最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時51分58秒
代数的整数論 007 (1-70)
元スレ： http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/-70
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1187904318/-70
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1 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 06:25:18
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく 質問してください。 その他、内容についてのご意見は歓迎します。 例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
過去スレ ＃001 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 ＃002 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310 ＃003 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/ ＃004 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/ ＃005 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/ ＃006 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/l50
2 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 07:30:02
K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 K はこの絶対値による位相で完備とする。
E を K 上の n 次元の分離位相ベクトル空間(過去スレ006の583)とする。 F を K 上の位相ベクトル空間とする。
過去スレ006の684 より、E から F への任意の線形写像は連続である。
E が K 上無限次元の場合は、このことは成り立たない。
Schwartz の解析学教程から例を挙げる。
R を実数体とし、E を実係数多項式全体とする。
u ∈ E のとき |u| = sup {|u(x)|; 0 ≦ x ≦ 1 } と定義する。
| | により E は R 上のノルム空間(過去スレ006の561)になる。
f : E → R を f(u) = u(3) で定義する。 f は R-線形写像である。
E の点列 (u_n) を u_n(x) = (x/2)^n で定める。
|u_n| = (1/2)^n だから lim u_n = 0 である。
f(u_n) = (3/2)^n だから lim f(u_n) = +∞ である。
よって f は連続ではない。
3 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 08:21:05
Kummer ◆g2BU0D6YN2 の似顔絵を作ったよ！
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | クマ──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
4 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 09:29:16
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | おはようKummer ーーー！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | つ / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
5 ：Kummer ◆qujuPhyHAI ：2007/08/24(金) 12:13:40
6 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 12:44:37
解析には、-∞, +∞ の記号が頻繁に現れる。 これを合理化しよう。
7 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 12:48:47
定義 R~ を実数体 R に -∞, +∞ で表わさられる２点を追加した集合とする。
任意の a ∈ R に対して a ＜ +∞, -∞ ＜ a, -∞ ＜ +∞ と定義 することにより、R~ は全順序集合になる。
R~ には、任意の a ∈ R, b ∈ R に対して (a, b), (a, +∞], [-∞, b) の形の区間で生成される位相を入れる。
このように定義された順序構造と位相をもった集合 R~ を 補完数直線と言う。
8 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 13:24:35
命題 R の任意の閉区間 I = [a, b] は連結である。
証明 I が連結でないとする。
R の開集合 U と V があり、 I ⊂ U ∪ V I ∩ U と I ∩ V は空集合でない。 I ∩ U ∩ V は空集合である。
x ∈ I ∩ U y ∈ I ∩ V をとる。
x ＜ y と仮定してよい。
x_0 = sup (I ∩ U) ∩ (-∞, y) とおく。
I ∩ U = I - V だから I ∩ U は R の閉集合である。
よって x_0 ∈ I ∩ U である。 x_0 ≦ y であるが x_0 ≠ y だから x_0 ＜ y である。 よって x_0 ＜ z ＜ y となる z ∈ I ∩ U がある。 しかし、x_0 = sup (I ∩ U) ∩ (-∞, y) だから z ≦ x_0 である。 これは矛盾である。 証明終
9 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 13:52:36
