最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時34分58秒
代数的整数論 006 (701-800)
元スレ： http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/701-800
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/701-800
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701 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/20(月) 23:34:50
命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(>>414)とする。
E を 左 K-加群とし、p と q を E の同値(>>570)な ノルム(>>561)とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする E の元の族とする。
(x_i), i ∈ I がノルム p に関して絶対総和可能なことと ノルム q に関して絶対総和可能なことは同値である。
証明 >>573 より、 実数 a ＞ 0, b ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して ap(x) ≦ q(x) ≦ bp(x)
よって、各 i に対して ap(x_i) ≦ q(x_i) ≦ bp(x_i)
よって、>>700 より本命題の主張が得られる。 証明終
702 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:09:09
a
703 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:09:42
b
704 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:10:13
c
705 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:10:44
d
706 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:11:15
e
707 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:11:47
f
708 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:12:25
g
709 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:13:33
h
710 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:14:04
i
711 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:14:35
j
712 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:15:10
k
713 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:15:41
l
714 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:16:12
m
715 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:16:44
n
716 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:18:10
o
717 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:18:41
p
718 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:19:12
q
719 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:19:42
r
720 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:20:13
s
721 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:20:45
t
722 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:21:16
u
723 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:22:09
v
724 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:22:41
w
725 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:23:12
x
726 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:23:43
y
727 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 03:24:15
z
728 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 04:10:00
91
729 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 04:11:00
90
730 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 04:12:01
89
731 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 04:13:00
90
732 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 04:14:00
89
733 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 04:15:00
