最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時17分30秒
代数的整数論 006 (391-455)
元スレ： http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/391-455
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1185363461/391-455
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391 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 12:53:25
○＿○ ( ･(ェ)･) ＿(__つ/￣￣￣/＿ 代数的整数論、いつも熱心に書いてあるな。 ＼/ / ￣￣￣ ○＿○ ( ･(ェ)･) ＿(__つ/￣￣￣/＿ ん？最近荒らしが多いな。 ＼/ /
○＿○ ( ･(ェ)･ ) ＿(__つ/￣￣￣/＿ 何で「クマー」が Kummer って叫んでるんだろう？ ＼/ / ￣￣￣ ○＿○ ( ･(ェ)･) ＿(__つ/￣￣￣/＿ 「クンマー」だからか。くだらねえ。 ＼/ / ￣￣￣ ○＿○ ( ﾟ(ェ)ﾟ ) ＿(__つ/￣￣￣/＿ king氏ね ＼/ /
392 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 13:18:15
>>390 このスレは熱心というよりは基地外じみている 有る意味キングと同じ
393 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 14:25:49
補題 実数体 R において写像 f(x) = 1/x は 任意の δ ＞ 0 に対して、 |x| ≧ δ において一様連続である。
証明 δ ＞ 0 に対して、 |x| ≧ δ |y| ≧ δ とする。
任意の ε ＞ 0 に対して、|y - x| ＜ (δ^2)ε なら
|1/y - 1/x| = |y - x|/|xy| ＜ ε
従って写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 証明終
394 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 14:30:03
命題 実数体 R は位相体である。
証明 a, b を任意の実数とする。 任意の ε ＞ 0 に対して、 |x - a| ＜ ε/2, |y - b| ＜ ε/2 のとき |x + y - (a + b)| ≦ |x - a| + |y - b| ＜ ε 従って写像 f(x, y) = x + y は連続である。
任意の ε ＞ 0 に対して、 |x - a| ＜ ε のとき |-x - (-a)| = |x - a| ＜ ε 従って写像 g(x) = -x は連続である。
任意の ε ＞ 0 に対して、 δ ＞ 0 を δ ＜ min(1, ε/(1 + |a| + |b|)) とする。
δ ＜ 1 だから δ^2 ＜ δ ＜ ε/(1 + |a| + |b|)
|x - a| ＜ δ, |y - b| ＜ δ のとき
|xy - ab| = |(x - a)(y - b) + (x - a)b + a(y - b)| ≦ |(x - a)(y - b)| + |(x - a)b| + |a(y - b)| ≦ δ^2 + δ|b| + |a|δ ＜ δ(1 + |a| + |b|) ＜ ε 従って写像 h(x, y) = xy は連続である。
>>393 より、任意の δ ＞ 0 に対して、 写像 φ(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 よって φ(x) は R^* で連続である。 証明終
395 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 14:32:49
命題 複素数 C は位相体である。
証明 >>394 と同様である。
396 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 14:43:48
命題 実数体と複素数体はそれぞれ分離かつ完備な位相体である。
証明 >>394 と >>395 より実数体と複素数体はそれぞれ位相体である。 両者が分離的であることは明らかである。
K を実数体または複素数体とする。
n ≧ 1 を有理整数としたとき
V(1/n) = {(x, y) ∈ K^2; |y - x| ＜ 1/n} の全体は
K の一様構造の基本近縁系である。
即ち K は可算な基本近縁系をもつ。
実数体及び複素数体において Cauchy 点列は収束するから >>325 より両者は完備である。 証明終
