最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時14分28秒
代数的整数論 006 (331-390)
元スレ： http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/331-390
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/331-390
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/331-390
331 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 05:07:15
定義 G を位相群、X を位相空間とし、 G は X に連続作用しているとする。
x, y ∈ X に対して sx = y となる s ∈ G があるとき x と y は同値と定義とすることにより X の同値関係が得られる。 この各同値類を X の軌道とよぶ。
x ∈ X に対して、x を含む軌道を x の軌道という。
x の軌道は { sx ; s ∈ G } である。
X の軌道全体の集合を X/G と書く。 X/G に商位相を入れた位相空間を X の G による軌道空間という。
332 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 05:20:55
命題 G を位相群が位相空間 X に連続作用しているとする。 G の任意の元 s に対して φ_s(x) = sx により 写像 φ_s : X → X を定義する。
φ_s は X の位相同型である。
証明 φ_s の逆写像は t を s の逆元としたとき φ_t である。 φ_s も φ_t も連続だから φ_s は X の位相同型である。 証明終
333 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 05:25:11
命題 G を位相群が位相空間 X に連続作用しているとする。 標準写像 p: X → X/G は開写像である。
証明 >>332 より V が X の開集合のとき G の任意の元 s に対して sV は開集合である。
従って、V が X の開集合のとき p^(-1)(p(V)) = GV = ∪{sV ; s ∈ G}
は開集合である。
従って、p(V) は開集合である。 証明終
334 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 05:46:48
定義 G を位相群、H をその部分群とする。
x ∈ G, s ∈ H のとき xs ∈ G だから H は G に右から連続作用する。
この軌道空間 G/H は H の左剰余類 xH 全体からなる。 G/H に商位相を入れた位相空間を G の H による等質空間と言う。
335 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 06:11:28
命題 X, Y, Z を位相空間として写像 f: X → Y と g : Y → Z があるとする。 f は全射で開写像とする。 h = gf が連続なら g も連続である。
証明 U を Z の開集合とする。 V = g^(-1)(U) とおく。 W = h^(-1)(U) = f^(-1)(V) は X の開集合である。 f は全射だから f(W) = V となる。 f は開写像だから V は開集合である。 証明終
336 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 06:14:43
命題 s ∈ G, tH ∈ G/H のとき stH ∈ H を対応させる写像 G × G/H → G/H は連続である。
証明 >>333 より 標準写像 : G → G/H は開写像である。 従って、G × G → G × G/H は開写像である。
G × G → G × G/H と G × G/H → G/H を合成して f : G × G → G/H が得られる。 f は連続写像 G × G → G と G → G/H の合成だから 連続である。
>>335 より G × G/H → G/H は連続である。 証明終
337 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 06:41:55
命題 G を位相群、H をその正規部分群とする。 G/H は商位相で位相群になる。
証明 写像 ψ : G/H × G/H → G/H を ([x], [y]) = [xy^(-1)] で定義する。
>>333 より φ: G × G → G/H × G/H は開写像である。
ψφ: G × G → G/H は連続写像 f: G × G → G, f(x, y) = xy^(-1) と G → G/H の合成だから連続である。
>>335 より ψ は連続である。 証明終
338 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 06:55:48
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339 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 06:57:07
命題 G を位相群、H をその部分群とする。 H の G における閉包 cls(H) は G の部分群である。
証明 G×G において cls(H×H) = cls(H)×cls(H) である。
写像 f : G×G → G を f(x, y) = xy^(-1) で定義する。 f は連続だから f(cls(H×H)) ⊂ cls(f(H×H)) となる。 f(H×H) ⊂ H だから f(cls(H)×cls(H) ) ⊂ cls(H) である。 よって cls(H) は G の部分群である。 証明終