88
734 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 07:46:31
訂正
>>691 >|f(y)| ≦ α は x = 0 のときも成り立つ。
|f(y)| ≦ α は y = 0 のときも成り立つ。
735 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 08:08:59
命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(>>414)とする。
E を K 上の完備ノルム空間とし、 (x_i), i ∈ I を I を添字集合とする E の元の族とする。
(x_i) が絶対総和可能(>>697)なら総和可能(>>147)でもある。
証明 I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。 J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i, T(J) = Σ|x_i| とおく。 |S(J)| ≦ T(J) である。
>>152 より 任意の ε ＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、 K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら T(K) ＜ ε となる。
|S(K)| ≦ T(K) だから S(K) は Cauchy の判定条件(>>153)を満たす。 E は完備だから >>158 より (x_i) は総和可能である。 証明終
736 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 08:17:33
定義 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(>>414)とする。
E を K 上のノルム空間とし、 (x_n), n ∈ Z+ を E の点列とする。
級数 Σ|x_n| が実数体 R において収束するとき 級数 Σx_n は絶対収束すると言う。
737 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 08:24:55
定義 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(>>414)とする。
E を K 上の完備ノルム空間とし、 (x_n), n ∈ Z+ を E の点列とする。
級数 Σx_n が絶対収束(>>736)するなら級数 Σx_n は 可換収束(>>186)する。
証明 Σx_n が絶対収束するから (x_n) は絶対総和可能(>>697)である。 >>735 より (x_n) は総和可能(>>147)でもある。 >>187 より 級数 Σx_n は可換収束する。 証明終
738 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 08:33:42
>>66 より C^n では (x_i) が総和可能であることと、絶対総和可能であることは 同値である。
しかし、一般の完備ノルム空間では >>735 の逆は必ずしも 成り立たない。
739 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 09:19:39
一般の完備ノルム空間では >>735 の逆は必ずしも 成り立たない例を挙げる(Bourbaki)。
有界実数列全体を B(Z+) とする。 α = (x_n) ∈ B(Z+) のとき |α| = sup |x_n| とする。 容易にわかるように B(Z+) は | | で完備なノルム空間になる。
B(Z+) の点列 (α_n) を以下のように定める。 α_n = (x_(n, m)), m ∈ Z+ とする。
n ≠ m のとき x_(n, m) = 0 n ＞ 0 のとき x_(n, n) = 1/n x_(0, 0) = 0
点列 (α_n) は２次元平面の格子点 (n, m) を考えると分かりやすい。
点列 (α_n) は総和可能でその和は Σα_n = β である。 ここで β = (y_n) ∈ B(Z+) で、 n ＞ 0 のとき y_n = 1/n, n = 0 のとき y_0 = 0 である。
一方、n ＞ 0 のとき |α_n| = 1/n だから (|α_n|) は総和可能でない。
740 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 09:55:29
命題 A を完備なノルム環(>>694)とする。
x ∈ A で |x| ＜ 1 なら 1 - x は A の可逆元であり 1/(1 - x) = Σx^n である。
ここで Σx^n は絶対収束(>>736)する。
証明 |x^n| ≦ |x|^n であり Σ|x|^n は収束するから >>700 より Σ|x^n| も収束する。 よって >>735 より (x^n) は総和可能である。 従って、級数 Σx^n は収束する。
(1 - x)(1 + x + . . . + x^n) = 1 - x^(n+1)
この等式の両辺の n → ∞ の極限をとれば
(1 - x)(Σx^n) = 1
同様に (Σx^n)(1 - x) = 1
よって (1 - x) は可逆で、1/(1 - x) = Σx^n である。 証明終
741 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 11:11:38
命題 A を完備なノルム環(>>694)とする。
A の可逆元全体 G は A の開集合である。
証明
V = { x ∈ A ; |1 - x| ＜ 1 } とおく。
>>740 より V ⊂ G である。
V は A の開集合である。
a ∈ G のとき x → ax は A の位相同型である。 従って aV は A の開集合である。 aV ⊂ G で a ∈ V だから G は A の開集合である。 証明終
742 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 11:58:31
命題 A を完備なノルム環(>>694)とする。
A の可逆元全体 G は A の部分空間としての位相で位相群になる。
証明 (x, y) → xy が G×G で連続なことは明らかである。 よって x → 1/x が G で連続なことを示せばよい。
