最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時28分48秒
代数的整数論 II(601-700)
元スレ： http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/601-700
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/601-700
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/601-700
601 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 10:47:11
定義 １次元のネーター整閉整域をDedekind整域またはDedekind環と呼ぶ。
602 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 10:59:10
>>589 >a を A の元とする。
a ≠ 0 を A の元とする。
603 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 11:00:59
命題 A をネーター整閉整域とし、a ≠ 0 を A の元とする。 p ∈ Ass(A/aA) なら ht(p) = 1 である。
証明 前スレの 95 より Ass(A_p/aA_p) = Ass(A/aA) ∩ Spec(A_p) である。 よって、p ∈ Ass(A_p/aA_p) となる。 >>589 より A_p は離散付値環である。 よって、ht(p) = 1 である。 証明終
604 ：9208 ◆4etoz7nPdA ：2005/12/27(火) 13:12:43
>>602 良く考えて投稿したらどうか？
605 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 13:51:35
命題 A をネーター整閉整域とする。 A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。
証明 a, b ∈ A, b ≠ 0 で a ∈ bA_p が任意の ht(p) = 1 の 素イデアル p について成立てば、a ∈ bA となることを示せばよい。
I = {x ∈ A; xa ∈ bA} とおく。I = A が言えればよい。
I ≠ A と仮定する。Ia ⊂ bA だから、I ⊂ p となる p ∈ Ass(A/bA)
がある(前スレの90)。>>603 より ht(p) = 1 である。
仮定より、a ∈ bA_p であるから、sa ∈ bA となる s ∈ A - p
がある。よって s ∈ I だが、これは I ⊂ p に矛盾する。
証明終
606 ：１３２人目の素数さん：2005/12/27(火) 16:10:32
／￣￣￣￣＼ ２７歳で日本数学会は下らないと悟った。 （ 人＿＿＿＿） ３０歳でフィールズ賞も下らないと分かった。 |ミ/ ー◎-◎-） ３３歳で下らない建部賞を贈られた。 （６ (_ _) ） ３６歳でアカポスを諦めた。 ＿_| ∴ ノ ３ ﾉ ３９歳で自分自身を諦めた。 （＿_/＼＿＿＿＿_ノ だから愚痴はかみ殺してた。 / （ )) ))） 「アカポスはコネ」が口癖。 []＿__.| ｜ラブひな命 ヽ 自分を相手にしない公募は糞以下だと気づてたから。 ｜[] .|＿|＿＿>>1＿＿＿） 言えば僻みになるから負け惜しみになるからダサいから、 ＼_（＿_）三三三[□]三） ずっとかみ殺してた。 ／（＿）＼:::::::::::::::::::::::| でも２ちゃんで言ったら最高に笑えた。 ｜Sofmap｜:::::::::/:::::::/ 「川北君に嫉妬したInvent崩れが、女児を刺す！ｗ」 （＿＿＿＿_）;;;;;/;;;;;;;/ （＿＿＿[）＿[） 本当に心の底から笑えた…。
607 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/27(火) 18:14:03
命題 一意分解整域は整閉である。
証明 A を一意分解整域とし、K を A の商体とする。 a/b ∈ K が A 上整とする。ここで、a ∈ A, b ∈ A, a ≠ 0, b ≠ 0。 a, b は互いに素と仮定してよい。
a/b は A 上整だから、整数 n > 0 があり、 (a/b)^n + (a_1)(a/b)^(n-1) + ... + (a_(n-1))(a/b) + a_n = 0 となる。ここで、各 a_i ∈ A。
この等式の両辺に b^n を掛けて、
a^n + (a_1)ba^(n-1) + ... + a_(n-1)(b^(n-1))a + (a_n)b^n = 0
左辺の a^n 以外の項は b で割れる。よって a^n も b で割れる。 b を割る素元 p があるとすると、p は a も割ることになり、 a, b は互いに素という仮定に反する。 よって b は単元である。したがって、a/b ∈ A となる。 証明終
608 ：１３２人目の素数さん：2005/12/27(火) 19:14:01
>>606 建部崩れの専門は、ヘルス巡り。月給１０万で 最近はほとんど逝けず、激しく意気消沈なのれしたｗ
609 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 13:48:56
命題 A をネーター整域とする。 A が整閉であるためには以下の条件が必要十分である。
1) A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は離散付値環である。
2) A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。
証明 A はネーター整閉整域とする。 >>585 より 1) が成立つ。 >>605 より 2) が成立つ。
逆にネーター整域 A が 1), 2) を満たすとする。
1) より A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は 一意分解整域だから、>>607 より A_p は整閉である。 よって、2) より A も整閉である 証明終
610 ：１３２人目の素数さん：2005/12/28(水) 13:54:17
138 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/28(水) 11:44:27 多元数理研の由来は多元環からきてるの？ だとすると代数系に重点を置いてるのかな 139 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/28(水) 13:24:44 >>138 そんなわけないだろ。 それは吉田正章が言った冗談。 本当の由来はある教授が四方教授と本部の事務官の前で言った「冗談」
611 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 14:58:27
命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は可逆(>>430)である。