340 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 07:01:49
命題 G を位相群、H をその正規部分群とする。 H の G における閉包 cls(H) は G の正規部分群である。
証明 a ∈ G のとき f(x) = axa^(-1) により写像 f : G → G を定義する。 f(H) = H だから f(cls(H)) ⊂ cls(f(H)) = cls(H) よって cls(H) は G の正規部分群である。 証明終
341 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 09:16:19
定義 R を集合 X の同値関係とし φ : X → X/R を標準写像とする。
X の部分集合 A は A = φ^(-1)(φ(A)) のとき充満していると言う。 X の任意の部分集合 B に対して φ^(-1)(φ(B)) を B の充満化と言う。
342 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 09:34:00
命題 R を位相空間 X の同値関係とし φ : X → X/R を標準写像とする。 φ は開写像とする。
X の部分集合 A が充満(>>341)していれば、A の内部および A の閉包も 充満している。
証明 A の内部と閉包をそれぞれ int(A), cls(A) とする。
int(A) の充満化を B とする。 A は充満しているから int(A) ⊂ B ⊂ A となる。 一方、B = φ^(-1)(φ(int(A))) であり、 φ は開写像だから B は開集合である。 従って int(A) = B である。
X - cls(A) = int(X - A) であり、X - A は充満しているから 上で証明したことより int(X - A) も充満している。 従って cls(A) も充満している。 証明終
343 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 09:45:40
命題 R を位相空間 X の同値関係とし φ : X → X/R を標準写像とする。 φ は開写像とする。
X の部分集合 A が充満していれば、cls(φ(A)) = φ(cls(A)) である。
証明 A ⊂ cls(A) だから φ(A) ⊂ φ(cls(A)) >>342 より cls(A) は充満しているから φ(cls(A)) は閉集合である。 よって cls(φ(A)) ⊂ φ(cls(A))
一方 φ は連続だから φ(cls(A)) ⊂ cls(φ(A)) よって cls(φ(A)) = φ(cls(A)) 証明終
344 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 10:02:30
命題 (X_i)、i ∈ I と (Y_i)、i ∈ I を位相空間の族とし、 f_i : X_i → Y_i を開写像とする。 有限個の i を除いて f_i は全射とする。
f = Πf_i とする、即ち f((x_i)) = (f_i(x_i))
このとき f : X → Y は開写像である。
証明 積位相空間の位相の定義より明らかである。
345 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 10:19:22
命題 (X_i)、i ∈ I を位相空間の族とし、 R_i を各 X_i の同値関係で標準写像 f_i : X_i → X_i/R_i は 開写像とする。 X = ΠX_i とし、 f : X → ΠX_i/R_i を積写像 Πf_i とする。
X の同値関係 R を x = (x_i), y = (y_i) を X の２元としたとき f(x) = f(y) 即ち すべての i で x_i ≡ y_i (mod R_i) となるとき x ≡ y (mod R) と定義する。
標準写像 X → X/R は開写像で f は位相同型 X/R → ΠX_i/R_i を 引き起こす。
証明 >>344 より f は開写像である。 f は連続写像の積だから連続である。
従って f は位相同型 X/R → ΠX_i/R_i を引き起こす。 f は開写像だから標準写像 X → X/R も開写像である。 証明終
346 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 10:21:44
>>328 >★天使＝ＡＶ女優 >★★大天使＝あいり＆めいり・天海麗・小倉ありす・角松かのり・森下くるみ・あいだゆあ・吉岡なつみ・つかもと友希・みひろ・小沢菜穂・酒井るんな・etc… >★★★主天使（中級天使）＝ >蒼井そら・乃亜・桜朱音・志保・ｎａｏ.・松島かえで・小澤マリア・穂花・光月夜也・片瀬まこ >★★★★智天使（上級天使） >高樹マリア・吉崎直緒・南波杏・堤さやか・高井桃・天野こころ・滝沢優奈 >★★★★★熾天使 >（四大天使長） >朝河蘭・古都ひかる・ >葉山レイコ・吉沢明歩 >∞：ネ申 >小林ひとみ
347 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 10:34:21
命題 R を位相空間 X の同値関係とし φ : X → X/R を標準写像とする。 φ は開写像とする。
C を R のグラフ即ち C = {(x, y) ∈ X×X ; x ≡ y (mod R) }
とする。
C が X×X の閉集合なら X/R はハウスドルフ空間である。
証明 >>345 より (X×X)/(R×R) は (X/R)×(X/R) と同一視できる。