命題 R の空でない部分集合 A が区間であるためには、A の任意の２元 a, b, a ＜ b に対して [a, b] ⊂ A となることが必要十分である。
証明 必要なことは明らか。
逆にこの条件が満たされたとする。 A が上にも下にも有界でないとする。
R の任意の元 x に対して a ＜ x ＜ b となる A の元 a, b がある。 仮定から [a, b] ⊂ A だから x ∈ A である。 よって R = A である。
A が上に有界で、下にも有界でないとする
c = sup A とおく。 x ＜ c のとき a ＜ x ＜ b ≦ c となる a, b ∈ A がある。 仮定から [a, b] ⊂ A だから x ∈ A である。 よって A = (-∞, c) または A = (-∞, c] である。
他の場合も同様である。 証明終
10 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 14:07:22
命題 R の任意の区間は連結である。
証明 I を R の区間で、一点のみではないとする。 x ∈ I とすると、x ＜ y または y ＜ x となる y ∈ I がある。 x ＜ y と仮定する。 >>9 より [x, y] ⊂ I である。 >>8 より [x, y] は連結である。 即ち、I の任意の２点は I の連結部分集合に含まれる。 即ち、I はその任意の点の連結成分になる。 よって I は連結である。 証明終
11 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 14:10:01
＞I を R の区間で、一点のみではないとする。 x ∈ I とすると、x ＜ y または y ＜ x となる y ∈ I がある。
このところのx, yははじめから任意にIの中からとっているという ことを書いておくべきでしょう。
12 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 14:19:02
>>11 有難うございます。
>>10 は以下のように修正します。
命題 R の任意の区間は連結である。
証明 I を R の区間で、一点のみではないとする。 x, y を I の任意の異なる２点とする。 x ＜ y と仮定する。 >>9 より [x, y] ⊂ I である。 >>8 より [x, y] は連結である。 即ち、I の任意の２点は I の連結部分集合に含まれる。 即ち、I はその任意の点の連結成分になる。 よって I は連結である。 証明終
13 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 14:30:43
命題 R の部分集合 A が連結であるためには A が区間であることが 必要十分である。
証明 十分なことは >>12 で証明されている。
逆に A が連結であるとする。 A が一点なら区間である。 A が一点でないなら、A の元 a, b で a ＜ b となるものがある。
>>9 より [a, b] ⊂ A を示せばよい。
[a, b] ⊂ A でないとする。 a ＜ x ＜ b となる x で A に含まれないものがある。
A ⊂ R - {x} だから A = A ∩ (R - {x})
R - {x} = (-∞, x) ∪ (x, +∞)
だから
A = (A ∩ (-∞, x)) ∪ (A ∩ (x, +∞))
a ∈ A ∩ (-∞, x) b ∈ A ∩ (x, +∞) だから A は空でない A の開集合の直和となる。 よって、A は連結でない。 証明終
14 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 14:46:58
命題 R の空でない開集合は高々可算個の互いに交わらない開区間の合併である。
証明 U を R の空でない開集合とする。 I を U の連結成分とする。 x ∈ I なら、x ∈ U だから a ＜ x ＜ b で (a, b) ⊂ U となる a, b ∈ R がある。 >>12 より (a, b) は連結である。 よって、(a, b) ⊂ I である。 即ち、I は R の開集合である。 I は連結だから >>13 より開区間である。
Φ を U の連結成分全体の集合とする。
I ∈ Φ のとき I はある有理数 r を含む f(I) = r として(厳密には選択公理を使って)、 写像 f : Φ → Q を定義する。 f は単射だから Φ は高々可算である。 証明終
15 ：γ◇Homotopy：2007/08/24(金) 14:54:18
>>14
>I ∈ Φ のとき I はある有理数 r を含む >f(I) = r として(厳密には選択公理を使って)、
とありますが、選択公理は必要ないのではないですか？ なぜなら、有理数の全体 Q は、選択公理なしでも整列できるからです。 （N×N から Q の上への写像があるからです。）
そこで、Q の整列順序 R を一つ固定して、 各 I ∈ Φ に対し、f(I) ∈ I を、順序 R に関する I の 最小元と置けばよいのです。
16 ：γ◇Homotopy：2007/08/24(金) 14:58:21
>>15 訂正：
× 順序 R に関する I の最小元 ○ 順序 R に関する I∩Q の最小元
17 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 14:59:54
>>15
なるほど、そうですね。 有難うございます。
18 ：Kummer ◆yDkzOiyyOw ：2007/08/24(金) 15:39:31
糞スレだと思って開いてしまった奴はどれが良いか答えろ
A)マジレスすると戸田恵梨香にねっとりとディープキスされながら玉を揉まれつつ、 新垣結衣に優しく乳首を吸われながら激しく手コキされて射精したい。
B)マジレスするとマジックミラー越しに夏帆に見られながら、 リアディゾンに極太ディルドを突っ込みながらバックからアナルを犯して射精したい。
C)マジレスするとに相武紗季に前立腺マッサージをされてチンポが敏感になった状態で、 井上真央に言葉攻めされながら足コキされて射精したい。
D)マジレスすると額にバイブを取り付けられた状態で、榮倉奈々に眼前で バイブオナニーされながら酒井若菜にローションパイズリされて射精したい。