397 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/11(土) 14:46:58
命題 K を実数体または複素数体とする。 K^* は位相群として完備である。
証明 >>396 と >>389 より明らかである。
398 ：1stVirtue ◆.NHnubyYck ：2007/08/11(土) 17:13:50
Reply:>>391-392 お前に何が分かるというのか？
399 ：Kummer ◆p5Ne5aK0Lg ：2007/08/11(土) 18:42:33
昨日、西麻布の某グラブバーで、 君がいるだけで飛べる女優さんのS・Eさんを見ました。 服装は、ベージュっぽい色(ゴールド？)のフリルのトップスに、 上にピンクのベロアっぽい光沢のある生地のパーカを羽織ってました。 ボトムはたしかインディゴっぽい色のデニムミニでした。 なんか、最初入ってきたときにずっと年上の男の人二人連れてて、 三人で入ってきたんですが、Sさんがすごく顔が小さくて目立ってました。 私以外にも彼女に気付いていた人いると思うのに、 彼女は見せびらかすみたいに片方の男の人の腰に手をまわして顔寄せあって話してて （店の中はうるさかったから、顔を近づけないと話せないのはわかるんですが） そのまま抱き合うみたいにして、奥のVIPルームに入っていきました。 もう一人の人も、歩きながらSさんの肩に手をやったりしてて、かなり仲のいい感じでした。 男の人は、抱き合ってた方の人はモスグリーンのジャケットに黒いパンツで、色黒で髭を生やしていて、 Ｓさんより背の低い人でした。 もう一人の人は、服装はあまり覚えていないんですが、太っていて、 サングラスしててアゴのところだけ髭があったのは覚えてます。 そのあと、3人はVIPルームに入っていったので、中の様子はよくわからないんですが、 トイレに行くとき前を通ったときに、カーテンから覗いたときには、 （そのお店のVIPルームは、バーカウンターからトイレへ向かうときにちょうどVIPの前を通れるんです） 彼女はやっぱり背が低いほうの男の人の前にひざまづいて、 男の人の股間に顔をうずめてました。 性的なイメージとかなかったので、かなりびっくりしました。 あの様子だったら、精子も飲んでたと思うんですけど、 彼女ってもう成人してるんでしょうか？ この間までドラマで高校生の役やってたし、未成年のイメージがあったからかなり驚きました。 こういうレポ（？）って初めてするので、わかりにくかったらすみません。 あまりにびっくりしたので、どうしても誰かに言いたくなって、 ここに書き込んでしまいました。
400 ：Kummer ◆uval53l3ZI ：2007/08/11(土) 19:11:34
ロイヤルミルクティー 作詞：反町隆史／作曲：都志見隆／編曲：都志見隆
フレームの世界で生きている自分のことを 人はみなすごい奴よばわりするが 作り笑顔でいれば失って行くものが必ずある 俺はそんなに強い男じゃない みんなと同じように不安を感じ怖さを感じる 近くに愛があったとしても その愛が突然壊れてしまうのではないかと おびえる夜が何度もある 彼女はロイヤルミルクティーが好きだった 俺にとって何の興味がなかったそれを 俺は好きになった 彼女の安らぎがそこにあり 俺の安らぎも今はそこにある 彼女はロイヤルミルクティーが好きだった 好きだった
401 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 19:23:31
>>400 とても良い歌詞ですね。調べてみたら、
「反町さんはもっと評価されていい。ロイヤルミルクティーの歌詞は、俺にも書けない」
と、かの押尾先生が絶賛した歌詞らしいですYO！
402 ：１３２人目の素数さん：2007/08/11(土) 20:22:47
上､ ／⌒ヽ, ,／⌒丶､ ,エ `,ヾ ／ ,;;iiiiiiiiiii;､ ＼ _ノｿ´ iｷ ／ ,;;´ ;lllllllllllllii､ ＼ ｉＦ iｷ' ,;´ ,;;llllllllllllllllllllii､ ﾅｆ !ｷ､._ ,=ゞiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!! ＿_ｆｻﾍ. / `ヾ=;三ミミミミヾ仄彡彡ミﾐヾ=`´ 'i､ i' ,.＿Ξミミミミミヾ巛彡////iii＿ | | ;ｉｆ≡|ヾヾヾミミミミヾヾ､//巛iiﾘ≡ｷi | | iｆ! |l lヾヾｼヾミミミ川|iｉ//三iﾘ `ｷi | | ,iｆ ,ｆ=|l l lヾリﾘﾘﾘﾘ川川|爪ミミiﾘ=ｔ､ｷi | | ;iﾅ,ｻ |l l l リﾘ川川川川|爪ミﾐiiﾘ ｷi ｷi | | iﾅ ;ｻ |l l ﾘﾘﾘﾘ川川川川l爪ﾐﾐilﾘ ｷi ｷi | | iｻ ;ｻ, |ﾘ ﾘﾘ川川川川川l爪ミﾐiﾘ ,ｷi ｷi | | iｻ ;ｻ, | ﾘ彡彡川川川川|爪ﾐﾐｉﾘ ,ｷi :ｷ、 | ,i厂 ｉｻ, |彡彡彡彡ﾉ|川川|爪ﾐミﾘ ,ｷi `ヘ､ ,√ ;ｻ, |彡彡彡彡ﾉ川川|ゞﾐﾐミﾘ ,ｷi `ヾ ´ ;ｻ, |彡彡彡彡川川ﾘゞﾐミﾘ ,ｷi ;ｻ, |彡彡彡彡リﾘﾘミミミｼ ,ｷi ,;#, |彡彡ノリリﾘﾘミミミｼ ,ｷi ;ﾒ'´ !彡ノリﾘﾘﾘリゞﾐミｼ `ﾍ､ ;ﾒ ヾリリﾘﾘノ巛ゞシ `ﾍ､ ;ﾒ ｀`十≡=十´ `ﾍ､