(X/R)×(X/R) の対角線集合を Δ とする。 Δ は C の標準写像 X×X → (X×X)/(R×R) による像である。 C は充満した閉集合だから Δ も閉集合である。 従って >>84 より X/R はハウスドルフ空間である。 証明終
348 ：132人目の素数さん：2007/08/09(木) 10:43:10
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349 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 10:43:55
命題 G を位相群、H をその閉部分群とする。 等質空間(>>334) G/H はハウスドルフ空間である。
証明 G/H は G における関係 x^(-1)y ∈ H による商空間である。 この関係のグラフは (x, y) に x^(-1)y を対応させる連続写像 G×G → G による H の逆像であるから閉集合である。
標準写像 G → G/H は >>333 より開写像である。 従って >>347 より G/H はハウスドルフ空間である。 証明終
350 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 10:48:54
G を位相群、G の単位元を e とする。
N を {e} の G における閉包とする。
>>340 より N は G の閉正規部分群である。
>>349 より G/N は分離群である。
G/N を G に伴う分離群という。
351 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 11:06:41
命題 G と G' を位相群とする。 連続準同型 f: G → G' は G と G' の右一様構造で一様連続である。 左一様構造に関しても同様である。
証明 f は連続だから V を G' の単位元の任意の近傍としたとき G の単位元の任意の近傍 W があり f(W) ⊂ V となる
yx^(-1) ∈ W なら f(yx^(-1)) = f(y)f(x)^(-1) ∈ V である。 即ち f は G と G' の右一様構造で一様連続である。
証明は左一様構造に関しても同様である。 証明終
352 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 11:25:17
G を分離位相アーベル群とする。
>>200 より G は分離一様空間である。 G の分離完備化(>>288)を Ω とし、φ : G → Ω を標準写像とする。 G は分離的だから φ により G と φ(G) は同一視出来る(>>293)。
写像 x + y は連続準同型 f: G×G → G である。 >>351 より f は一様連続である。 一様連続写像の延長定理(>>272)により f は α : Ω×Ω → Ω に 一意に拡張出来る。 即ち Ω の元 x, y に対して α(x, y) を x + y と書く。
Ω×Ω×Ω → Ω を (x, y, z) に (x + y) + z を対応させる 写像とする。 Ω×Ω×Ω → Ω を (x, y, z) に x + (y + z) を対応させる 写像とする。 この二つの写像は G×G×G で一致する。 等式延長の原理(>>265)よりこの二つの写像一致する。 即ち Ω の元 x, y, z に対して (x + y) + z = x + (y + z) となる。 同様に x + y = y + x が出る。 同様に x + 0 = x である。
写像 -x は連続準同型 g: G → G である。 >>351 より g は一様連続である。 一様連続写像の延長定理(>>272)により g は β : Ω → Ω に 一意に拡張出来る。
即ち Ω の元 x に対して β(x) を -x と書く。
x + (-x) = 0 が上と同様に出る。
以上から Ω は位相アーベル群になる。
353 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 12:04:47
>>352 の Ω は二つの一様構造を持っている。 一つは一様空間 G の分離完備化としての一様構造である。 これを Φ と書く。 もう一つは位相アーベル群としての一様構造である。 これを Ψ と書く。
Φ = Ψ であることを証明する。
まず Φ と Ψ は Ω において同一の位相を定める。 Φ と Ψ は G において同一の一様構造を引き起こす。
従って Ψ の G における Cauchy フィルターは Φ の G における Cauchy フィルターでもあるから Ω において 収束する。 従って >>263 より Ψ は完備である。
φ : G → Ω を標準写像とする。
φ を G から一様空間 (Ω, Ψ) への写像と見ると、>>351 より φ は 一様連続である。
一様連続写像の延長定理(>>272)より φ は (Ω, Φ) から (Ω, Ψ) へ の一様連続写像 ψ に一意に拡張される。
Ω の恒等写像は G ⊂ Ω において φ を引き起こすから 等式延長の原理(>>265) より ψ と一致する。 即ち恒等写像 (Ω, Φ) → (Ω, Ψ) は一様連続である。 同様に恒等写像 (Ω, Ψ) → (Ω, Φ) は一様連続である。 従って Φ = Ψ である。
354 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/09(木) 12:25:34
定理(分離位相アーベル群の完備化) G を分離位相アーベル群とする。 分離かつ完備な位相アーベル群 Ω と G から Ω への連続準同型 φ で 次の性質をもつものが存在する。
1) φ は G から φ(G) への位相群としての同型を引き起こす。
2) G から分離かつ完備な位相アーベル群 G' への連続準同型 f : G → G' に対し、連続準同型 g: Ω → G' で f = gφ となるものが一意に存在する。