a を G の任意の元とする。 x ∈ G に対して 1 - u = (1/a)x とおく。 即ち u = 1 - (1/a)x = (1/a)(a - x) とおく。
|u| ≦ |1/a||x - a| だから |x - a| ＜ |a| なら |u| ＜ 1 である。 よって >>740 より Σu^n は収束する。
1/(1 - u) = (1/x)a だから
1/x = (1/(1 - u))(1/a) = (1 + u + u^2 + . . .)(1/a) = 1/a + (u + u^2 + . . . )(1/a)
よって |1/x - 1/a| ≦ |1 + u + u^2 + . . . ||u||1/a| ≦ |1 + u + u^2 + . . . |(|1/a|^2)|x - a|
|1 + u + u^2 + . . . | ≦ Σ|u|^n = 1/(1 - |u|) よって |x - a| → 0 のとき |1 + u + u^2 + . . . | は有界である。 よって x → 1/x は a で連続である。 証明終
743 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 22:17:59
補題 A を完備なノルム環(>>694)とする。
>>742 より A の可逆元全体 G は A の部分空間としての位相で 位相群になる。
G の左一様構造に関する Cauchy フィルター Φ は A の加法一様構造に関しても Cauchy フィルターの基底である。
証明 任意の ε に対して M ∈ Φ があり任意の x ∈ M, y ∈ M に対して |(1/x)y - 1| ＜ ε となる。このとき、|y - x| ＜ ε|x| となる。
M の元 a を選び ε' = ε/((1 + ε)|a|) とおく。
N ∈ Φ で N ⊂ M となり、任意の x ∈ N, y ∈ N に対して |(1/x)y - 1| ＜ ε' となるものがある。 |y - x| ＜ ε'|x| となる。
|x - a| ＜ ε|a| だから |x| ≦ |x - a| + |a| ≦ ε|a| + |a| = (1 + ε)|a|
よって |y - x| ＜ ε'|x| ≦ ε'(1 + ε)|a| = ε 即ち、Φ は A の加法一様構造に関して Cauchy フィルター の基底である。 証明終
744 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 22:40:30
命題 A を完備なノルム環(>>694)とする。
>>742 より A の可逆元全体 G は A の部分空間としての位相で 位相群になる。
G はその左一様構造(>>200)および右一様構造(>>200)に関して 完備である。
証明 >>743 より G の左一様構造に関する Cauchy フィルター Φ は A の加法一様構造に関して Cauchy フィルターの基底である。
A は完備なので b ∈ A があり、Φ は b に収束する。
任意の 0 ＜ ε ＜ 1 に対して M ∈ Φ があり 任意のx ∈ M, y ∈ M に対して |(1/x)y - 1| ＜ ε となる。 このとき |y - x| ＜ ε|x| である。
任意の ε' に対して N ∈ Φ で N ⊂ M となるものがあり、 任意の z ∈ N に対して |z - b| ＜ ε' となる。
|b - x| ≦ |b - z| + |z - x| ≦ ε' + ε|x|
ε' → 0 とすると |b - x| ≦ ε|x| よって |(1/x)b - 1| ＜ ε となる。 ε ＜ 1 だから >>740 より (1/x)b ∈ G である。 従って b ∈ G である。 即ち G の左一様構造に関して Φ は b に収束する。
G の右一様構造(>>200)に関しても同様である。 証明終
745 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 22:45:59
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | おやすみ Kummer ！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
746 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 23:27:21
命題 A を完備なノルム環(>>694)とする。
x ∈ A で |x| ＜ 1 なら 1 + x は A の可逆元であり 1/(1 + x) = Σ(-1)^n(x^n) である。
さらに、
|1/(1 + x) - 1 + x| ≦ |x|^2/(1 - |x|)
証明 1/(1 + x) = Σ(-1)^n(x^n) は >>740 において x を -x に 置きかえればよい。
|1/(1 + x) - 1 + x| ≦ |x|^2 + |x|^3 + . . . = |x|^2/(1 - |x|) 証明終
747 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 23:44:27
命題 A を完備なノルム環(>>694)とする。
x を A の可逆元とする。h ∈ A で |h| ＜ |x| とする。 |x| = α, |h| = β とおく。
x + h は可逆であり、
|1/(x + h) - 1/x + (1/x)h(1/x)| ≦ β^2/(α^2(α - β))
証明 |h/x| ＜ 1 だから >>746 より 1 + (1/x)h は可逆である。 x + h = x(1 + (1/x)h) だから x + h も可逆である。
1/(x + h) = (1/(1 + (1/x)h))(1/x)
よって 1/(x + h) - 1/x + (1/x)h(1/x) = (1/(1 + (1/x)h) - 1 + (1/x)h)(1/x)
>>746 より |(1/(1 + (1/x)h) - 1 + (1/x)h)(1/x)| ≦ (β^2/α^2)/α(1 - β/α) = β^2/(α^2(α - β)) 証明終
748 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 23:53:39
定義 複素数体 C 上の完備なノルム環(>>694) A を Banach 代数と言う。
x ∈ A に対して x - λ が可逆とならない λ 全体の集合を x のスペクトルと言い、σ(x) と書く。