証明 p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、>>585 より A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の単項イデアルである。 A はネーターだから、I は A-加群として有限表示を持つ。 よって、>>235 より I は射影的である。 I ≠ 0 だから I は非退化(>>431)である。 よって、>>511 より I は可逆である。 証明終
612 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 16:07:07
補題 A を整域とする。 A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。
証明
x ∈ ∩A_m とし、I = {a ∈ A; ax ∈ A} とおく。
I = A と仮定する。I ⊂ m となる極大イデアル m がある。
x ∈ A_m であるから、sx ∈ A となる s ∈ A - m があり、
s ∈ I に矛盾。
証明終
613 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 16:13:20
命題 A を体でない整域とする。A の任意の非零イデアルが可逆(>>430)なら、 A はDedekind整域(>>601)である。
証明 >>504 より可逆イデアルは有限生成である。 よって、A はネーターである。
p を A の非零素イデアルとする。 p は可逆だから、>>509 より p は階数１(>>253)の射影加群である。 よって、>>191 より pA_p は階数１の自由加群である。 つまり、pA_p は、単項イデアルである。 よって、>>567 より A_p は離散付値環である。
よって、ht(p) = 1 である。これから dim(A) = 1 となる。 よって、A の非零素イデアルと極大イデアルは同じものである。
>>612 より A = ∩A_p (p は A の極大イデアル全体を動く)であり、 >>607 より 各 A_p は整閉だから、A も整閉である。
以上で、A は１次元のネーター整閉整域、つまりDedekind整域で あることがわかった。 証明
614 ：１３２人目の素数さん：2005/12/28(水) 16:16:04
まだ写経してるのか。
615 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 17:22:31
補題 A をネーター整域とする。 m をその極大イデアルとする。 任意の整数 n > 0 に対して m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。
証明
Supp(A/m^n) = {m} だから前スレの 166 よりAss(A/m^n) = {m} である。
よって、m^n は準素イデアルである。
よって、前スレの 198 より m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。
証明終
616 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2005/12/28(水) 17:31:23
命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に分解される。
証明
I ≠ A と仮定してよい。
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
I ≠ 0 だから各 p_i は極大イデアルである。ht(p_i) = 1 だから、
p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。
>>585 より A_(p_i) は離散付値環であるから、 IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。 よって、>>615 より、q_i = (p_i)^(n_i) となる。
前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。 証明終
617 ：１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 04:40:51
381
618 ：１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 10:30:47
早く崩れろ
619 ：１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 17:02:11
ここは208の独断場ではない
620 ：１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 17:33:38
>>619
ここは 9208 の希望によって俺が 9208 の為に立てたスレだ。 趣旨を尊重してもらおう。
数学的内容に関しての、質問、まじめな異論なら歓迎だ。
621 ：１３２人目の素数さん：2006/01/08(日) 17:52:07
>>620 お前の独壇場でもない。
622 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 13:23:36
命題 kingはKrull次元１の正則局所環である。
証明 明らかではない。
623 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 17:32:41
Krull と聞くと、ケロロ軍曹を思い浮かべる漏れって数学に向いてない？
624 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/10(火) 18:22:58
talk:>>622 私は代数幾何学の専門家ではないぞ。
625 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 18:27:38
>>624 お前何もできないじゃん。
626 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/10(火) 18:32:23
talk:>>625 お前に何が分かるというのか？
627 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 18:41:07
>>626 kingがあほなこと。
628 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/10(火) 18:45:59
talk:>>627 お前に何が分かるというのか？
629 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 20:15:39
>>628 talk:>>627 お前に何が分かるというのか？
あんた、他の言い方知らないの？
630 ：GiantLeaves：2006/01/10(火) 23:33:31
talk:>>629 お前に何が分かるというのか？