証明 Ω として >>352 の Ω を取る。 1) は明らかである。
φ により G と φ(G) を同一視する。
f を G から分離かつ完備な位相アーベル群 G' への連続準同型とする。 >>351 より f は一様連続だから一様連続写像の延長定理(>>272)により f は一様連続写像 g : Ω → G' に一意に拡張出来る。 等式延長の原理により g(x + y) = g(x) + g(y) となる。 従って g は連続準同型である。 これで 2) が証明された。 証明終
355 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 17:32:31
>>298 > ∩＿＿＿∩ > | ノ ヽ > / ● ● | Kummer──！！ > | ( _●_) ミ > 彡､ |∪| ､｀＼ >/ ＿＿ ヽノ /´> ) >(＿＿＿） / (_／ > | / > | ／＼ ＼ > | / ) ) > ∪ （ ＼ > ＼＿) ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
356 ：１３２人目の素数さん：2007/08/09(木) 17:33:19
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿) ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
357 ：Kummer ◆SP1RWrm9VI ：2007/08/09(木) 22:55:31
（>>1の続き） 妹が風邪をひいて家で寝ていて様子を見に行ったら、 「座薬を入れてよ！熱が下がんないから！」と言ってきた。 親に言えや！と返したら母親は今いない。親父には見られたくない。 という事らしい。 妹は後ろ向きに四つん這いになってその下は見るな！と 半分ケツをペロリとだした。 ロケット型の白い座薬を妹の＊にゆっくりと入れる。 が、直ぐケツの力で這い出してしまう。 奥まで入れろ！と言われ、汚ねぇから触れねぇーよ！と 切り返したら、引出しからコンドームを１つ渡し「これで！」と。 指に不自然にそれをハメると妹は何度も絶対に変な事するなよ！ 絶対に変な事するなよ！と言いながらもう一度四つん這いに。 オレは無心でゆっくりと奥まで一気に入れる。 妹はアッ！と少しだけ悶える。すまん！と意味も無く謝る兄のオレ。 ところがそのまま指が穴から抜けなくなる。 抜けない！とオレが 焦って動かすとウッ！動かさないで！と妹はマジ悶える。 力入れるなよ！と叫ぶオレ。じゃあ関節曲げんなよ！エロ！と妹も負けじと叫ぶ。 分かった。落ち着こうよ。な！力抜いて。ほら。よし!抜けた。 そしてヌポッ！という音ともに
358 ：Kummer ◆YH5yPZVZn. ：2007/08/09(木) 23:20:21
>>11 河村隆一「Love」（97/11/22） 1.I Love You 言わずと知れたソロデビュー駄曲。サビの「～探してたー、うっふっふ」ってとこがキモい駄曲。 2.好き Say A Litlle Prayerに提供した駄曲をセルフカバー。引き続きキモいです！ 3.涙色 酒井のり子（のりP）に提供した曲。ここまで来るとアイドルヲタのカラオケみたいです！ 4.Birthday 誕生日にこんな曲をRYUICHIに隣りで歌われたらその日は眠れないかも、キモくて、っていうおぞましい駄曲です 5.Love Song アコースティックな優しい響きに乗せたメッセージが絶望的にサムイです。 6.BEAT 「波乗りに行ったときに出来た曲。波の音が、別れた彼女の声に聞こえて･･･」との事ですが、 何言ってんだおまえ、って感じです！！ 7.蝶々 これも酒井法子への提供曲。「女言葉を僕が歌ったら、面白いかなって思って」との事ですが、 ちっとも面白くなく不快な仕上りになってます。 8.Love ｱﾙﾌｨーの高見沢作曲。繰り返し歌われるRYUICHIの恋愛観に辟易させられる駄曲です。 9.Evolution アルバム中盤で、ちょっとしたアクセントになっている駄曲。 10.小さな星 セイアへの提供曲。RYUICHIが歌う事によって鳥肌が立つほどの駄曲になってます。 11.Glass ソロ2ndシングル曲。テレビでもよく歌っていたせいか、サビでは高音を張り上げるRYUICHIの顔が浮かんできて怖いです！ 12.でも淋しい夜は･･･ まだ続くのかよこのアルバム、って駄曲です。 13.SE,TSU,NA このアルバムでは珍しくアップテンポのアレンジに乗せて歌われるメッセージが圧倒的にウンコです。 14.Love is… 「僕の、究極の理想の愛を歌ってます」との事ですが、そんなのどうでもいいと思える駄曲です。 15.Christmas RYUICHIと一緒にクリスマスを過ごすくらいなら居眠りして終わらせたほうがましだと突っ込みたくなる駄曲。 16.Hope 長かったね、この駄アルバムもこの駄曲でやっと終わりという、開放感ある駄曲でした。 総評:全16駄曲という圧倒的なボリュームのソロデビュー作。主婦は狂気し、 LUNA SEAファンはいろいろな意味で腰を抜かした250万枚のヒット作です。 中古屋では50円で売ってました。50円出すのも勿体無いです！
359 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 03:42:31
命題 A を位相環とし、B をその部分環とする。 A における B の閉包 cls(B) は A の部分環である。
証明 >>339 より cls(B) は A の部分アーベル群である。
写像 f : A×A → A を f(x, y) = xy で定義する。 f は連続だから f(cls(B×B)) = f(cls(B)×cls(B)) ⊂ cls(f(B×B)) となる。 f(B×B) ⊂ B だから f(cls(B)×cls(B)) ⊂ cls(B) である。 よって cls(B) は A の部分環である。 証明終