749 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/21(火) 23:57:30
Rudin の Real and complex analysis に従って Banach 体 に関する Gelfand-Mazur の定理を証明する。
750 ：１３２人目の素数さん：2007/08/21(火) 23:58:19
くやしいのうｗｗｗｗ くやしいのうｗｗｗｗ くやしいのうｗｗｗｗ くやしいのうｗｗｗｗ くやしいのうｗｗｗｗ くやしいのうｗｗｗｗくやしいのうｗｗｗｗくやしいのうｗｗｗｗくやしいのうｗｗｗｗくやしいのうｗｗｗｗくやしいのうｗｗｗｗくやしいのうｗｗｗｗくやしいのうｗｗｗｗくやしいのうｗｗｗｗくやしいのうｗｗｗｗくやしいのうｗｗｗｗ
751 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 00:12:36
命題 A を Banach 代数(>>748)とする。
任意の x ∈ A に対して σ(x) はコンパクトである。 さらに λ ∈ σ(x) なら |λ| ≦ |x| である。
証明 G を A の可逆全体とする。 |λ| ＞ |x| なら >>740 より 1 - (1/λ)x ∈ G である。
x - λ = -λ(1 - (1/λ)x) だから x - λ ∈ G である。 よって λ ∈ σ(x) なら |λ| ≦ |x| である。 即ち、σ(x) は有界集合である。
f(λ) = x - λ により、写像 C → A を定義する。 f は連続であり、σ(x) = f^(-1)(A - G) である。 >>741 より G は A の開集合である。 よって σ(x) は閉集合である。
σ(x) は有界だからコンパクトである。 証明終
752 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 00:51:43
命題 A を Banach 代数(>>748)とする。 ψ : A → C を連続線形写像とする。
x ∈ A を任意にとり固定する。 f(λ) = ψ(1/(x - λ)) は A - σ(x) で定義される。
f(λ) は正則関数である。 さらに λ → ∞ のとき f(λ) → 0 である。
証明 >>747 において x を x - λ に置き換え、h を λ - μ に 置き換えると |1/(x - μ) - 1/(x - λ) + (λ - μ)/(x - λ)^2)| ≦ C|μ - λ|^2
ここで C は x と λ のみで決まる定数である。 μ は λ に十分小さい複素数である。
μ → λ のとき (1/(x - μ) - 1/(x - λ))/(μ - λ) → 1/(x - λ)^2
よって、μ → λ のとき ψ((1/(x - μ) - 1/(x - λ))/(μ - λ)) → ψ(1/(x - λ)^2) 即ち、μ → λ のとき (f(μ) - f(λ))/(μ - λ) → ψ(1/(x - λ)^2) 従って f(λ) は A - σ(x) で正則である。
λf(λ) = ψ(λ/(x - λ)) = ψ(1/(x/λ - 1)) >>742 より、G において x → 1/x は連続だから λ → ∞ のとき λf(λ) → ψ(-1) である。 よって、λ → ∞ のとき f(λ) → 0 である。 証明終
753 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 01:01:49
次の Hahn-Banach の定理の証明は後で述べる。
754 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 01:03:48
定理(Hahn-Banach) K を実数体または複素数体とする。 E を K 上のノルム空間(>>561)とし、F をその部分空間とする。
f : F → K を連続線形写像とする。 連続線形写像 g: E → K で、f の拡張であり、|f| = |g| となる ものが存在する。 ここで、|f|, |g| はそれぞれ f, g のノルム(>>690)である。
755 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 01:21:19
命題 K を実数体または複素数体とする。 E を K 上のノルム空間(>>561)とする。
E の任意の元 x ≠ 0 に対して 連続線形写像 f: E → K で、f(x) ≠ 0 となるものが存在する。
証明 x で生成される E の１次元部分空間を F とする。 線形写像 h: F → K で h(x) = 1 となるものが一意に存在する。
λ ∈ K のとき、 |h(λx)| = |λh(x)| = |λ| よって、|λx| ≦ 1 のとき、即ち、|λ| ≦ 1/|x| のとき |h(λx)| ≦ 1/|x| である。 よって、|h| ≦ 1/|x| である。 よって、>>693 より h は連続である。 >>754 より h は連続線形写像 f: E → K に拡張される。 f が求めるものである。 証明終
756 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 01:32:38
訂正
>>752 >f(λ) = ψ(1/(x - λ)) は A - σ(x) で定義される。
f(λ) = ψ(1/(x - λ)) は C - σ(x) で定義される。
757 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 01:38:33
命題 A を Banach 代数(>>748)とする。 任意の x ∈ A に対して σ(x) は空ではない。
証明 σ(x) が空であるとする。
任意の λ ∈ C に対して x - λ は可逆である。 特に、例えば λ = 0 として x は可逆である。 従って、>>755 より、連続線形写像 ψ : A → C で ψ(1/x) ≠ 0 となるものが存在する。
>>752 より f(λ) = ψ(1/(x - λ) は全複素平面で正則で、 λ → ∞ のとき f(λ) → 0 である。 よって f(λ) は有界である。 複素関数論の Liouville の定理より f(λ) は定数 0 である。 しかし、ψ(1/x) ≠ 0 だから f(0) ≠ 0 である。 これは矛盾である。 証明終