631 ：１３２人目の素数さん：2006/01/10(火) 23:37:09
talk:>>630 お前に何が分かるというのか？
632 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 07:40:43
talk:>>629 お前に何が分かるというのか？
633 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 08:47:24
talk:>>632 お前に何が分かるというのか？
634 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/11(水) 09:47:27
補題 A を整域とする。 a ∈ A, a ≠ 0 とする。 aA = IJ となる A のイデアル I, J があるとする。 このとき、I と J は可逆(>>430)である。
証明 aA = IJ だから、IJ(1/a) = A となる。 よって、I と J は可逆である。 証明終
635 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 10:56:52
talk:>>634 お前に何が分かるというのか？
636 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 11:51:07
talk:>>633 お前に何が分かるというのか？
637 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 12:28:55
talk:>>636 お前に何が分かるというのか？
638 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 12:35:48
talk:>>637 お前に何が分かるというのか？
639 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 13:20:51
talk:>>638 お前に何が分かるというのか？
640 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 13:30:59
talk:>>639 お前に何が分かるというのか？
641 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 14:50:02
talk:>>639 お前に何が分かるというのか？
642 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 15:02:19
talk:>>641 お前に何が分かるというのか？
643 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 15:06:55
talk:>>641 お前に何が分かるというのか？
644 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 16:57:39
talk:>>1-643 おまいらに何が分かるというのか？
645 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 18:02:01
talk:>>642 お前に何が分かるというのか？
646 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 18:02:36
talk:>>643 お前に何が分かるというのか？
647 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 18:08:43
talk:>>645 お前に何が分かるというのか？
648 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 18:12:01
talk:>>645 お前に何が分かるというのか？
649 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 18:16:33
talk:>>647-648 お前に何が分かるというのか？
650 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 18:46:06
talk:>>649 お前に何が分かるというのか？
651 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 18:51:50
>>635-650 お前らに何が分かるというのか？
652 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 19:00:46
talk:>>651 お前に何が分かるというのか？
653 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/11(水) 20:10:44
talk:>>650 お前に何が分かるというのか？
654 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 20:20:58
talk:>>653 お前に何が分かるというのか？
655 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 20:24:25
talk:>>653 お前に何が分かるというのか？
656 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 20:34:00
>>652-655 お前らに何が分かるというのか？
657 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 22:10:19
king よ！
ここを去れ！ゴミに反応するな。
658 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 22:22:11
>>1-657 お前ら、俺様のスレを荒らすなよ！
659 ：１３２人目の素数さん：2006/01/11(水) 22:48:46
>>658 あんた誰？
660 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/12(木) 07:05:45
talk:>>654-655 お前に何が分かるというのか？ talk:>>657 私を呼んだか？
661 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/12(木) 10:28:57
補題 A を整域とする。 a ∈ A, a ≠ 0 とする。 aA = (P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。 ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。 このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。
証明
P_1 を {P_1, ..., P_r} の極小元とする。
(Q_1)...(Q_s) ⊂ P_1 だから Q_i ⊂ P_1 となる i がある。