360 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 03:43:02
命題 A を位相環とし、I をその左イデアルとする。 I における B の閉包 cls(I) は A の左イデアルである。
証明 >>339 より cls(I) は A の部分アーベル群である。
写像 f : A×A → A を f(x, y) = xy で定義する。 f は連続だから f(cls(A×I)) = f(A×cls(I)) ⊂ cls(f(A×I)) となる。 f(A×I) ⊂ I だから f(A×cls(I)) ⊂ cls(I) である。 よって cls(I) は A の左イデアルである。 証明終
361 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 03:48:40
命題 A を位相環とし、I をその右イデアル、 J をその両側イデアルとする。 A における I の閉包 cls(I) は A の右イデアルであり、 A における J の閉包 cls(J) は A の両側イデアルである。
証明 cls(I) が A の右イデアルであることの証明は >>360 と同じである。 cls(J) が A の両側イデアルであることは cls(J) が 左イデアルでもあり、右イデアルでもあることから分かる。 証明終
362 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 03:56:34
命題 A を位相環とし、I をその両側イデアルとする。 A/I は商位相で位相環になる。
証明 >>337 と同様である。
363 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 04:01:10
A を位相環とし、N を {0} の A における閉包とする。
>>361 より N は A の閉両側イデアルである。
>>349 より A/N は分離的である。
A/N を A に伴う分離環と言う。
364 ：Kummer ◆YH5yPZVZn. ：2007/08/10(金) 04:13:12
>>361 の続き
河村隆一「Love」（97/11/22） 1.I Love You 言わずと知れたソロデビュー駄曲。サビの「～探してたー、うっふっふ」ってとこがキモい駄曲。 2.好き Say A Litlle Prayerに提供した駄曲をセルフカバー。引き続きキモいです！ 3.涙色 酒井のり子（のりP）に提供した曲。ここまで来るとアイドルヲタのカラオケみたいです！ 4.Birthday 誕生日にこんな曲をRYUICHIに隣りで歌われたらその日は眠れないかも、キモくて、っていうおぞましい駄曲です 5.Love Song アコースティックな優しい響きに乗せたメッセージが絶望的にサムイです。 6.BEAT 「波乗りに行ったときに出来た曲。波の音が、別れた彼女の声に聞こえて･･･」との事ですが、 何言ってんだおまえ、って感じです！！ 7.蝶々 これも酒井法子への提供曲。「女言葉を僕が歌ったら、面白いかなって思って」との事ですが、 ちっとも面白くなく不快な仕上りになってます。 8.Love ｱﾙﾌｨーの高見沢作曲。繰り返し歌われるRYUICHIの恋愛観に辟易させられる駄曲です。 9.Evolution アルバム中盤で、ちょっとしたアクセントになっている駄曲。 10.小さな星 セイアへの提供曲。RYUICHIが歌う事によって鳥肌が立つほどの駄曲になってます。 11.Glass ソロ2ndシングル曲。テレビでもよく歌っていたせいか、サビでは高音を張り上げるRYUICHIの顔が浮かんできて怖いです！ 12.でも淋しい夜は･･･ まだ続くのかよこのアルバム、って駄曲です。 13.SE,TSU,NA このアルバムでは珍しくアップテンポのアレンジに乗せて歌われるメッセージが圧倒的にウンコです。 14.Love is… 「僕の、究極の理想の愛を歌ってます」との事ですが、そんなのどうでもいいと思える駄曲です。 15.Christmas RYUICHIと一緒にクリスマスを過ごすくらいなら居眠りして終わらせたほうがましだと突っ込みたくなる駄曲。 16.Hope 長かったね、この駄アルバムもこの駄曲でやっと終わりという、開放感ある駄曲でした。 総評:全16駄曲という圧倒的なボリュームのソロデビュー作。主婦は狂気し、 LUNA SEAファンはいろいろな意味で腰を抜かした250万枚のヒット作です。 中古屋では50円で売ってました。50円出すのも勿体無いです！
365 ：Kummer ◆YH5yPZVZn. ：2007/08/10(金) 04:20:05
お前ら、フルーチェオナホ造った事ある？ カタクリＸ並らしいんだけど・・
366 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 05:12:58
命題 A を位相環とする。 (x_n), n ∈ Z+ と (y_n), n ∈ Z+ をそれぞれ A の Cauchy 点列 とすると、(x_ny_n) も Cauchy 点列である。
証明 写像 (x, y) → xy は連続だから A の 0 の任意の近傍 W に対して U^2 ⊂ W となる 0 の近傍 U がある。 n0 ∈ Z+ があり n, m ≧ n0 なら x_n - x_m ∈ U, y_n - y_m ∈ U となる。
写像 x → x(y_n0) と写像 y → (x_n0)y は連続だから V ⊂ U があり x_n - x_m ∈ V なら (x_n - x_m)y_n0 ∈ W y_n - y_m ∈ V なら x_n0(y_n - y_m) ∈ W となる。
n1 ≧ n0 があり n, m ≧ n1 なら x_n - x_m ∈ V y_n - y_m ∈ V となる。