403 ：１３２人目の素数さん：2007/08/12(日) 05:48:27
お願いします
ttp://pics.dmm.co.jp/digital/video/fbi00002/fbi00002pl.jpg
404 ：１３２人目の素数さん：2007/08/12(日) 07:25:49
↑「勇気が無くて見られない画像解説スレ3＠数学板」と間違えて誤爆しますた
405 ：１３２人目の素数さん：2007/08/12(日) 10:09:57
ロイヤルミルクティーって和製英語でそんなレシピはない。 酒を入れるカフェロワイヤル ミルクテイーはロイヤルはつけない ビックルが好きな・・・といってるのとおなじ ヤクルトかバヤリースにしておけば・・・
406 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 10:15:41
命題 コンパクト空間 Xは正則(>>210)である。
証明 >>211 より X の任意の閉集合 A と A に含まれない任意の点 x に対して x の近傍 U と A の近傍 V で交わらないものがあることを 証明すればよい。
X はハウスドルフだから A の各点 y に対して y の開近傍 V_y と x の開近傍 U_y で交わらないものがある。
A はコンパクトだから A は有限個の V_y で被覆される。 これ等を V_(y_1), . . . , V_(y_n) とする。 これ等の合併集合を V とし、 U_(y_1), . . . , U_(y_n) の共通集合を U とすればよい。 証明終
407 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 10:27:42
命題 ハウスドルフ空間のコンパクトな部分集合は閉集合である。
証明 A を ハウスドルフ空間 X のコンパクトな部分集合とする。 x を A に含まれない任意の点 x とする。
X はハウスドルフだから A の各点 y に対して y の開近傍 V_y と x の開近傍 U_y で交わらないものがある。
A はコンパクトだから A は有限個の V_y で被覆される。 これ等を V_(y_1), . . . , V_(y_n) とする。 これ等の合併集合を V とし、 U_(y_1), . . . , U_(y_n) の共通集合を U とする。
U と V は交わらないから U は A と交わらない。 U は x の近傍で x は X - A の任意の点だから X - A は X の 開集合である。 即ち、A は閉集合である。 証明終
408 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 10:35:47
命題 局所コンパクト空間(>>128) X は正則(>>210)である。
証明 X の点 x とそれを含む開集合を U とする。 x はコンパクトな近傍 V を持つ。 >>406 より V は正則だから x の V における閉近傍 W で W ⊂ V ∩ U となるものがある。 >>407 より V は X の閉集合だから W も X の閉集合である。 V は x の近傍だから W も X における x の近傍である。 W ⊂ U だから >>211 より X は正則である。 証明
409 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 10:49:47
命題 局所コンパクト空間(>>128) の任意の点はコンパクトな 基本近傍系をもつ。
証明 x を局所コンパクト空間の任意の点とし U をその近傍とする。 >>408 より x の閉近傍 V で U に含まれるものがある。 x のコンパクト近傍を W とする。
V ∩ W は W の閉集合であるからコンパクトである。 よって V ∩ W は x のコンパクトな近傍である。 証明終
410 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 10:52:55
命題 局所コンパクト空間(>>128) の開集合は局所コンパクトである。
証明 >>409 より明らかである。
411 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 10:57:16
命題 局所コンパクト空間(>>128) の閉集合は局所コンパクトである。
