランス語です。
Grothendieck et Dieudonne, Elements de geometrie algebrique 1, Springer-Verlag, 1971 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd.166)
545 ：１３２人目の素数さん：2005/12/19(月) 15:00:40
350 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/19(月) 10:00:45 >上野 代数幾何 岩波
これは、ちょっと極端に言うとお話だね。 ちゃんとした証明は、別の本にあたる必要がある。 例えば、部分スキームのところとか。 351 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/19(月) 12:54:44 てかあの本ってほとんどハーツホーンのぱくりにしか思えないんだけど
546 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 15:42:50
環 A の可逆分数イデアル群 I(A) の２元 I, J に対して、 I ⊂ J のとき I ≧ J と定義することにより I(A) に順序が入る。
容易にわかるように、I ≧ J のとき、任意の K ∈ I(A) に対して、 IK ≧ JK となる。 よって、I(A) は順序アーベル群となる。
547 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 16:05:46
命題 環 A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、 A の非零因子 s があり、sM ⊂ A となる。
証明 >>504 より M は有限生成である。 これより明らか。
548 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 16:13:35
命題 環 A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、 I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、 M = I/J と表現される。
証明 >>547 より、A の非零因子 s があり、sM ⊂ A となる。 I = sM, J = As とおけばよい。 証明終
549 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 16:29:10
命題 A を単項イデアル整域(前スレの644)とする。 Pic(A) = 0 である。
証明 前スレの650より、A 上の有限生成射影加群は自由である。 証明終
550 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 17:35:06
補題
A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。
m を A の(ただ１つの)極大イデアルとする。
A:m ≠ A となる。
ここで、A:m = {x ∈ K; xm ⊂ A} で(>>441)、K は A の商体。
証明
a を m の非零元とする。
dim(A) = 1 だから、Supp(A/aA) = {m} となる。
Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(前スレの99)、
Ass(A/aA) = {m} となる。
よって、b ∈ A で b ≠ 0 (mod aA),
mb ⊂ aA となるものがある。
m(b/a) ⊂ A だから b/a ∈ A:m となる。
b ≠ 0 (mod aA) だから b/a は A に含まれない。
証明終
551 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/19(月) 18:32:49
補題 A を整域、I を有限生成イデアルで I ≠ 0 とする。 x を A の商体の元で xI ⊂ I とする。 このとき x は A 上整である。
証明 ω_1, ... , ω_n を I の生成元とする。 xI ⊂ I だから、 xω_i = Σa_(i,j)ω_j となる。 ここで、各 a(i,j) は A の元。 行列 (a_(i,j)) を T とおく。 I ≠ 0 だから、det(xE - T) = 0 となる。 E は n 次の単位行列。 この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。 証明終
552 ：１３２人目の素数さん：2005/12/20(火) 09:44:04
>てかあの本ってほとんどハーツホーンのぱくりにしか思えないんだけど
Hartshorneだって(全部とは言わないが)EGAのぱくりだろ (Serreの双対定理の証明はEGAにないがそれもGrotehndieckの仕事)。 Mumfordのもいくらかぱくってるし。 そのMumfordだって(全部とは言わないが)EGAのぱくりだし。 それにMumfordとかHartshorneの本の証明だって結構いい加減。 結局、スキーム論の基礎に関してはGrothendieckがオリジナルだし 基礎部分はペンペン草もはえないくらいに徹底してやってるから(Bourbaki仕込み)、 他の人がオリジナルな入門書を書くのは無理。