E)マジレスすると長澤まさみと沢尻エリカに「あたしの方が気持ちいいでしょ？」 と言われながら交互にフェラされてどっちがいいか決めかねたまま射精したい。
F)マジレスするとマナとカナと３人で舌を絡めながら仁王立ちした状態で 脱ぎたてパンティでチンポを包まれながらＷ手コキされて射精したい。
19 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 16:06:57
補題 R の一点でない区間 I から R への写像 f が I から f(I) への 位相同型とする。
a, b, a ＜ b を I の２点とする。 f(a) ＜ f(b) なら a ＜ x ＜ b のとき f(a) ＜ f(x) ＜ f(b) である。 f(a) ＞ f(b) なら a ＜ x ＜ b のとき f(a) ＞ f(x) ＞ f(b) である。
証明 a, b, a ＜ b を I の２点とする。 f(a) ＜ f(b) の場合のみ証明すればよい。
c を a ＜ c ＜ b となる任意の実数とする。 f(a) ＜ f(c) ＜ f(b) であることを示す。
f(a) ＜ f(b) ＜ f(c) とする。 >>12 より [a, c] は連結だから f([a, c]) も連結である。 >>13 より f([a, c]) は区間である。 よって f(b) ∈ f([a, c]) である。 即ち x ∈ [a, c] で f(x) = f(b) となるものがある。 x ≠ b だから、これは f が単射であることに矛盾する。
f(c) ＜ f(a) ＜ f(b) としても同様に矛盾となる。 証明終
20 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 16:17:34
補題 R の一点でない区間 I から R への写像 f が I から f(I) への 位相同型とする。
a, b, a ＜ b を I の２点とする。 f(a) ＜ f(b) とする。
a ＜ x ＜ b なら f(a) ＜ f(x) ＜ f(b) b ＜ x なら、f(b) ＜ f(x) である。 x ＜ a なら f(x) ＜ f(a) である。
証明 a ＜ x ＜ b なら >>19 より f(a) ＜ f(x) ＜ f(b)
b ＜ x なら、まず f(a) ＜ f(x) である。 何故なら f(a) ＞ f(x) なら >>19 より f(a) ＞ f(b) ＞ f(x) となって矛盾だから。 よって 再び >>19 から f(a) ＜ f(b) ＜ f(x) となる。
同様に x ＜ a なら f(x) ＜ f(a) である。 証明終
21 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 16:41:46
命題 R の一点でない区間 I から R への写像 f が I から f(I) への 位相同型なら f は狭義単調である。
証明 a, b, a ＜ b を I の２点とし、f(a) ＜ f(b) とする。
x ＜ y を I の２点とする。
1) a ＜ x ＜ b のとき。 a ＜ x ＜ y ＜ b なら >>19 より f(a) ＜ f(x) ＜ f(b) よって再び >>19 より f(x) ＜ f(y) ＜ f(b)
b ＜ y なら、>>20 より f(b) ＜ f(y) よって f(x) ＜ f(y)
2) b ＜ x のとき。 b ＜ y だから >>20 より f(b) ＜ f(y) よって >>19 より f(b) ＜ f(x) ＜ f(y)
3) x ＜ y ＜ a のとき >>20 より f(x) ＜ f(a) よって >>19 より f(x) ＜ f(y) ＜ f(a)
4) x ＜ a ＜ y ＜ b のとき。 >>20 より f(x) ＜ f(a), >>19 より f(a) ＜ f(y) よって f(x) ＜ f(y)
5) x ＜ a ＜ b ＜ y のとき。 >>20 より f(x) ＜ f(a), f(b) ＜ f(y) よって f(x) ＜ f(y) 証明終
22 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 17:19:41
Kummer さま、こんにちは。
>>19, >>20, >>21 の証明を見ると、 f:I → f(I) に関する条件は、「連続な単射」 で充分ですね？ もちろん I が有界閉区間のときは、コンパクトになるから、 f は位相同型になってしまいますが。
おそらくは、>>22 以降に書かれるかもしれません。 邪魔してしまってスミマセン m(_ _)m
23 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 17:30:48
>>22 >f : I → f(I) に関する条件は、「連続な単射」 で充分ですね？
おっしゃる通りです。
24 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 17:31:44
連続な単射ですから、練炭と名づけましょう。
25 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 17:32:43
>>22 >邪魔してしまってスミマセン m(_ _)m
とんでもないです。 内容に関する質問、ご意見は歓迎です。
26 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 17:42:55
補題 f を R の閉区間 [a, b] から R への連続かつ狭義単調な写像とする。 f([a, b]) = [f(a), f(b)] である。
証明 a ≦ x ≦ b なら f(a) ≦ f(x) ≦ f(b) だから f([a, b]) ⊂ [f(a), f(b)] である。
>>8 より [a, b] は連結である。 f は連続だから f([a, b]) は連結である。 >>13 より f([a, b]) は区間である。 f(a) ∈ f([a, b]), f(b) ∈ f([a, b]) であり、 f(a) ＜ f(b) だから >>9 より [f(a), f(b)] ⊂ f([a, b]) である。
以上から、f([a, b]) = [f(a), f(b)] である。 証明終