証明 A を局所コンパクト空間 X の閉集合とする。 A の任意の点 x は X におけるコンパクト近傍 V を持つ。 V ∩ A は A における x の近傍であるが、 V の閉集合だからコンパクトである。 証明終
412 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 11:22:35
命題 局所コンパクト群は右一様構造(>>200)および左一様構造(>>200)に 関して完備である。
証明 G を局所コンパクト群とする。 Φ を G の右一様構造に関する Cauchy フィルターとする。 V を G の単位元のコンパクト近傍とする。
V 程度に小さい M ∈ Φ がある。 即ち x, y ∈ M なら yx^(-1) ∈ V となる。 従って M ⊂ Vx である。
Φ_0 = { M ∩ N ; N ∈ Φ } とおく。
Φ_0 は Φ の基底である。
Vx はコンパクトだから >>315 より完備である。 Φ_0 は Vx に含まれるから収束する。 従って Φ も収束する。
Φ を G の左一様構造に関する Cauchy フィルターとしても同様である。 証明終
413 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 11:27:30
>>397 の別証
命題 K を実数体または複素数体とする。 K^* は位相群として完備である。
証明
K は局所コンパクトである。
K^* = K - {0} は K の開集合だから >>410 より局所コンパクトである。
従って >>412 より K^* は位相群として完備である。
証明終
414 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 11:56:29
定義
実数体を R とする。
R の部分集合 { x ∈ R; x ≧ 0 } を R+ で表す。
K を可換とは限らない体とする。 K から R+ への写像 x → |x| が以下の条件を満たすとき、この写像を K の絶対値と言う。
1) |x| = 0 と x = 0 は同値である。
2) |xy| = |x||y|
3) |x + y| ≦ |x| + |y|
415 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 11:59:31
定義 K を可換とは限らない体とする。 K とその上の絶対値(>>414) |*| が与えられたとき K を付値体と言う。
416 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12:10:44
命題 K を付値体(>>415)とする。 K の元 x の絶対値を |x| とする。
n ≧ 1 を有理整数とし K の元 x が x^n = 1 を満たすとする。 このとき |x| = 1 である。
証明 |x^n| = |x|^n = 1 従って |x| = 1 である。 証明終
417 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12:12:10
>>416 から |1| = 1, |-1| = 1 が出る。 従って K の任意の元 x に対して |-x| = |x|
418 ：１３２人目の素数さん：2007/08/12(日) 12:16:48
403 名前: １３２人目の素数さん Mail: 投稿日: 2007/08/12(日) 05:48:27 お願いします
ttp://pics.dmm.co.jp/digital/video/fbi00002/fbi00002pl.jpg 404 名前: １３２人目の素数さん Mail: 投稿日: 2007/08/12(日) 07:25:49 ↑「勇気が無くて見られない画像解説スレ3＠数学板」と間違えて誤爆しますた
419 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12:19:23
付値体 K において d(x, y) = |y - x| とおくと d は K の距離になる。 従って、K はこの距離により距離空間になる。 特に断らなければ K の位相はこの距離空間から引き起こされた ものとする。
420 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12:24:41
補題 付値体 K において写像 f(x) = 1/x は 任意の δ ＞ 0 に対して、 |x| ≧ δ において一様連続である。
証明 δ ＞ 0 に対して、 |x| ≧ δ |y| ≧ δ とする。
任意の ε ＞ 0 に対して、|y - x| ＜ (δ^2)ε なら
|1/y - 1/x| = |(1/y)(x - y)(1/x)| = |y - x|/|x||y| ＜ ε