553 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 10:49:23
補題 A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。 A が整閉(前スレの578)なら A の 極大イデアルは単項イデアルである。
証明 m を A の(ただ１つの)極大イデアルとする。 a を m の非零元とする。 m ⊂ m(A:m) ⊂ A だから、m(A:m) = m または m(A:m) = A である。 m(A:m) = m とすると、>>551 より A:m の元は A 上整である。 A は整閉だから、A:m = A である。 一方、>>550 より A:m ≠ A だから、これは有り得ない。 よって、m(A:m) = A である。つまり m は可逆イデアルである。 >>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として A に同型。よって m は単項である。 証明終
554 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 10:54:10
補題 A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。 m を A の極大イデアルとする。 ∩m^n = 0 となる。ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
証明 Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より明らかだが、 直接証明をしよう。
I = ∩m^n おく。 I ≠ 0 なら、dim(A/I) = 0 つまり A は Artin 環 である。よって m^n ⊂ I となる整数 n > 0 がある。 I の定義より I ⊂ m^n だから I = m^n である。 I ⊂ m^(n+1) だから m^n = m^(n+1) となる。 よって 中山の補題(前スレの242)より m^n = 0 である。 よって I = 0 となって矛盾。 証明終
555 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 10:57:55
定理 A を Krull次元(前スレの379)が１のネーター局所整域 とする。 A が整閉(前スレの578)なら A は離散付値環(前スレの645)である。
証明 m を A の極大イデアルとする。 I を A のイデアルで I ≠ 0 かつ I ≠ A とする。 >>554 より ∩m^n = 0 だから I ⊂ m^n だが I ⊂ m^(n+1) とは ならない整数 n > 0 がある。 >>553 より m は単項だから可逆である。 よって、I ⊂ m^n より Im^(-n) ⊂ A となる。 Im^(-n) ≠ A とすると Im^(-n) ⊂ m となって、 I ⊂ m^(n+1) となり仮定に反する。 よって Im^(-n) = A すなわち I = m^n となる。 >>553 より m は単項だから I も単項である。 証明終
556 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 11:00:11
>>555 >>>553 より m は単項だから可逆である。
>>>553 の証明より m は可逆である。
557 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 11:17:35
>>555 の定理が Dedekind整域の特徴付けのキーポイント。
>>555 は結局 >>550の補題と局所環のPicard群が自明という 命題(>>361)に基づいている。
558 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 11:40:29
>>550の補題の証明は簡単そうに見えるけど、随伴素イデアルの理論に 基づいている。
Dedekind整域の特徴付けをもっと手っ取り早くやる方法もある。 例えば van der Wearden。 しかし、その場合は小手先のテクニックというと言いすぎだけど やや強引な証明になる。
ただ、van der Weardenの証明も我々の証明も本質的には あまり変わらない。
559 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/20(火) 11:42:18
>van der Wearden
van der Waerden
560 ：9280 ◆owS58xj2hQ ：2005/12/20(火) 14:38:24
また king か
561 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/20(火) 19:33:35
talk:>>560 ?
562 ：9280 ◆owS58xj2hQ ：2005/12/20(火) 20:19:11
>>561 お前誰だよ。
563 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/20(火) 20:21:25
talk:>>562 I'm the King of kings.