27 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 17:55:09
補題 f を R の一点でない区間 I から R への連続で狭義単調な写像とする。 a ＜ b を I の２点とする。 f((a, b)) = (f(a), f(b)) である。
証明 a ＜ x ＜ b なら f(a) ＜ f(x) ＜ f(b) だから f((a, b)) ⊂ (f(a), f(b)) である。
f(a) ＜ s ＜ f(b) とする。
f は a と b でそれぞれ連続だから a ＜ x ＜ y ＜ b となる x, y で f(x) ＜ s ＜ f(y) となるものがある。
>>26 より f([x, y]) = [f(x), f(y)] だから s ∈ f([x, y]) ⊂ f((a, b)) である。
よって (f(a), f(b)) ⊂ f((a, b)) である。 証明終
28 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 18:18:43
命題 R の一点でない区間 I から R への写像 f が I から f(I) への 位相同型であるためには f は連続で狭義単調であることが 必要十分である。
証明 必要性は >>21 で証明されている。
f は連続で狭義単調であるとする。 >>27 より f は開写像である。 よって f は I から f(I) への位相同型である。 証明終
29 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 18:53:49
命題 R の空でない開区間は R と位相同型である。
証明 I を有界開区間 (a, b) とする。
f(x) = -(1/(x - a) + 1/(x - b)) とおく。
1/(x - a) と 1/(x - b) は I で狭義単調減少である。 よって、f(x) は I で狭義単調増加である。
x → a + 0 のとき 1/(x - a) → +∞, 1/(x - b) → 1/(a - b) x → b - 0 のとき 1/(x - b) → -∞, 1/(x - a) → 1/(b - a)
よって x → a + 0 のとき f(x) → -∞ x → b - 0 のとき f(x) → +∞
よって f(I) = R である。 >>28 より f は位相同型である。
f の逆写像を g とする。 g : R → I である。
R の区間非有界開区間 J に対して g(J) は I に含まれる開区間である。 g(J) は有界だから、上で示したことから R に位相同型である。 よって J も R に位相同型である。 証明終
30 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 19:18:23
>>26, >>27, >>28 では、f を狭義単調と仮定していますが、 >>19, >>20, >>21 を踏まえた上で、f は、実は連続な単射（1-1写像） であればよいわけですよね？
一方、 >>29 では、直接に狭義単調増加関数を定義しています。
>>29 のほかに、区間 I から R の中への、 1-1 であることのみわかっている連続写像 f に対して、 >>19 ～ >21 が、本質的に適用できて、 初めて f が狭義単調であることが判明するような例が、あるのでしょうか？
少々細かくて、恐縮ですが。
31 ：Kummer ◆yDkzOiyyOw ：2007/08/24(金) 19:40:13
)i☆i( ;O;+ ;o+: ;i|*|i､ ;;o;+、 ;;O+; |'ﾞﾞ+''ﾞﾞ*''ﾞﾞ+''ﾞﾞﾞ'+''ﾞﾞ*ﾞﾞ''+ﾞﾞ| ﾞ!!'''ﾞ'''''ﾞ''''''ﾞ''''''''''ﾞ'''''''ﾞ'''､!!ﾞ ／ ＼ / ''''''''' '''''''' i | （●）, ､（●） | ! `ー ,,ﾉ(､_, )ヽ､,,. ﾉ 丶_ ｀-=ﾆ=-. ノ f~~r ､''''‐-: ''''~~"~ ""~~~,,,,｛, _,,,,,,_ /,ｨ〔/T‐ｪ', ''''' ~~ ヽ ,.'''~ ﾞi ~~''t-'7:::i' ! !::::::::~''- ., -‐く i , t-l l::/:::::ｌ ｌ ｌ:::::::::::::::::::ﾞi' - .,_ `i iﾞ''''f l::::l l/::::::;ｌ ll l:::::::::::::::::::;!:::::::::::~ ''''''‐-t-' ｌ＿ｌ l::::! /::::::::ｌ l ｌ ｌ::::::::::::::::ゝ:;:::::::::::::::::::::::::ﾞi ／ ＼:::l. /:::::::〔,,,l:l,,,〕:::::::::::::ﾞ!~ ~'- ､:::::::::::::::〈 .."''t---f''ﾞ!::! ./::::::::::::::i:i:::::::::::::::::r.' ヽ;:::::::::::::ヽ 〈 〉.l::l. ,!:::::::::::::::l::l:::::::::::::::::ﾞt:..、 ~''‐-- 'i ｌ---l ﾞ',.=く:::::::::::::::::l:::l:::::::::::;;: -! ヽ, ヽ ￣ r::'":::::::ヽ;::::::::::;;l;;;;l. ｧ ''/ .rﾞ;..,,,.ﾉ::ヽ, ﾞ:, ヾ:;;;;;;;::;;: ‐'' " i i‐ｧ ,!r'''''' '' - 'ヽ., ,,. t' ,,. -'''"__ﾞ' ‐---‐‐''"__,」:l,,,!l; ヽ;::~'''''''~:::::::ﾞ;, ﾞ'''''''''" ﾞ''‐----‐''" ﾞ''‐---‐''" ﾞ''‐---‐'' 童帝 [nosex king] （1972～2007)
32 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 20:20:34
>>27 は次のように修正します。
補題 f を R の一点でない区間 I から R への連続で狭義単調な写像とする。 a ＜ b を I の２点とする。
f が単調増加なら f((a, b)) = (f(a), f(b)) である。 f が単調減少なら f((a, b)) = (f(b), f(a)) である。