758 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 01:59:23
定理(Gelfand-Mazur) A を Banach 代数(>>748)で必ずしも可換とは限らない体とする。 このとき A は複素数体 C と Banach 代数として標準的に同型である。
証明 x ∈ A と複素数 λ ≠ μ に対して x - λ ≠ x - μ だから 少なくとも x - λ と x - μ のどちらか一方は 0 でない。 よって、どちらか一方は可逆である。 よって、σ(x) は相異なる２点を含まない。 >>257 より σ(x) は空でないから１点のみからなる。 その点を λ(x) とする。 x - λ(x) は可逆でないから x - λ(x) = 0 である。 よって x = λ(x) である。 よって φ : C → A を標準写像、即ち φ(λ) = λ1 とすると、 φ(C) = A である。
>>695 より φ は位相体としての同型である。 |λ1| = |λ| だから φ は Banach 代数として同型である。 証明終
759 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 04:10:00
98
760 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 04:11:00
97
761 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 04:12:00
96
762 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 04:13:01
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763 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 04:14:00
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764 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 04:15:00
93
765 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 08:52:23
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | おはよう Kummer ---！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
766 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 09:12:35
／＼ ／ ＼ ／ ＼ ／ 熱湯注意. ＼ ／ ＼ ／ 〇∧〃 ＼ ＼ | ∬ ／ >∬｜ ／ ＼ |～～＜＼～.| ／ ＼└――――‐┘／ ＼日本ﾃﾚﾋﾞ ／ ＼ ／￣ﾞﾞ`∩ ＼／ノ ヽ, ヽ | |● ● i'ﾞ￣ﾞﾞﾞ`''､ | | (_●_) ﾐノ ヽ ヾつ | | ヽノ ノ● ● i | ｛ヽ,__ ）´(_●_) ｀,ﾐ | | ヽ / ヽノ ,ノ
767 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 10:36:21
補題 E を実数体 R 上のノルム空間とし、f : E → R を連続線形写像とする。 このとき任意の x ∈ E, y ∈ E に対して、次の不等式が成り立つ。
f(x) - |f||x - a| ≦ f(y) + |f||y - a|
証明 f(x) - f(y) = f(x - y) ≦ |f||x - y| ≦ |f|(|x - a| + |y - a)| よって f(x) - |f||x - a| ≦ f(y) + |f||y - a| 証明終
768 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 10:42:36
補題 E を実数体 R 上のノルム空間とし、F をその部分空間とする。 f : F → R を連続線形写像とする。 a ∈ E - F に対して L = F + Ra とおく。
連続線形写像 g: L → R で、f の拡張であり、|f| = |g| となる ものが存在する。 ここで、|f|, |g| はそれぞれ f, g のノルム(>>690)である。
証明 >>767 より、任意の x ∈ E, y ∈ E に対して、 f(x) - |f||x - a| ≦ f(y) + |f||y - a|
よって、α = sup{f(x) - |f||x - a|} とおくと
f(x) - |f||x - a| ≦ α ≦ f(x) + |f||x - a|
即ち、|f(x) - α| ≦ |f||x - a|
両辺に |-λ| を掛けると |f(-λx) + λα| ≦ |f||-λx + λa|
λ ≠ 0 のとき y を F の任意の元とし、x = -(1/λ)y とおくと |f(y) + λα| ≦ |f||y + λa|
λ = 0 のときもこの不等式は |f(y)| ≦ |f||y| になり成り立つ。 よって g(y + λa) = f(y) + λα と定義すると g: L → R は線形写像で |g| ≦ |f| である。 g は f の拡張であるから |f| ≦ |g| である。 よって |g| = |f| である。 |g| は有限であるから >>693 より、g は連続である。 証明終
769 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 11:12:40
命題(Hahn-Banach) E を 実数体 R 上のノルム空間(>>561)とし、F をその部分空間とする。
f : F → R を連続線形写像とする。 連続線形写像 g: E → R で、f の拡張であり、|f| = |g| となる ものが存在する。 ここで、|f|, |g| はそれぞれ f, g のノルム(>>690)である。
証明 F を含む E の部分空間 M と 線形写像 h: M → R で f の拡大であり |h| = |f| となるものの対 (M, h) 全体を Ψ とする。 (M, h) ≦ (M', h') を M ⊂ M', h' は h の拡張と定義する。 これは明らかに Ψ の順序関係である。 Ψ_0 を Ψ の全順序部分集合とする。