従って n, m ≧ n1 なら x_n y_n - x_m y_m = (x_n - x_m)y_n0 + x_n0(y_n - y_m) + (x_n - x_m)(y_n - y_n0) + (x_m - x_n0)(y_n - y_m) ∈ W + W + W + W
従って (x_ny_n) は Cauchy 点列である。 証明終
367 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 08:45:52
命題 A を位相環とする。 Φ と Ψ をそれぞれ A の Cauchy フィルターの基底とする。 f : A×A → A を f(x, y) = xy により定義する。
f(Φ, Ψ) は Cauchy フィルターの基底である。
証明 写像 f(x, y) は連続だから A の 0 の任意の近傍 W に対して U^2 ⊂ W となる 0 の近傍 U がある。 M ∈ Φ と N ∈ Ψ を U 程度に小さい集合とする。
x_1 ∈ M y_1 ∈ N を任意に取る。
写像 x → xy_1 と写像 y → x_1y は連続だから V ⊂ U があり x' - x ∈ V なら (x' - x)y_1 ∈ W y' - y ∈ V なら x_1(y' - y) ∈ W となる。
M' を V 程度に小さい集合で M' ⊂ M かつ M' ∈ Φ とする。 N' を V 程度に小さい集合で N' ⊂ N かつ N' ∈ Ψ とする。
x, x' ∈ M' y, y' ∈ N' のとき
x'y' - xy = (x' - x)y_1 + x_1(y' - y) + (x' - x)(y' - y_1) + (x - x_1)(y' - y) ∈ W + W + W + W 即ち M'N' は 4W 程度に小さい。 従って f(Φ, Ψ) は Cauchy フィルターの基底である。 証明終
368 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 09:14:10
A を分離位相環とする。 Ω を A のアーベル群としての完備化とする。 写像 f : A×A → A を f(x, y) = xy により定義する。 >>271 より f は連続写像 g: Ω×Ω → Ω に一意に拡張できる。 g(x, y) = xy と書くことにする。 等式延長の原理(>>265)より (xy)z = x(yz) となる。 1 を A の乗法の単位元 とするとやはり等式延長の原理より x1 = 1x = x となる。 従って Ω は位相環になる。
369 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 09:15:32
定理(分離位相環の完備化) A を分離位相環とする。 分離かつ完備な位相環 Ω と A から Ω への連続準同型 φ で 次の性質をもつものが存在する。
1) φ は A から φ(A) への位相環としての同型を引き起こす。
2) A から分離かつ完備な位相環 B への連続準同型 f : A → B に対し、連続準同型 g: Ω → B で f = gφ となるものが一意に存在する。
証明 Ω として >>368 の Ω を取る。 1) は明らかである。
φ により A と φ(A) を同一視する。
f を A から分離かつ完備な位相環 B への連続準同型とする。 >>354 より位相アーベル群としての連続準同型 g: Ω → B で f = gφ となるものが一意に存在する。 等式延長の原理により g(xy) = g(x)g(y) となる。 従って g は位相環としての連続準同型である。 これで 2) が証明された。 証明終
370 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 09:19:14
>>369 の Ω を分離位相環 A の完備化と言う。 Ω は通常 A^ で表す。
371 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/10(金) 09:41:45
定理(位相環の分離完備化) A を位相環とする。 分離かつ完備な位相環 Ω と A から Ω への連続準同型 ψ で 次の性質をもつものが存在する。
A から分離かつ完備な位相環 B への連続準同型 f : A → B に対し、連続準同型 g: Ω → B で f = gψ となるものが一意に存在する。
証明
N を {0} の A における閉包とする。
>>361 より N は A の閉両側イデアルである。
>>349 より A/N は分離的である。
p: A → A/N を標準写像とする。
A/N の完備化を Ω とし、φ : A/N → Ω を標準写像とする。 ψ : A → Ω を標準写像 p: A → A/N と φ : A/N → Ω の 合成とする。即ち ψ = φp である。
f を A から分離かつ完備な位相環 B への連続準同型とする。 f^(-1)(0) は A の閉両側イデアルだから N ⊂ f^(-1)(0) 従って、環としての準同型 h : A/N → B があり、f = hp となる。 B の開集合 U に対して f^(-1)(U) = p^(-1)(h^(-1)(U)) は 開集合だから h^(-1)(U) は開集合である。 従って h は連続である。
>>369 より連続準同型 g : Ω → B で h = gφ となるものが一意に存在する。 f = hp = gφp = gψ ψ(A) は Ω で密だから g は一意に決まる。 証明終
372 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 01:34:52
定義 A を位相環(>>189)とし、E を左 A-加群とする。 E が以下の条件を満たすとき E を 左 A-位相加群と言う。
1) E にはその加法と両立する位相が入る。 即ち位相アーベル群である。