証明 f が単調増加の場合のみ証明する。 f が単調減少の場合も同様である。
a ＜ x ＜ b なら f(a) ＜ f(x) ＜ f(b) だから f((a, b)) ⊂ (f(a), f(b)) である。
f(a) ＜ s ＜ f(b) とする。
f は a と b でそれぞれ連続だから a ＜ x ＜ y ＜ b となる x, y で f(x) ＜ s ＜ f(y) となるものがある。
>>26 より f([x, y]) = [f(x), f(y)] だから s ∈ f([x, y]) ⊂ f((a, b)) である。
よって (f(a), f(b)) ⊂ f((a, b)) である。 証明終
33 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 20:25:27
>>30
例はあるんでしょうが、今は思いつきません。
34 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 20:28:44
>>33
ご回答ありがとうございました。 やはり、微妙なところなのですね。
35 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 20:39:18
>>33 Kummer さん、 前スレの a, b, c, ... とレスして行く奴は Kummer さんですか？
36 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 20:57:53
命題 R の一点でない閉区間 [a, b] は補完数直線 R~ (>>7) と 位相同型である。
証明 >>29 より位相同型 f : (a, b) → R がある。 f は単調増加と仮定してよい。
f の拡張 f~ : [a, b] → R~ を f~(a) = -∞, f~(b) = +∞ で 定義する。
任意の M ＞ 0 に対して、f(x) = M となる x ∈ (a, b) がある。 x ＜ y ＜ b なら M ＜ f(y) である。 即ち、x → b - 0 のとき f(x) → +∞
同様に、x → a + 0 のとき f(x) → -∞
従って f~ は連続である。
f は >>32 より、(a, b) の開区間を R の開区間に写すから f~ は、[a, b] の開区間を R~ の開区間に写す。 従って、f~ は開写像である。 f~ は全単射だから位相同型である。 証明終
37 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 21:03:16
>>35
内容に関係ないんで、ノーコメントと言いたいところですが、 例外的にお答えしましょう。
違います。
彼は、容量オーバーを気遣ってるんでしょう。 容量オーバーすると DAT 落ちに失敗する場合があるらしいです。
38 ：34：2007/08/24(金) 21:11:07
>>37
>>35 は私の質問でないのですが、ありがとうございます。 私も気にはなっていたのです。
これからもがんばってください。
39 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 21:14:43
>>38
どういたしまして。 有難うございます。
40 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 21:24:30
命題 R から R への写像 f を f(x) = -x で定義する。 f の補完数直線 R~ (>>7) への拡張 f~ : R~ → R~ を f~(+∞) = -∞ f~(-∞) = +∞ で定義すると f~ は R~ の位相同型である。
証明 f は位相同型である。
x → +∞ のとき -x → -∞ x → -∞ のとき -x → +∞ であるから f~ は連続である。 明らかに f~ は全単射である。
(f~)^2 = 1 であるから f~ の逆写像は f~ である。 よって f~ は位相同型である。 証明終
41 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 21:28:19
>>40 の結果を踏まえて、-(+∞) = -∞, -(-∞) = +∞ とする。
42 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 21:48:06
命題 R×R から R への写像 f を f(x, y) = x + y で定義する。
A = (-∞, +∞] B = [-∞, +∞) とおく。
f の拡張 g : A×A → A を
x ∈ R のとき g(x, +∞) = +∞ g(+∞, x) = +∞ で定義する。
f の拡張 h : B×B → B を x ∈ R のとき h(x, -∞) = -∞ h(-∞, x) = -∞ で定義する。
g と h はともに連続である。
証明 a ∈ R のとき (x, y) → (a, +∞) なら x + y → +∞ である。 よって g は (a, +∞) ∈ A×A において連続である。
同様に、g は (+∞, a) ∈ A×A において連続である。 よって g は連続である。
同様に h も連続である。 証明終
43 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 21:57:15
学生の頃の数学の成績はどの程度だったのでしょうか
44 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 21:58:10
>>42 を次のように修正する。
命題 R×R から R への写像 f を f(x, y) = x + y で定義する。 A = (-∞, +∞] B = [-∞, +∞) とおく。
f の拡張 g : A×A → A を g(+∞, +∞) = +∞
x ∈ R のとき g(x, +∞) = +∞ g(+∞, x) = +∞ で定義する。
f の拡張 h : B×B → B を h(-∞, -∞) = -∞
x ∈ R のとき h(x, -∞) = -∞ h(-∞, x) = -∞ で定義する。
g と h はともに連続である。
証明 (x, y) → (+∞, +∞) なら x + y → +∞ である。 a ∈ R のとき (x, y) → (a, +∞) なら x + y → +∞ である。 よって g は A×A において連続である。