従って写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 証明終
421 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12:27:23
命題 付値体(>>415) K は位相体である。
証明 K の元 x の絶対値を |x| とする。 a, b を K の任意の元とする。 任意の ε ＞ 0 に対して、 |x - a| ＜ ε/2, |y - b| ＜ ε/2 のとき |x + y - (a + b)| ≦ |x - a| + |y - b| ＜ ε 従って写像 f(x, y) = x + y は連続である。
任意の ε ＞ 0 に対して、 |x - a| ＜ ε のとき |-x - (-a)| = |-(x - a)| = |x - a| ＜ ε 従って写像 g(x) = -x は連続である。
任意の ε ＞ 0 に対して、 δ ＞ 0 を δ ＜ min(1, ε/(1 + |a| + |b|)) とする。
δ ＜ 1 だから δ^2 ＜ δ ＜ ε/(1 + |a| + |b|)
|x - a| ＜ δ, |y - b| ＜ δ のとき
|xy - ab| = |(x - a)(y - b) + (x - a)b + a(y - b)| ≦ |(x - a)(y - b)| + |(x - a)b| + |a(y - b)| ≦ δ^2 + δ|b| + |a|δ ＜ δ(1 + |a| + |b|) ＜ ε 従って写像 h(x, y) = xy は連続である。
>>393 より、任意の δ ＞ 0 に対して、 写像 φ(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。 よって φ(x) は K^* で連続である。 証明終
422 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12:32:38
体 K において x ≠ 0 のとき |x| = 1 x = 0 のとき |x| = 0 と定義すれば |x| は K の絶対値になる。 これを自明な絶対値と言う。
423 ：１３２人目の素数さん：2007/08/12(日) 12:33:21
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
424 ：１３２人目の素数さん：2007/08/12(日) 12:35:05
Kummer----------!!!
--ミ､、_:::::::::::::::::｀:"'':―┼――――l.:.:.:.:.:.::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::l:::::|:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;i;:;:;:;:;:;:;:;:;:;|
ミ三三ﾐ'ー‐-- ､、＿:::::::|:::::::::::::::::::::::j:-―――‐t―――----┴-{:_;:_;_:_;:_;:_;:_;:_;:_;:i;:_;:_;:_;:_;:_;:|
ﾐミ三三、 .u ､ｰ=､`'┴―――fミ',ﾆ三三三三 r―､ rﾐ､_;_:_;:_;:_;:_;:_;:_;:;i;:_;:_;:_;:_;:_;:;|
ﾐミミ三ｼ . . .u `―' l ii l (ヲ lミil三三三三彡' j ｀￣ ヾ'i. , 一, ､ｰ､ ヾﾐl
ﾐミミf'" _,,.,,_:.:.:.:.. _j_ .:.:.:. j lﾐﾘﾆ三三シ´ _,. - 、 : __ l､,. .. `""´ `" ,iﾐl
ﾐミミ ',ｨでiﾝﾐ、:.:.､__, -,ｨも=､',l:l三三三ミ .:.:.:.:ｨ'"でi、.:. :,rtｯ'.: j , -‐‐-'. .: ｰ- ､.ヾl
ミミ' J. ´￣｀ﾞ`ラ .:. 三 f"´￣｀' lj ＼三三ﾐ .:.:.:.:.｀`＝ﾞ^ .: 'iｰ{ ,ｨ'で入 . '. ,ｨ'で)'､ ∥
ミﾐ ｀二ﾆノ ,、 jl ',` ―''" ,l!人 ヾ三ミ u ', ﾞ', ｀ﾞﾞﾞ"´ﾉ.:: ',｀ﾞﾞﾞ"´ .|
;ミ' ,ィ'" ﾄ、 ,!rぅ ',三ｼ ,r __ ） !. u ' ,::: ', .:|
ミ; u ／ `^ヽ,＿ノi ,'ヽ二ノ l三'ﾞ U ,. `´ 'ｰｲ ,':::... /ゝ =､_,,r｀､.u ::l
ﾐ' ／ _,,...,＿,,..,、l u ./ヾﾐ. ',三 ,' ,:'´ ／ _,,__,、/:: : :::.. ,' : : i .::l
N ／ ,ィiTTTTTト, ,} ,/ l三 `'" / / ／_,∠二,ｰｱﾉ/: u: .::: : _,ｨｪｪｪｭ､ :l ::i