2) (a, x) に ax を対応させる写像 A×E → E は連続である。
373 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 01:48:20
命題 E を A-位相加群、M をその A-部分加群とする。 E/M は商位相により A-位相加群となる。
証明 写像 ψ : A × E/M → E/M を (a, [x]) = [ax] で定義する。 ψ が連続であることを示せばよい。
>>333 より φ: A × E → A × E/M は開写像である。
ψφ: A × E → E/M は連続写像 A × E → E と標準写像 E → E/M の合成だから連続である。
>>335 より ψ は連続である。 証明終
374 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 02:06:29
次の命題の証明は >>367 と同様だが一応証明する。
375 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 02:07:28
命題 E, F, G を位相アーベル群とし、 f: E×F → G を連続な双線形写像とする。
Φ と Ψ をそれぞれ E と F の Cauchy フィルターの基底とする。 f(Φ, Ψ) は G の Cauchy フィルターの基底である。
証明 写像 f(x, y) は連続だから G の 0 の任意の近傍 W に対して f(U, V) ⊂ W となる 0 の近傍 U と V がある。 M ∈ Φ と N ∈ Ψ をそれぞれ U, V 程度に小さい集合とする。 x_1 ∈ M y_1 ∈ N を任意に取る。
写像 x → f(x, y_1) と写像 y → f(x_1, y) は連続だから 0 の近傍 U' ⊂ U があり x' - x ∈ U' なら f(x' - x, y_1) ∈ W 0 の近傍 V' ⊂ V があり y' - y ∈ V' なら f(x_1, y' - y) ∈ W となる。
M' を U' 程度に小さい集合で M' ⊂ M かつ M' ∈ Φ とする。 N' を V' 程度に小さい集合で N' ⊂ N かつ N' ∈ Ψ とする。
x, x' ∈ M' y, y' ∈ N' のとき
f(x', y') - f(x, y) = f(x' - x, y_1) + f(x_1, y' - y) + f(x' - x, y' - y_1) + f(x - x_1, y' - y) ∈ W + W + W + W 即ち M'N' は 4W 程度に小さい。 従って f(Φ, Ψ) は Cauchy フィルターの基底である。 証明終
376 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 02:24:35
A を分離位相環、E を A-分離位相加群とする。 A^ と E^ をそれぞれ A と E の完備化とする。
>>271 と >>375 より (a, x) に ax を対応させる写像 A×E → E は A^×E^ → E^ に連続延長される。
等式延長の原理(>>265) より a, b ∈ A^, x ∈ E^ のとき a(bx) = (ab)x となる。
従って E^ は A^-位相加群となる。 E^ を A-位相加群 E の完備化と言う。
377 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 03:26:30
A を位相環、N を A における {0} の閉包とする。
>>349 より A/N は分離位相環である。
A/N の完備化(>>370) を A の分離完備化と言い、A^ で表す。
378 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 03:27:32
A を位相環、E を A-位相加群とする。
N を A における {0} の閉包とし、
F を E における {0} の閉包とする。
>>349 より A/N は分離位相環であり、 E/F は分離位相アーベル群である。
a ∈ A, x ∈ F なら ax ∈ F だから、 写像 f : A/N × E/F → E/F を ([a], [x]) → [ax] により 定義出来る。
A × E → A/N × E/F は開写像であり、 (a, x) ∈ A × E のとき [ax] ∈ E/F を対応させる写像 A × E → E/F は連続だから >>335 より f も連続である。
従って E/F は A/N-位相加群である。
>>376 より E/F の完備化 (E/F)^ は A の分離完備化環 A^ 上の 位相加群であり、これを E の分離完備化と言い、E^ と書く。
379 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 09:08:52
命題 A を位相環、E を A-位相加群とし、 A^ と E^ をそれぞれ A と E の分離完備化(>>371 と >>378)とする。
φ: E → E^ を標準写像とする。
G を分離かつ完備な A^-位相加群とし、 f : E → G を A-位相加群としての連続準同型とする。 このとき A^-位相加群としての連続準同型 g : E^ → G が一意に存在し f = gφ となる。
証明
F を E における {0} の閉包とする。
p: E → E/F を標準写像とする。
f^(-1)(0) は E の閉部分加群だから F ⊂ f^(-1)(0)
従って、A-加群としての準同型 h : E/F → G があり、f = hp となる。
G の開集合 U に対して f^(-1)(U) = p^(-1)(h^(-1)(U)) は
開集合だから h^(-1)(U) は開集合である。
従って h は連続である。