同様に h も連続である。 証明終
45 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 21:59:50
>>44 の結果を踏まえて、
(+∞) + (+∞) = +∞
x ∈ R のとき
x + (+∞) = +∞ (+∞) + x = +∞
(-∞) + (-∞) = -∞
x ∈ R のとき x + (-∞) = -∞ (-∞) + x = -∞
と定義する。
46 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 22:10:58
命題
補完数直線 R~ (>>7) に対して (R~)^* = R~ - {0} と書く。
関数 xy は公式
(+∞)(+∞) = +∞ (-∞)(-∞) = +∞
x ∈ R で x ＞ 0 のとき x(+∞) = (+∞)x = +∞ x(-∞) = (-∞)x = -∞
x ∈ R で x ＜ 0 のとき x(+∞) = (+∞)x = -∞ x(-∞) = (-∞)x = +∞
に従って (R~)^* × (R~)^* へ連続延長される。
証明 >>44 と同様なので省略する(読者に任す)。
47 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/24(金) 22:36:43
定義 X を集合とする。 X×X から [0, +∞] ⊂ R~ への写像 f で次の条件を満たすものを X 上の擬距離と言う。
1) 任意の x ∈ X に対して f(x, x) = 0
2) 任意の x, y ∈ X に対して f(x, y) = f(y, x)
3) 任意の x, y, z ∈ X に対して f(x, y) ≦ f(x, z) + f(z, y)
48 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 23:17:40
ここは Kummer ◆g2BU0D6YN2 の成長を見守るスレですか？
49 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 23:41:45
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | おやすみKummer ーーー！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | つ / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
50 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 23:49:24
ぼくはくま Kummer Kummer Kummer けんかはやだよ Kummer Kummer Kummer ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ |ノ ヽ |ノ ヽ / (ﾟ) (ﾟ) | / (ﾟ) (ﾟ) | | ( _●_) ミ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀￣￣ヽ ／彡､ |∪| ミ / ＿＿ ヽノ Y￣) | ( (/ ヽノ＿ | (＿＿＿） Y＿ノ ヽ/ (＿＿＿ノ ＼ | | / | ／＼ ＼ ／ ／＼ | | / ) ) ( ( ヽ | ∪ （ ＼ ／ ) ∪ ＼＿) (＿／
∩＿＿＿∩ (ヽ | ノ ヽ /) (((i ) / （゜） （゜） | ( i))) ライバルは ／∠彡 ( _●_) |＿ゝ ＼ ( ＿＿＿､ |∪| ,＿＿ ） | ヽノ /´ | /
,.、,､,..,､､.,､,､､..,_ ／i ;'｀;、､:、. .:、:, :,.: ::｀ﾞ:.:ﾞ:｀''':,'.´ -‐i '､;: ...: ,:. :.､.:',.: .:: _;.;;..; :..‐'
51 ：１３２人目の素数さん：2007/08/24(金) 23:55:10
荒らすな！！ばか！
52 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 00:00:21
ぼくはくま Kummer Kummer Kummer けんかはやだよ Kummer Kummer Kummer ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ |ノ ヽ |ノ ヽ / (ﾟ) (ﾟ) | / (ﾟ) (ﾟ) | | ( _●_) ミ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀￣￣ヽ ／彡､ |∪| ミ / ＿＿ ヽノ Y￣) | ( (/ ヽノ＿ | (＿＿＿） Y＿ノ ヽ/ (＿＿＿ノ ＼ ⊂ | | つ / | ／＼ ＼ ／ ／＼ | | / ) ) ( ( ヽ | ∪ （ ＼ ／ ) ∪ ＼＿) (＿／
∩＿＿＿∩ (ヽ | ノ ヽ /) (((i ) / （゜） （゜） | ( i))) ライバルは ／∠彡 ( _●_) |＿ゝ ＼ ( ＿＿＿､ |∪| ,＿＿ ） | ヽノ /´ | / ∩
,.、,､,..,､､.,､,､､..,_ ／i ;'｀;、､:、. .:、:, :,.: ::｀ﾞ:.:ﾞ:｀''':,'.´ -‐i '､;: ...: ,:. :.､.:',.: .:: _;.;;..; :..‐'
53 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 00:11:28
>>18 マジレスすると C
54 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 09:29:29
>>47 の不等式を三角不等式と言う。
この三角不等式こそ解析の基礎である。
55 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 09:33:58
擬距離の例
1) 距離空間の距離は擬距離である。
2) X を集合とする。 任意の x に対して f(x, x) = 0, x ≠ y なら f(x, y) = +∞ と定義すると、 f は X 上の擬距離である。