;ヽ U { ,/⌒'ｰ'‐'‐'‐',ﾘ l / ,l^`' .:.:.:.:l ,' ,. h､:.:ﾞ':.:.lf´,'/ ', : : .::: i 〈-‐‐rー, i l .:/
、 ヽ l {,ゝ､‐r‐'ﾝ-i/ ,/ ,ｲ/7 .:' ,::' .:.:.:.:; :; :, ヾゞｚｪｿ ;/ヽヽ: : ::: l ヽｚｪｪｪｭﾘ :! /
ヽヽ丶 丶 ヾ<Zェｪｪｼ' ﾉ ,i'∧', ,' ,. - 、 丶 ､_｀'一' /,､.|: :ヽ: ::.. ヽ ヽﾆ二ﾉ /
ヽヽ 丶、 ｀ ｀ ‐ -- ‐'"/ノ:::::ヽヽ、 .::.::.::.::丶、 ﾞﾞﾞﾞ /l |ﾉ: : : ヽ: :. /
425 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/12(日) 12:51:29
命題 K を付値体, |x| をその絶対値とする。 K の位相が離散であるためには |x| が自明であることが必要十分である。
証明 絶対値が自明なら K の位相は離散である。
逆に K の位相が離散とする。 従って、ある δ ＞ 0 があり |x| ＜ δ となる x は 0 以外に無い。
絶対値が自明でないなら |x| ≠ 1 となる x ≠ 0 がある。 |x| ＜ 1 とすると点列 (x^n) は 0 に収束する。 即ち任意の ε ＞ 0 で |x^n| ＜ ε となる n がある。 x^n ≠ 0 だから、K の位相は離散でない。
|x| ＞ 1 とすると点列 ((1/x)^n) は 0 に収束するから 上と同様に K の位相は離散でない。 証明終
426 ：Kummer ◆s7caXp/asc ：2007/08/13(月) 15:21:44
アタシね、最近教師になったんですねぇ。 私立の吉祥寺学園ってところに赴任しましてねぇ仮にこの高校をKとしましょうかアタシ1番の問題児がいるクラスの担任になっちゃんたんだ。どうしよー怖いよ怖いよーってもんでついに新学期が始まったんですねぇ。アタシナメられないように黒板に稲川淳二☆って書いて 「今日からおまえらの担任になった稲川だ！なんか文句あるか！」 ってかましたんですねぇその瞬間生徒の視線がアタシからスゥーっと外されていったんですねぇまるでアタシを幽霊みたいに見ちゃいけない！見てなるものか！って意地になってスルーされたんですねぇ。その日はなんとか乗り切れたんですがねぇ 次の日登校すると生徒の様子がなーんかおかしい… ふと黒板を見るとワタシが三角木馬に乗ってる写真が貼られてたんだ！ ありえないんだそんな事！ アタシにそんな趣味なんかあるわけないあっちゃいけない！ ってなもんでアタフタしてたら同僚の冬月先生にビンタされてアタシ取り乱して証拠にみんなの前でお尻の傷見せたんだ！ その瞬間アタシ意識がスゥーと消えて気付いたらアタシ警察の前にいたんですねぇ。 そんなお話です。
427 ：Kummer ◆p5Ne5aK0Lg ：2007/08/13(月) 20:52:09
＿＿＿_ ／ ＼ ／ _ノ ヽ､_ ＼ ／ oﾟ⌒ ⌒ﾟo ＼ またあしたも代数的整数論板に書き込む仕事が始まるお… | （__人__） | ＼ ｀ ⌒´ ／
428 ：１３２人目の素数さん：2007/08/13(月) 22:15:15
なんでカス板に書き子つづけるの？ＡＭＳの板にでも書いたら？
429 ：Kummer ◆avWMvQagd6 ：2007/08/14(火) 00:26:58
私の前の上司（課長）は無口、無表情。雑談には加わらず、お酒も飲まず、人付き合いをしない堅物でした。 誠実公平、どんな時でも冷静なので頼もしい上司なのですが、堅過ぎて近寄りにくい雰囲気がありました。 そんな課長の机の上には奥さん、子供四人と写った写真が飾られてて、 「あの朴念仁でも家族は愛してるんだな」と微笑ましく思ったものです。 何年経っても同じ写真が飾ってあったので、理由を聞いてみたら、 「一番かわいかった頃の写真だからね」と照れ笑いを浮かべながら答えてくださいました。 それが私の見た唯一の課長の笑顔でした。
そんな真面目一徹、入社以来無遅刻無欠勤の課長が三日続けて無断欠勤。 家に電話しても誰も出ず、親族の連絡先も分からなかったので、 部長が直接課長のマンションを訪ね、管理人さんにお願いしてドアを開けていただきました。 課長は玄関で倒れていて、既に冷たくなっていました。急性心不全だったそうです。 部長が管理人さんに課長の家族がいつ戻ってくるか聞くと、「○○さんには家族はいないですよ」という返事。 あわてて人事部の資料をほじくり返すと、確かに課長には家族がいません。 課長は１０年前に中途入社した人なので、それ以前に家族に逃げられていて、 写真を見て幸せだった時代を懐かしんでいたんだと思い、少し悲しくなりました。 結局、課長の葬儀にも家族も親族も顔を出さず、血縁の人たちの冷たさにもっと悲しくなりました。