ψ : E/F → (E/F)^ を標準写像とする。 E^ = (E/F)^ である。
>>354 より連続準同型 g : (E/F)^ → G で h = gψ となるものが一意に存在する。 f = hp = gψp = gφ φ(A) は Ω で密だから g は一意に決まる。
g は等式延長の原理(>>265)より A^-位相加群としての連続準同型で ある。 証明終
380 ：Kummer ◆U3fGsUclmg ：2007/08/11(土) 09:21:27
★天使＝ＡＶ女優 ★★大天使＝あいり＆めいり・天海麗・小倉ありす・角松かのり・森下くるみ・あいだゆあ・吉岡なつみ・つかもと友希・みひろ・小沢菜穂・酒井るんな・etc… ★★★主天使（中級天使）＝ 蒼井そら・乃亜・桜朱音・志保・ｎａｏ.・松島かえで・小澤マリア・穂花・光月夜也・片瀬まこ ★★★★智天使（上級天使） 高樹マリア・吉崎直緒・南波杏・堤さやか・高井桃・天野こころ・滝沢優奈 ★★★★★熾天使 （四大天使長） 朝河蘭・古都ひかる・ 葉山レイコ・吉沢明歩 ∞：ネ申 小林ひとみ
381 ：１３２人目のKummerさん：2007/08/11(土) 09:53:20
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
382 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 10:21:31
命題 分離位相体(>>190) K の完備化環 K^ が位相体であるためには K^* に含まれ、0 に収束しない (K の加法群に関する) Cauchy フィルターの基底の写像 x → x^(-1) による像が (K の加法群に関する) Cauchy フィルターの基底であることが 必要十分である。
証明
K が離散的でないなら K^* = K - {0} は K^ - {0} において密である。
K が離散的な場合は K^ = K であるからやはり K^* = K - {0} は
K^ - {0} において密である。
f: K^* → K^* を f(x) = x^(-1) で定義する。
K^ が位相体であるためには写像 f が写像 g : K^ - {0} → K^ - {0}
に連続延長出来ることが必要十分である。
必要なことは明らかである。
十分なことは、x ∈ K^ - {0} のとき g(x)x = 1 と xg(x) = 1 が
等式延長の原理(>>265)より出ることから分かる。
従って、>>271 より直ちに命題の主張が出る。 証明終
383 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 10:31:29
>>382 AV 好きなのか？
384 ：１３２人目のKummerさん：2007/08/11(土) 10:34:12
∩＿＿＿∩ /) | ノ ヽ ( i ))) / ● ● | / / | ( _●_) |ﾉ / 彡､ |∪| ，/ ／ ヽノ /´ 代数的整数論では円分体が大事だクマ
385 ：Kummer ◆6l0Hq6/z.w ：2007/08/11(土) 10:38:24
>>383 ああ。
386 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 10:49:51
>>384 円分体好きなのか？
387 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 10:58:01
>>386 ああ。
388 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 11:07:32
命題 K を分離的な可換位相体とする。 Φ を K^* を位相群とみたときの K^* における Cauchy フィルターの基底とする。 Φ は K を位相アーベル群とみたときの Cauchy フィルターの基底 であり、0 には収束しない。
証明 U を K における 0 の任意の近傍として V を 0 の閉近傍で V ⊂ U, V^2 ⊂ U で -1 は V に含まれない とする。
A ∈ Φ で任意の x, y ∈ A に対して y/x ∈ 1 + V となるものがある。 a ∈ A のとき A ⊂ a + aV である。
W を 0 の近傍で aW ⊂ V とする。
B ∈ Φ, B ⊂ A で任意の x, y ∈ B に対して y/x ∈ 1 + W となるものがある。
y - x ∈ xW ⊂ AW ⊂ aW + aVW
K は可換だから aVW = aWV ⊂ V^2 ⊂ U 従って y - x ∈ U + U 即ち Φ は K を位相アーベル群とみたときの Cauchy フィルターの基底 である。
A ⊂ a + aV であり、 a + aV は 0 を含まない閉集合であるから Φ は 0 に収束しない。 証明終
389 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 11:10:18
命題 K を分離かつ完備な可換位相体とする。 K^* は位相群とみたとき完備である。
証明 >>388 より明らかである。
390 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 11:10:27
○＿○ ( ･(ェ)･) ＿(__つ/￣￣￣/＿ 代数的整数論、いつも熱心に書いてあるな。 ＼/ / ￣￣￣ ○＿○ ( ･(ェ)･) ＿(__つ/￣￣￣/＿ ん？最近荒らしが多いな。 ＼/ /
○＿○ ( ･(ェ)･ ) ＿(__つ/￣￣￣/＿ 何で「クマー」が Kummer って叫んでるんだろう？ ＼/ / ￣￣￣ ○＿○ ( ･(ェ)･) ＿(__つ/￣￣￣/＿ 「クンマー」だからか。くだらねえ。 ＼/ / ￣￣￣ ○＿○ ( ﾟ(ェ)ﾟ ) ＿(__つ/￣￣￣/＿ こっちみんな ＼/ / ￣￣￣