(M, h) ∈ Ψ_0 となる M 全部の和集合を M~ とすると、 M~ は E の部分空間である。 x ∈ M~ のとき (M, h) ∈ Ψ_0 があり、x ∈ M だから H(x) = h(x) により写像 H : M~ → R を定義する。 Ψ_0 は (M, h) ≦ (M', h') により全順序集合になっているから H(x) は x ∈ M となる (M, h) ∈ Ψ_0 の選び方によらない。 H(x) は明らかに線形写像である。
x ∈ M~ で |x| ≦ 1 のとき (M, h) ∈ Ψ_0 で x ∈ M とすると、 |H(x)| = |h(x)| ≦ |h| = |f| よって |H| ≦ |f| である。H は F で f と一致するから |f| ≦ |H| である。 よって |H| = |f| となり、(M~, H) ∈ Ψ_0 である。 以上から Zorn の補題により Ψ には極大元 (M_0, h_0) が存在する。 E ≠ M_0 とすると、>>768 より (M_0, h_0) は極大元でなくなる。 よって E = M_0 であり、g = h_0 が求めるものである。 証明終
770 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 11:33:29
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● |_ | ( _●_) ⊂ ｀￣＼ 俺もアホだけどコイツには負ける 彡､ |∪| ｀￣ ノ ／＿＿ ヽノ /￣￣ (＿＿＿） /
771 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 11:35:25
E を複素数体 C 上のノルム空間(>>561)とし、 f : E → C を連続線形写像とする。
Re(f(x)) = u(x) とおく。
u : E → C は E と C をそれぞれ実数体 R 上の線形空間とみたとき、 R-線形写像である。
z = a + bi を複素数としたとき Re(iz) = -b である。 よって z = Re(z) - iRe(iz)
Re(if(x)) = Re(f(ix)) = u(ix) であるから
f(x) = u(x) - iu(ix) である。
772 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 11:52:24
補題 E を複素数体 C 上のノルム空間(>>561)とする。 u : E → R を連続な R-線形写像とする。
f(x) = u(x) - iu(ix) により f : E → C を定義する。
f は連続な C-線形写像であり、|f| = |u| である。
証明 x ∈ E, y ∈ E, α ∈ R のとき f(x + y) = f(x) + f(y) f(αx) = αf(x) は明らかである。
f(ix) = u(ix) - iu(-x) = u(ix) + iu(x) = if(x)
よって f は C-線形写像である。
V の元 x ≠ 0 に対して λ = |f(x)|/f(x) とおくと、 |λ| = 1 であり、λf(x) = |f(x)| である。
このとき f(λx) = λf(x) = |f(x)| は実数だから f(λx) = u(λx) である。 よって |f(x)| = f(λx) = u(λx) ≦ |u||λx| = |u||x| よって |f| ≦ |u| である。
他方、|u(x)| ≦ |f(x)| だから |u| ≦ |f| である。 よって |f| = |u| である。 証明終
773 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 12:06:44
定理(Hahn-Banach) E を複素数体 C 上のノルム空間(>>561)とし、F をその部分空間とする。
f : F → C を連続線形写像とする。 連続線形写像 g: E → C で、f の拡張であり、|f| = |g| となる ものが存在する。 ここで、|f|, |g| はそれぞれ f, g のノルム(>>690)である。
証明 x ∈ F のとき、u(x) = Re(f(x)) とおく。 u : F → R は R-線形写像で |u(x)| ≦ |f(x)| だから |u| ≦ |f| である。 f(x) = u(x) - iu(ix) だから >>772 より |u| = |f| である。
>>769 より u は U : E → R に拡張される。 ここで |U| = |u| である。
g(x) = U(x) - iU(ix) により g : E → C を定義する。
>>772 より g は連続な C-線形写像であり、|g| = |U| = |u| = |f| である。
x ∈ F のとき g(x) = u(x) - iu(ix) = f(x) だから g が求めるものである。 証明終
774 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 13:01:57
K を可換体とする。 | | を K の自明でない絶対値(>>414)とする。 A を K 上のノルム環とする。
K の完備化(>>475)を K^ とし、 A の位相アーベル群としての完備化を A^ とする。
A は位相環だから A^ も位相環である(>>371)。
>>577 より A^ は K^ 上のノルム空間となる。
等式延長の原理(>>265)より 任意の λ ∈ K^, x ∈ A^, y ∈ A^ に対して (λx)y = x(λy) = λ(xy) となる。
不等式延長の原理(>>473)より 任意の x ∈ A^, y ∈ A^ に対して |xy| ≦ |x||y| となる。
以上から A^ は K^ 上のノルム環となる。
775 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 13:10:22
>>774 の補足。
>>577 より A^ の位相は A^ のノルムから定義されたものと一致する。
776 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 13:31:14
補題 K を可換体とする。 | | を K の自明でない絶対値(>>414)とする。 A を K 上のノルム環で必ずしも可換とは限らない体とする。
A - {0} における写像 f(x) = 1/x は
任意の δ ＞ 0 に対して、
|x| ≧ δ において一様連続である。
証明