後日墓参りに行くと、立派なお墓が立っていました。死んでやっと家族と和解できて、 立派なお墓を立ててもらえたのかと安心して墓石を見てみると、愕然としました。 お墓は古びていて、課長と同じ名字の名前が墓誌にいくつも彫ってありました。 課長以外は全員十数年前の同じ日に亡くなっていました。
家族を一度に亡くしてからの十数年の歳月を、彼はどんな気持ちで過ごしていたんでしょうか？ 二度と会えない家族の写真をどんな思いで毎日眺めていたんでしょうか？ 人を遠ざけ、自分のことを決して語らなかった課長の姿を思い出し、涙が止まりませんでした。
430 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 04:34:17
補題 K を可換とは限らない体とする。 φ と ψをそれぞれ K の絶対値(>>414)とする。 φ は自明ではないとする。 φ(x) ＜ 1 となる全ての x に対して ψ(x) ＜ 1 となれば、 ある実数 α ＞ 0 があり、φ(x) = ψ(x)^α が全ての x ∈ K で 成り立つ。
証明 φ は自明(>>422)でないから φ(a) ≠ 1 となる a ≠ 0 がある。 φ(a) ＜ 1 なら φ(1/a) = 1/φ(a) ＞ 1 だから φ(a) ＞ 1 と仮定 してよい。
任意の K の元 x をとり、φ(x) = φ(a)^γ とする。 即ち γ = log(φ(x))/log(φ(a)) である。 ここで log の底は任意の正数 ＞ 1 でよいが考えを固定するため 自然対数の底 e とする。 (続く)
431 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 04:37:11
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
432 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 04:37:33
n と m を有理整数として m ＞ 0 とし、γ ＞ n/m とする。 φ(x) ＞ φ(a)^(n/m) となる。 よって φ(x)^m ＞ φ(a)^n となる。 よって 1 ＞ φ(a^n)/φ(x^m) = φ(a^n/x^m) 仮定から 1 ＞ ψ(a^n/x^m) よって ψ(x)^m ＞ ψ(a)^n となる。 よって ψ(x) ＞ ψ(a)^(n/m) となる。
有理数 n/m を γ の左から γ に近づけて、この等式の両辺の極限を 取れば、ψ(x) ≧ ψ(a)^γ となる。
同様に γ ＜ n/m なら ψ(x) ＜ ψ(a)^(n/m) となる。 有理数 n/m を γ の右から γ に近づけて、この等式の両辺の極限を 取れば、ψ(x) ≦ ψ(a)^γ となる。
従って ψ(x) = ψ(a)^γ となる。 即ち γ = log(ψ(x))/log(ψ(a)) である。 よって log(φ(x))/log(φ(a)) = log(ψ(x))/log(ψ(a)) となる。 即ち log(φ(x))/log(ψ(x)) = log(φ(a))/log(ψ(a))
α = log(φ(a))/log(ψ(a)) とすれば log(φ(x)) = αlog(ψ(x)) よって φ(x) = ψ(x)^α となる。 ψ(a) ＞ 1 だから α ＞ 0 である。 x ≠ 0 と仮定したが x = 0 のときもこの等式は成り立つ。 証明終
433 ：Kummer ◆K8xLCj98/Y ：2007/08/14(火) 04:38:06
補題 K を可換とは限らない体とする。 φ と ψをそれぞれ K の絶対値(>>414)とする。 φ は自明ではないとする。 φ(x) ＜ 1 となる全ての x に対して ψ(x) ＜ 1 となれば、 ある実数 α ＞ 0 があり、φ(x) = ψ(x)^α が全ての x ∈ K で 成り立つ。
証明 φ は自明(>>422)でないから φ(a) ≠ 1 となる a ≠ 0 がある。 φ(a) ＜ 1 なら φ(1/a) = 1/φ(a) ＞ 1 だから φ(a) ＞ 1 と仮定 してよい。
任意の K の元 x をとり、φ(x) = φ(a)^γ とする。 即ち γ = log(φ(x))/log(φ(a)) である。 ここで log の底は任意の正数 ＞ 1 でよいが考えを固定するため 自然対数の底 e とする。 (続く)
434 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 04:57:24
定義 可換とは限らない体 K 上の二つの絶対値(>>414)は K 上に同じ位相を 引起す(>>419)とき同値と言う。
435 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 05:12:18
命題 K を可換とは限らない体とする。 φ と ψ をそれぞれ K の絶対値(>>414)とする。 φ は自明ではないとする。