必要なら番号を付けかえて i = 1 と仮定する。
(P_1)...(P_r) ⊂ Q_1 だから P_j ⊂ Q_1 となる j がある。
P_j ⊂ Q_1 ⊂ P_1 だから P_1 の極小性より P_j = P_1 である。
よって、P_1 = Q_1 となる。
>>634より、P_1 は可逆である。 (P_1)(P_2)...(P_r) = (P_1)(Q_2)...(Q_s) の両辺に (P_1)^(-1) を掛けると、(P_2)...(P_r) = (Q_2)...(Q_s) となる。 これから、r に関する帰納法により本補題の主張が得られる。 証明終
662 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 10:49:17
talk:>>660 お前に何が分かるというのか？
663 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/12(木) 11:44:02
talk:>>662 お前に何が分かるというのか？
664 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 12:20:04
talk:>>663 お前に何が分かるというのか？
665 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/12(木) 13:00:06
補題 A を整域とする。 A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に 分解するとする。 P を A の素イデアルとし、a を A の元で P に含まれないものとする。 I = P + aA とする。このとき、I^2 = P + (a^2)A となる。
証明 I^2 = (P_1)...(P_r), P + (a^2)A = (Q_1)...(Q_s) とする。 ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。
φ: A → A/P を標準射とする。 φ(I^2) = φ(P_1)...φ(P_r) であり、 φ(I^2) = φ((P + aA)^2) = φ((a^2)A) である。
他方、φ(P + (a^2)A) = φ(Q_1)...φ(Q_s) であり、 φ(P + (a^2)A) = φ((a^2)A) である。 よって、φ((a^2)A) = φ(P_1)...φ(P_r) = φ(Q_1)...φ(Q_s) となる。
各 P_i にたいして、I^2 ⊂ P_i だから I ⊂ P_i となる。 よって P ⊂ P_i である。 各 Q_j にたいして、P ⊂ Q_j は明らか。
よって、φ(P_i), φ(Q_j) は A/P の素イデアルである。 >>661より、r = s であり、順序を適当に入れ替えると φ(P_i) = φ(Q_i), i = 1, ..., r となる。 よって、P_i = Q_i, i = 1, ..., r となり、 I^2 = P + (a^2)A となる。 証明終
666 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/12(木) 14:19:35
talk:>>664 お前に何が分かるというのか？
667 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 14:23:46
>>666 あらすなよ！
668 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 15:04:49
talk:>>666 お前に何が分かるというのか？
669 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/12(木) 17:47:41
補題 A を整域とする。 A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に 分解するとする。 P を零でない素イデアルとし、I を P ⊂ I で P ≠ I となる イデアルとする。このとき P = PI となる。
証明 PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。 I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、 a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。 >>665より、I^2 = P + (a^2)A となる。 I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、 P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A となる。 x ∈ P とすると、x = y + za + (a^2)b となる。 ここで、y ∈ P^2, z ∈ P, b ∈ A である。 これから、(a^2)b ∈ P となる。a^2 は P に含まれないから b ∈ P である。 よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。 証明終
670 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/12(木) 18:23:22
命題 A を整域とする。 A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に 分解するなら、A はDedekind整域(>>601)である。
証明 P を A の零でない素イデアルとする。 a ∈ P, a ≠ 0 をとり、aA = (P_1)...(P_r) とする。 ここで各 P_i は素イデアルである。 I をイデアルとし、P_i ⊂ I, P_i ≠ I と仮定する。 >>669より、P_i = (P_i)I である。>>634 より P_i は可逆だから I = A となる。よって、各 P_i は極大イデアルである。 (P_1)...(P_r) ⊂ P だから P_i ⊂ P となる i がある。 よって P = P_i となり、P は可逆である。 A の任意の零でないイデアルは有限個の素イデアルの積であるから、 これも可逆である。>>613より A はDedekind整域である。 証明終
671 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/12(木) 22:14:58
talk:>>667 おまえもな。 talk:>>668 お前に何が分かるというのか？
672 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 22:17:35
マジで荒らすなよ。
673 ：１３２人目の素数さん：2006/01/12(木) 23:59:39
talk:>>671 お前に何が分かるというのか？
674 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 09:29:05