任意の x ∈ A - {0}, y ∈ A - {0} に対して
|1/x - 1/y| = |(1/x)(y - x)(1/y)| ≦ |x - y|/(|x||y|)
である。
δ ＞ 0 に対して、 |x| ≧ δ |y| ≧ δ とする。
任意の ε ＞ 0 に対して、|x - y| ＜ (δ^2)ε なら
|1/x - 1/y| ≦ |x - y|/(|x||y|) ＜ ε
従って写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 証明終
777 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 13:36:19
命題 K を可換体とする。 | | を K の自明でない絶対値(>>414)とする。 A を K 上のノルム環で必ずしも可換とは限らない体とする。
>>774 より A^ は K^ 上のノルム環となる。 このとき A^ は必ずしも可換とは限らない体になる。
証明 >>382 より分離位相体 A の完備化環 A^ が位相体であるためには A^* に含まれ、0 に収束しない (A の加法群に関する) Cauchy フィルター Φ の基底 Φ_0 の写像 f(x) = 1/x による像が (A の加法群に関する) Cauchy フィルターの基底であることが 必要十分である。
Φ_0 は 0 に収束しないから δ ＞ 0 と A ∈ Φ があり x ∈ A なら |x| ≧ δ となる。
>>776 より、任意の δ ＞ 0 に対して、 写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。
Φ_1 = { B ∈ Φ_0 ; B ⊂ A } は Φ の基底である。
>>240 より f(Φ_1) は Cauchy フィルターの基底である。
従って f(Φ_0) も Cauchy フィルターの基底である。
これで A^ が位相体であることが証明された。
証明終
778 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 13:46:01
定理(Gelfand-Mazur) A を複素数体上の(必ずしも完備とは限らない)ノルム環で 必ずしも可換とは限らない体とする。
このとき A は複素数体に標準的に同型である。
証明 >>777 より A の完備化 A^ は Banach 代数(>>748)で 必ずしも可換とは限らない体となる。
>>758 より A^ は複素数体に標準的に同型である。 よって A も複素数体に標準的に同型である。 証明終
779 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 17:10:38
K を実数体 R 上の完備なノルム環(>>694) で可換な体とする。 さらに、K には j^2 = -1 となる元 j があるとする。
σ : C → L を σ(a + bi) = a + bj で定義する。 ここで、a ∈ R, b ∈ R である。 σ は体としての同型である。
z ∈ C のとき φ(z) = |σ(z)| と定義する。
z ∈ C, w ∈ C のとき
φ(z + w) = |σ(z + w)| = |σ(z) + σ(w)| ≦ φ(z) + φ(w)
α ∈ R のとき φ(αz) = |σ(αz)| = |σ(α)σ(z)| = |ασ(z)| = |α|φ(z)
よって φ は C を R-線形空間と見て C のノルム(>>561)である。
φ(zw) ≦ |σ(zw)| = |σ(z)σ(w)| ≦ |σ(z)||σ(w)| = φ(z)φ(w)
よって C は φ により R 上のノルム環(>>694)である。
σ : C → L により C と L を同一視する。
x ≠ 0 を K の元とする。h ∈ K で |h| ＜ |x| とする。 |x| = α, |h| = β とおく。
>>747 と同様に、x + h は可逆であり、
|1/(x + h) - 1/x + (1/x)h(1/x)| ≦ β^2/(α^2(α - β))
である。
780 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 17:26:00
>>779 の続き。
C を φ により R 上のノルム空間と見ると、 >>651 より、これは C の通常の位相を引き起こす。
よって >>573 より、 実数 a ＞ 0, b ＞ 0 が存在して任意の z ∈ C に対して a|z| ≦ φ(z) ≦ b|z| となる。 ここで |z| は通常の絶対値である。
K ≠ C と仮定する。 x ∈ K - C を任意にとり固定する。
ψ : K → C を連続線形写像とする。 f(λ) = ψ(1/(x - λ)) は全複素平面 C で定義される。
|1/(x + h) - 1/x + (1/x)h(1/x)| ≦ β^2/(α^2(α - β)) において x を x - λ に置き換え、h を λ - μ に 置き換えると
φ(μ - λ) ≦ b|μ - λ| に注意して、
|1/(x - μ) - 1/(x - λ) + (λ - μ)/(x - λ)^2)| ≦ C|μ - λ|^2
ここで C は x と λ のみで決まる定数である。 μ は λ に十分小さい複素数である。
>>752 と同様に f(λ) は C で正則で、 λ → ∞ のとき f(λ) → 0 である。 よって 複素関数論の Liouville の定理より f(λ) は定数 0 である。
781 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 17:26:19
クマクマなはは
782 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 17:30:04
>>780 の続き。
>>755 より、連続線形写像 ψ : K → C で ψ(1/x) ≠ 0 となるものが存在する。
このとき、f(0) ≠ 0 である。 これは矛盾である。 よって K = C である。
以上をまとめると次の命題が得られる。
783 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 17:31:50
命題 K を実数体 R 上の完備なノルム環(>>694) で可換な体とする。 さらに、K には j^2 = -1 となる元 j があるとする。
このとき K は複素数体と体として標準的に同型である。