>>45 より 0 + (+∞) = +∞ (+∞) + (+∞) = +∞ だから f は三角不等式を満たす。
3) 集合 X 上で定義された任意の有限実数値関数 g に対して f(x, y) = |g(x) - g(y)| と定義すると、f は X 上の擬距離である。
56 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 09:38:12
>>54
解析は不等式、代数は等式を主に扱うと言ってもあながち間違い ではないだろう。
57 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 09:46:55
f を集合 X 上の擬距離とする。
実数 a ＞ 0 に対して U_a = { (x, y) ∈ X×X ; f(x, y) ＜ a}
とおく。
U_a 全体は X 上の一様構造の基本近縁系になる。
過去スレ006の196の
1) V ∈ Φ_0 なら Δ ⊂ V 2) V, V' ∈ Φ_0 のとき W ⊂ V ∩ V' となる W ∈ Φ_0 がある。 3) V ∈ Φ_0 のとき W ⊂ V^(-1) となる W ∈ Φ_0 がある。 4) V ∈ Φ_0 のとき WW ⊂ V となる W ∈ Φ_0 がある。
を確認すればよい。
例えば 4) は、 三角不等式より任意の実数 a ＞ 0 に対して (U_a)(U_a) ≦ U_2a となることから分かる。
1), 2), 3) も容易である。
58 ：１３２人目の素数さん：2007/08/25(土) 09:47:01
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | おはようKummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
59 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 09:52:25
定義 f を集合 X 上の擬距離とする。
実数 a ＞ 0 に対して U_a = { (x, y) ∈ X×X ; f(x, y) ＜ a}
とおく。
>>57 より U_a 全体は X 上の一様構造の基本近縁系(過去スレ006の195) になる。
この一様構造を f により定義された一様構造と言う。
X 上の二つの距離が同じ一様構造を定義するとき、これ等の擬距離は 同値であると言う。
60 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 10:03:56
X 上に二つの擬距離 f, g があるとする。
Φ(f), Φ(g) をそれぞれ f, g により定義された一様構造とする。
Φ(f) ⊂ Φ(g) であるためには 任意の実数 a ＞ 0 に対して、実数 b ＞ 0 が存在して g(x, y) ＜ b なら f(x, y) ＜ a となることが必要十分である。
61 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 12:11:51
命題 区間 [0, +∞] から [0, +∞] への写像 ψ が次の条件を満たすとする。
1) ψ(0) = 0 2) ψ は単調増加である。 3) ψ は 0 の近傍で連続かつ狭義単調増加である。 4) 任意の x , y ∈ [0, +∞] に対して ψ(x + y) ≦ ψ(x) + ψ(y)
このとき、集合 X 上の任意の擬距離 f に対して g = ψf は f と同値な擬距離である。
証明 g が擬距離であることは明らかである。
ψ は 0 で連続だから 任意の実数 a ＞ 0 に対して、実数 b ＞ 0 が存在して 0 ≦ x ＜ b なら ψ(x) ＜ a となる。
よって、任意の実数 a ＞ 0 に対して、実数 b ＞ 0 が存在して f(x, y) ＜ b なら g(x, y) ＜ a となる。
ψ は 0 の近傍で連続かつ狭義単調増加だから >>28 より ψ は 0 の近傍で位相同型である。 よって、0 の近傍で ψ の逆関数 φ が存在し 連続かつ狭義単調増加である。
よって、g(x, y) が十分小さければ、f(x, y) = φg(x, y) よって、任意の実数 a ＞ 0 に対して、実数 b ＞ 0 が存在して g(x, y) ＜ b なら f(x, y) ＜ a となる。
>>60 より f と g は同値な擬距離である。 証明終
62 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 12:17:58
例えば、√x, log(1 + x), x/(1 + x), inf(x, 1) は >>61 の条件を 満たしている。
x/(1 + x) と inf(x, 1) は [0, +∞] で有界だから 任意の擬距離と同値な有限かつ有界な擬距離が存在する。
63 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 12:38:19
定義 (f_λ), λ ∈ L を集合 X 上の擬距離の族とする。
各 f_λ で定義された一様構造(>>59)の上限(過去スレ006の220)を 族 (f_λ) によって定義された一様構造と言う。
X 上の二つの擬距離の族が同じ一様構造を定義するとき、これ等の族は 同値であると言う。
64 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 12:57:45
命題 f を集合 X 上の擬距離とする。 f で定義された一様構造(>>59)が分離的、すなわちその一様構造が定める 位相空間がハウスドルフ空間であるためには、 f(x, y) = 0 となるのが x = y の場合に限ることが必要十分である。
この条件は f が X 上の距離であるということと同じである。
証明 読者に任せる。
65 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 13:06:35
補題 f を集合 X 上の有限擬距離、即ち +∞ を取らない擬距離とする。
x, y, z を X の任意の３点とすると、 |f(x, z) - f(y, z)| ≦ f(x, y)
証明 f(x, z) ≦ f(x, y) + f(y, z) よって f(x, z) - f(y, z) ≦ f(x, y)