>>661の補題の前に次の補題を書いておいたほうが良かった。
補題 A を環とする。 (P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。 ここで各 P_i 及び Q_j は A の可逆な素イデアルである。 このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。
証明 >>661と同様。
675 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 09:45:55
>>670 >A を整域とする。
A を体でない整域とする。
676 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 09:47:57
命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に順序を除いて 一意的に分解される。
証明 分解の可能なことは、>>616 で証明されている。 一意性は>>611と>>674から出る。 証明終
677 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 12:19:37
定義 A を整域とし、K をその商体とする。 K の A-部分加群 I が次の条件を満たすとき I を A の分数イデアル と呼ぶ。 1) I ≠ 0 2) K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。
678 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 12:27:38
命題 A を整域とし、K をその商体とする。 K の A-部分加群 I ≠ 0 が有限生成なら分数イデアル(>>677)である。 A がネーター整域なら逆も成立つ。
証明 明らかだろう。
679 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/13(金) 13:50:44
命題 A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。 A の分数イデアルと K の A-可逆部分加群(>>430) は同じものである。
証明 I を A の分数イデアルとする。 K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。 xI = J とおけば、J は A の非零イデアルであるから >>611 より 可逆である。I = J(1/x) だから I も可逆である。
逆に、K の A-可逆部分加群は、>>504 より A-加群として有限生成 であるから >>678 より分数イデアルである。 証明終
680 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 09:46:37
>>676 一意性は>>611と>>674から出る。
>>616の証明からも一意性は明らか。
681 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 10:01:19
>>634の補題は次のより一般的な補題の系としたほうがよかった。
補題 A を環とし、B を A の全商環(>>362)とする。 M, N を B の A-部分加群とする。 MN が可逆(>>430)なら、M と N も可逆である。
証明 MN が可逆だから、(MN)L = A となる B の A-部分加群 L がある。 よって、M の逆加群は NL であり、N の逆加群は MLである。 証明終
682 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 10:07:04
>>669 の証明は以下のようにほんのわずか修正したほうが分かりやすい。
証明 PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。 I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、 a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。 >>665より、I^2 = P + (a^2)A となる。 I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、 P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A ⊂ P^2 + aA となる。 よって、x ∈ P とすると、x = y + ab となる。 ここで、y ∈ P^2, b ∈ A である。 これから、ab ∈ P となる。a は P に含まれないから b ∈ P である。 よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。 証明終
683 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 10:17:44
>>670 の証明(の本質部分)は、松村(1980年頃)にも Zariski-Samuel(1958年)にも載っているが、 秋月・永田の近代代数学(1957年)にもある。 ただし、この本の証明はやや分かりにくい (本質的には我々のと同じだが)。 この本の備考に、この証明は浅野の代数学１(岩波)からとったとある。 ただし、これだけからは浅野がこの証明の最初の考案者かどうかは 分からない。
684 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 12:02:32
補題 A を整域とする。 I, J を A の分数イデアル(>>677)とする。 IJ, I + J, I ∩ J も分数イデアルである。
証明 K を A の商体とする。 K の元 x ≠ 0 と y≠ 0 で xI ⊂ A, yJ ⊂ A となるものがある。 x = a/b, a ∈ A, b ∈ A とすると、aI ⊂ bA ⊂ A だから、 x, y は A の元と仮定してよい。
xyIJ ⊂ A, xy(I + J) ⊂ A, xy(I ∩ J) ⊂ A は明らか。
分数イデアルの定義(>>677) より I ≠ 0, J ≠ 0 である。 A は整域だから、IJ ≠ 0 である。 I + J ≠ 0 は明らか。 xyIJ ⊂ xI ∩ yJ ⊂ I ∩ J だから、I ∩ J ≠ 0 である。 証明終
685 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 12:48:22
>>681
しつこいけど、この補題は単位半群、即ちモノイドにおける 命題として定式化出来るね。
686 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13:02:58
定義
A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。
M, N を B の A-部分加群とする。
B の部分集合 {x ∈ B; xN ⊂ M} はA-部分加群である。