784 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 17:36:00
命題 K を実数体 R 上の(完備とは限らない)ノルム環(>>694) で、 可換な体とする。 さらに、K には j^2 = -1 となる元 j があるとする。
このとき K は複素数体と体として標準的に同型である。
証明 >>777 より K の完備化 K^ は R 上の完備なノルム環で可換な体である。 よって >>783 より K^ は複素数体と体として標準的に同型である。 よって K も複素数体と体として標準的に同型である。 証明終
785 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 18:33:25
命題 K を実数体 R 上の(完備とは限らない)ノルム環(>>694) で、 可換な体とする。 さらに、K には x^2 = -1 となる元 x が存在しないとする。
このとき K は実数体と体として標準的に同型である。
証明 L を K に X^2 + 1 の根 j を添加した体とする。 L の任意の元は x + yj と一意に書ける。 ここで x と y は K の元である。
|x + yj| = |x| + |y| と定義する。
明らかに L は | | により R 上のノルム空間になる。
z = x + yj z' = x' + y'j を L の２元とすると
|zz'| = |(x + yj)(x' + y'j)| = |xx' - yy'| + |xy' + x'y| ≦ |xx'| + |yy'| + |xy'| + |x'y| ≦ |x||x'| + |y||y'| + |x||y'| + |x'||y| = (|x| + |y|)(|x'| + |y'|) = |z||z'|
従って L は | | により R 上のノルム環になる。 >>784 より L は複素数体と標準的に同型である。 R ⊂ K ⊂ L で K ≠ L だから K = R である。 証明終
786 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 19:26:17
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | おはよう Kummer ---！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | つ / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
787 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 19:26:58
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | おはよう Kummer ---！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | ⊃ / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
788 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 19:27:49
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | おはよう Kummer ---！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | ⊃ / | ／ω＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
789 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 20:52:16
>>778
「複素数体上の」ノルム環と言うのが、本質的ですよね。 これが「実数体上」と言う条件に置き換わると、 非可換な場合は、４元数体に同型になるのだろうか？？
790 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/22(水) 20:57:15
>>789
そうです。 それをこれからやろうとしてます。
791 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 21:00:49
>>790
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | 無限次元のノルム環はないのか Kummer ---！？ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | つ / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
792 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 21:10:53
>>791
あっても、体にはならないんじゃないか？
793 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:23:05
a
794 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:23:36
b
795 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:24:08
c
796 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:24:39
d
797 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:25:17
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798 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:25:48
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799 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:26:19
g
800 ：１３２人目の素数さん：2007/08/22(水) 23:26:44
king