f(y, z) ≦ f(y, x) + f(x, z) よって f(y, z) - f(x, z) ≦ f(x, y)
よって |f(x, z) - f(y, z)| ≦ f(x, y) 証明終
66 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 13:14:39
命題 f を集合 X 上の有限擬距離とする。
X×X に X の f による一様構造の積一様構造(過去スレ006の230)を 入れる。
f : X×X → [0, +∞) は一様連続である。
証明 >>65 より、 X の任意の４元 x, y, a, b に対して、
|f(x, y) - f(a, b)| ≦ |f(x, y) - f(a, y)| + |f(a, y) - f(a, b)| ≦ f(x, a) + f(y, b)
従って、任意の ε ＞ 0 に対して、f(x, a) ＜ ε, f(y, b) ＜ ε なら |f(x, y) - f(a, b)| ＜ 2ε となる。 証明終
67 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 13:51:09
命題 f を集合 X 上の距離とする。 f は擬距離だから X に一様構造を定義する。 f は距離だから >>64 より X はこの一様構造で分離一様空間になる。 分離一様空間 X の完備化(過去スレ006の293)を X^ とする。 f は連続写像 f^ : X^×X^ → [0, +∞) に拡張される。 f^ は X^ の距離であり、X^ の一様構造はこの距離により定義される 一様構造と一致する。
証明 >>66 より f は X×X で一様連続だから 一様連続写像の延長定理(過去スレ006の272)より、 f は一様連続写像 f^ : X^×X^ → [0, +∞) に拡張される。 不等式延長の原理(過去スレ006の473)より、f^ は X^ の擬距離になる。
X の完備化としての X^ の一様構造を Φとし、 f^ により定義される X^ の一様構造を Ψ とする。
f^ : X^×X^ → [0, +∞) は Φ の積 Φ×Φ で一様連続だから 任意の ε ＞ 0 に対して Φ の近縁 V があり、 (x, x') ∈ V, (y, y') ∈ V なら |f(x, y) - f(x', y')| ＜ ε となる。
特に (x, y) ∈ V なら |f(x, y) - f(x, x)| ＜ ε となる。 f(x, x) = 0 だから |f(x, y)| ＜ ε となる。 これは Ψ ⊂ Φ を意味する。
他方、Φ と Ψ は X で同じ一様構造を導入する。 さらに、X は Φ で完備である。 過去スレ006の474より Φ = Ψ である。 X^ はハウスドルフ空間だから >>64 より f~ は距離である。 証明終
68 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 14:01:17
命題 (f_λ), λ ∈ L を集合 X 上の有限擬距離の族とする。 族 (f_λ) によって定義された X の一様構造は分離的であるとする。 分離一様空間 X の完備化(過去スレ006の293)を X^ とする。 各 f_λ は連続写像 (f_λ)^ : X^×X^ → [0, +∞) に拡張される。 (f_λ)^ は X^ の擬距離であり、X^ の一様構造は 族 ((f_λ)^) により定義される一様構造と一致する。
証明 >>67 の証明と同様である。
69 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 14:43:23
補題 X を一様空間とする。 X の近縁の列 (U_n), n ≧ 1 で任意の整数 n ≧ 1 に対して (U_(n+1))^3 ⊂ U_n となるものがあるとする。
写像 g : X×X → [0, +∞) を次のように定義する。 すべての n に対して (x, y) ∈ U_n なら g(x, y) = 0 (x, y) ∈ U_n で (x, y) ∈ X×X - U_(n+1) なら g(x, y) = 1/2^n (x, y) ∈ X×X - U_1 なら g(x, y) = 1
x, y を X の任意の２点とする。 z_0 = x, z_p = y を満たすすべての有限列 z_0, . . . , z_p に対して、 Σg(z_i, z_(i+1)) ≧ (1/2)g(x, y) となる。
左辺の和は i = 0 から i = p - 1 に関するものである。
証明 p に関する帰納法による。 p = 1 のときは明らかである。 a = Σg(z_i, z_(i+1)) とおく。 和は i = 0 から i = p - 1 に関するものである。
g(x, y) ≦ 1 だから a ≧ 1/2 のときは Σg(z_i, z_(i+1)) ≧ (1/2)g(x, y) である。
よって a ＜ 1/2 と仮定する。 g(z_0, z_1) + . . . + g(z_(q-1), q) ≦ a/2 となる q の最大値を h とする。 g(z_0, z_1) + . . . + g(z_h, z_(h + 1)) ＞ a/2 となる。 従って g(z_(h + 1), z_(h + 2)) + . . . + g(z_(p-1), z_p) ≦ a/2 となる (続く)
70 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/25(土) 14:44:04
>>69 の続き。
帰納法の仮定より、 (1/2)g(x, z_h) ≦ g(z_0, z_1) + . . . + g(z_(h-1), h) ≦ a/2
よって g(x, z_h) ≦ a
(1/2)g(z_(h + 1), y) ≦ g(z_(h + 1), z_(h + 2)) + . . . + g(z_(p-1), z_p) ≦ a/2
よって g(z_(h + 1), y) ≦ a
g(z_h, z_(h + 1)) ≦ a
1/2^k ≦ a となる最小の整数 ＞ 0 を k とすれば、 k ≧ 2 で、 (x, z_h) ∈ U_k (z_h, z_(h + 1)) ∈ U_k (z_(h + 1), y) ∈ U_k
よって (x, y) ∈ (U_k)^3 ⊂ U_(k-1)
よって g(x, y) ≦ 1/2^(k-1) ≦ 2a 証明終