564 ：１３２人目の素数さん：2005/12/20(火) 20:24:33
>>563 訳）俺はオナニーキングだ！
565 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/21(水) 10:50:07
talk:>>564 お前もな？
566 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/21(水) 11:19:59
補題 A をネーター局所整域 とする。 A の 極大イデアル m が単項なら ∩m^n = 0 となる。 ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
証明 Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より明らかだが、 直接証明をする。
m = 0 なら、この補題は明らかである。 よって m ≠ 0 とする。 m = At, t ∈ A とする。m ≠ 0 だから t ≠ 0 である。 I = ∩m^n とおく。ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。 x ∈ I とする。各整数 n > 0 に対して x ∈ m^n だから、 x = (t^n)y_n となる y_n ∈ A がある。 (t^n)y_n = (t^(n+1))y_(n+1) だから y_n = ty_(n+1) よって Ay_n ⊂ Ay_(n+1) である。 A はネーターだから、十分大きい n に対して Ay_n = Ay_(n+1) となる。よって y_(n+1) = (y_n)u となる u ∈ A がある。 y_n = ty_(n+1) より y_n = tu(y_n) よって (1 - tu)y_n = 0 となる。 1 - tu ∈ A - m だから 1 - tu は可逆元である。 よって y_n = 0 となり x = (t^n)y_n = 0 である。 従って、I = 0 となる。 証明終
567 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/21(水) 11:36:58
命題 A を体でないネーター局所整域 とする。 A の 極大イデアル m が単項なら A は離散付値環である。
証明 A は体でないから m ≠ 0 である。 よって、m = At とすれば t ≠ 0 である。
>>566 より ∩m^n = 0 である。 ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。
x ∈ m で x ≠ 0とすると、x ∈ m^n だが x ∈ m^(n+1) とはならない n > 0 がある。 x = (t^n)u, u ∈ A とすれば u ∈ A - m だから u は可逆元である。 よって、A は離散付値環である(詳細は読者に任す)。 証明終
568 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/21(水) 12:08:24
>>567 の仮定は弱めることが出来る。
命題 A をネーター局所環 とする。 A の 極大イデアル m がベキ零でない元で生成される単項イデアルなら A は離散付値環である。
証明 Krullの共通イデアル定理(前スレの252) より∩m^n = 0 である。 ここで n はすべての整数 n > 0 を動く。 仮定より m = At となる。ここで、t はベキ零でない。
x ∈ m で x ≠ 0とすると、>>567 と同様にして x = (t^n)u となる n > 0 と可逆元 u がある。 同様に y ∈ m で y ≠ 0とすると、y = (t^k)v となる k > 0 と可逆元 v がある。 xy = (t^(n+k))uv = 0 とすると、uv は可逆だから t^(n+k) = 0 となって、t がベキ零でないことに矛盾。 よって xy ≠ 0 である。 x または y が m に含まれない場合は、xy ≠ 0 は明らか。 したがって、A は整域である。 後は、>>567 と同じ。 証明終
569 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/21(水) 15:35:29
補題 A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。 A/m = k とおく。m/m^2 は k 上のベクトル空間と考えられる。 dim(m/m^2) = n は有限であり、n は m の生成元の個数の最小である。
証明 m は有限生成であるから dim(m/m^2) は有限である。 dim(m/m^2) = n とする。 x_1, ..., x_n を m の元で x_1 (mod m), ... , x_n (mod m) が m/m^2 の k 上の基底となるようなものとする。 x_1, ..., x_n で生成されるイデアルを I とする。 m = I + m^2 である。N = m/I とおけば、mN = N である。 よって中山の補題(前スレの242)より、N = 0 である。 よって、m = I となる。つまり、m は n 個の元で生成される。
m が r 個の元で生成されれば、dim(m/m^2) ≦ r となる。 よって、n は m の生成元の個数の最小である。 証明終
570 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 15:08:57
命題 A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。 dim(A) ≦ dim(m/m^2) となる。
証明 >>569 と Krullの次元定理(前スレの455)より明らか。
571 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 15:12:25
定義 A をネーター局所環、m をその極大イデアルとする。 dim(A) = dim(m/m^2) となるとき、A を正則局所環と呼ぶ。
572 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 15:31:35
命題 Krull次元１の正則局所環は離散付値環である。
証明 A をKrull次元１の正則局所環、m をその極大イデアルとする。 定義より dim(m/m^2) = 1 である。 よって、>>569 より m は一個の元 t で生成される。 t がベキ零とすると m もベキ零となる。m^r = 0 とする。 p を A の任意の素イデアルとすると m^r ⊂ p だから m = p となる。よって dim(A) = 0 となり dim(A) = 1 に反する。 よって t はベキ零でない。 >>568 よりA は離散付値環である。 証明終
573 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 15:36:12