これを、(M : N) と書く。
687 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13:03:38
補題 A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。 M, N_1, N_2 を B の A-部分加群とする。 (M : N_1 + N_2) = (M:N_1) ∩ (M:N_2) である。
証明 明らか。
688 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13:04:55
補題 A を整域とし、K をその商体とする。 M を K の A-部分加群とする。 x ≠ 0 を K の元とすると、(M : xA) = M(1/x) である。
証明 明らか。
689 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13:07:49
補題 A を整域とする。 M, N を A の分数イデアル(>>677)とする。 N が A-加群として有限生成なら、(M : N) も分数イデアルである。
証明 >>684, >>687, >>688 よりでる。
証明終
690 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 13:52:12
命題 A を環、B を平坦な A-代数(>>221)とする。 L を A-加群、M, N を L の A-部分加群とする。 (M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。
ここで、(M ∩ N)(x)B, M(x)B, N(x)B は、B の平坦性により、 それぞれ L(x)B の部分加群と見なしている。
証明 完全列 0 → M ∩ N → L → L/M + L/N (直和) より、完全列 0 → (M ∩ N)(x)B → L(x)B → (L/M)(x)B + (L/N)(x)B (直和) が得られる。
B の平坦性により、 (L/M)(x)B = (L(x)B)/(M(x)B), (L/N)(x)B = (L(x)B)/(N(x)B) だから、 (M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。 証明終
691 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 14:04:44
補題 A を整域とし、K をその商体とする。 M, N を K の A-部分加群とする。 S を A の積閉集合とする。 N が A-加群として有限生成なら、 (M : N)_S = (M_S : N_S) である。
証明 N が１個の元で生成されるときは、>>688 より明らか。 一般のときは、>>687 と >>690 より出る。 証明終
692 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 14:34:32
補題 A を整域とし、K をその商体とする。 M, N を K の有限生成 A-部分加群とする。 A のすべての極大イデアル m に対して MA_m = NA_m なら M = N である。
証明 A のすべての極大イデアル m に対して NA_m ⊂ MA_m なら N ⊂ M であることを示せばよい。
I = {x ∈ A; xN ⊂ M} とおく。I は A のイデアルである。
N の生成元を x_1, ..., x_n とする。
NA_m ⊂ MA_m より、(s_i)(x_i) ⊂ M となる s_i ∈ A - m がある。
s = (s_1)...(s_n) とすれば、sN ⊂ M となる。
よって s ∈ I となる。s ∈ A - m だから、I は m に含まれない。
m は A の任意の極大イデアルだから I = A である。
よって、特に 1 ∈ I だから、N ⊂ M である。
証明終
693 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 16:00:23
次の命題は >>235 などを使っても証明出来るが、別の証明を述べる。
命題 A をネータ整域とし、K をその商体とする。 M を A の分数イデアル(>>677)とする。 A のすべての極大イデアル m に対して MA_m が K の A_m -部分加群として可逆(>>430)なら、 M は A-部分加群として可逆(>>430)である。
証明 m を A の任意の極大イデアルとする。 MA_m = M_m は可逆だから >>503 より (M_m)(A_m ; M_m) = A_m である。 一方、A はネーターだから、>>678 より M は有限生成である。 よって、>>691 より M(A : M)A_m = (M_m)(A_m ; M_m) である。 よって、M(A : M)A_m = A_m である。
>>689 より (A : M) は分数イデアルである。 A はネーターだから、>>678 より (A : M) は有限生成である。 よって、M(A : M) も有限生成である。 よって、>>692 より M(A : M) = A となる。 証明終
694 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/16(月) 16:11:49
>>611 の命題の別証明
命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は可逆(>>430)である。
証明 p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、>>585 より A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の可逆イデアルである。 >>693 より I は可逆である。 証明終
695 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/16(月) 16:21:25
いつも何してるんですか。 思い切って聞いてみました。
696 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 17:36:36
ゆんゆんちゃんが黙殺されますた。ご愁傷様でつ。
697 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 17:41:44
ゆんゆんて誰？ kingみたいな人？
698 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 17:44:40
kingよりもずっと偉いお方じゃ！無礼者め！
699 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/16(月) 17:48:12
talk:>>698 なんだと？
700 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 18:03:59
>>698 ははー、失礼いたしますた。 kingより偉いことはわかったでつ。もう少し、く・わ・し・く！