命題 離散付値環はKrull次元１の正則局所環である。
証明 明らかだろう。
574 ：１３２人目の素数さん：2005/12/22(木) 15:45:03
命題 king 氏ね。
証明 明らかだろう。
575 ：１３２人目の素数さん：2005/12/22(木) 16:23:19
命題 kingはKrull次元１の正則局所環である。
証明 明らかではない。
576 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/22(木) 17:57:18
talk:>>574 お前に何が分かるというのか？ talk:>>575 私を呼んだか？
577 ：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ ：2005/12/22(木) 17:58:32
>>574 「king 氏ね」は公理だ。
578 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/12/22(木) 18:09:50
talk:>>577 お前に何が分かるというのか？
579 ：GiantLeaves ◆Ox1b3ANLCs ：2005/12/22(木) 18:10:52
talk:>>576>>577 人の名前を語って数学板を荒らしてるのはお前らか
580 ：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ ：2005/12/22(木) 18:16:58
>>579 誰の名前だよ？
581 ：１３２人目の素数さん：2005/12/22(木) 19:00:32
定義 A をking局所環、m をその極大イデアルとする。 yojo(A) = sex(m/m^2) となるとき、A を包茎局所環と呼ぶ。
582 ：１３２人目の素数さん：2005/12/22(木) 19:06:49
命題 A を包茎局所環とする。 このとき、アーベル群としての射 I(A) → Cli(A) は 同型 I(A)/Pi(A) = Cli(A) を誘導する。 ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。
証明 明らかである。
583 ：１３２人目の素数さん：2005/12/22(木) 19:55:32
なんで インポ／ピピ＝クリ になるの？
584 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 21:33:53
命題 A を整閉整域とし、S を A の積閉部分集合とする。 A_S は整閉である。
証明 K を A の商体とし、x ∈ K が A_S 上整とする。
x^n + (a_1/s)x^(n-1) + ... + (a_(n-1)/s)x + a_n/s = 0 ととしてよい。ここで、各 a_i ∈ A で, s ∈ S
この等式の両辺に s^n を掛けて、
(sx)^n + a_1(sx)^(n-1) + ... + a_(n-1)s^(n-2)(sx) + (a_n)s^(n-1) = 0
となる。よって、sx は A 上整である。 A は整閉だから、sx ∈ A となる。 つまり、x ∈ A_S となる。よって A_S は整閉である。 証明終
585 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 21:40:55
命題 A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１(前スレの379)の 素イデアルとする。このとき A_p は離散付値環である。
証明 >>584 と >>555 より。
586 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 21:57:15
>>553 >a を m の非零元とする。
この行は削除。
587 ：GiantLeaves ◆owS58xj2hQ ：2005/12/22(木) 22:06:47
>>586 書き込む前に良く確認しようね。
588 ：１３２人目の素数さん：2005/12/22(木) 22:09:32
>>582 ＞ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。
この部分、短小イデアル群を短小イデアル類群に置き換え。
589 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 22:31:31
補題 A をネーター整閉整域とし、m を A の極大イデアルとする。 a を A の元とする。 m ∈ Ass(A/aA) なら A は離散付値環である。
証明 >>550 と同様にして A:m ≠ A となる。 A は整閉だから >>553 と同様にして m は可逆となり、 したがって単項となる。よって、>>567 より A は離散付値環である。 証明終
590 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/22(木) 22:47:58
>>589 >A をネーター整閉整域とし、
A を整閉なネーター局所整域とし、
591 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 01:33:35
びっくり
592 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 01:34:31
びっくり
593 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 01:36:47
び
594 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 01:41:54
びびび
595 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 01:45:04
びびび びびび びびび びびび びびび びびび
びびび びびび びびび
びびび びびび
びびび
びびび
596 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 04:22:35
びびび びびび びびび びびび びびび びびび
びびび びびび びびび
びびび びびび
びびび
597 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 04:23:37
>>582 ＞ここで、Pi(A) は A の短小イデアル群である。
この部分、短小イデアル群を短小包茎イデアル類群に置き換え。
598 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 04:34:04
1001
599 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 07:52:58
1
600 ：１３２人目の素数さん：2005/12/23(金) 07:54:49
アッという間に600がすぎた 年末年始の間にはスレが消えていることだろう