φ と ψ が同値(>>434)であるためには φ(x) ＜ 1 となる全ての x に対して ψ(x) ＜ 1 となることが 必要十分である。
このとき、ある実数 α ＞ 0 があり、φ(x) = ψ(x)^α が全ての x ∈ K で成り立つ。
証明 φ と ψ が同値であるとする。
φ(x) ＜ 1 と位相体 (K, φ) において n → ∞ のとき lim x^n = 0 は同値である。
φ と ψ は同値だから 位相体 (K, ψ) においても n → ∞ のとき lim x^n = 0 である。 従って ψ(x) ＜ 1 である。
これで本命題の条件が必要なことが分かった。
逆に本命題の条件が成り立つとする。 >>430 よりある実数 α ＞ 0 があり、φ(x) = ψ(x)^α が 全ての x ∈ K で成り立つ。
このとき φ と ψ が K 上に同じ位相を引起すことは明らかである。 証明終
436 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 05:14:28
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
437 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 05:29:35
補題 λ, c, d を実数で
0 ＜ c 0 ＜ d 1 = c + d 0 ＜ λ ≦ 1
のとき 1 ≦ c^λ + d^λ である。
証明 c ＜ 1 だから 1/c ＞ 1 λ ≦ 1 だから 1/c^λ ≦ 1/c よって c ≦ c^λ
同様に d ≦ d^λ
よって 1 = c + d ≦ c^λ + d^λ 証明終
438 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 05:32:28
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
439 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 05:32:33
補題 λ, a, b を実数で 0 ＜ λ ≦ 1 a ＞ 0 b ＞ 0 とする。
このとき (a + b)^λ ≦ a^λ + b^λ
証明 c = a/(a + b) d = b/(a + b) とおけば
(a + b)^λ ≦ a^λ + b^λ は 1 ≦ c^λ + d^λ と同値である。
1 ≦ c^λ + d^λ は >>437 で証明されている。 証明終
440 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 05:35:02
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummerおはよう！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
441 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 05:49:20
命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の絶対値(>>414)とする。
λ を実数で 0 ＜ λ ≦ 1 とする。
|x|^λ も (|x| と同値な) 絶対値である。
証明 |x + y| ≦ |x| + |y| だから |x + y|^λ ≦ (|x| + |y|)^λ
>>439 より (|x| + |y|)^λ ≦ |x|^λ + |y|^λ よって|x + y|^λ ≦ |x|^λ + |y|^λ 証明終
442 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 05:55:15
命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の絶対値(>>414)とする。
r と s を実数で 0 ＜ s ＜ r とする。
|x|^r が絶対値なら |x|^s も絶対値である。
証明 0 ＜ s/r ＜ 1 だから >>441 より |x|^s = (|x|^r)^(s/r) は 絶対値である。 証明終
443 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 06:07:33
>>441 童貞なん？
444 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 06:13:41
命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の絶対値(>>414)とする。
|x|^r が絶対値となる r ＞ 0 の全体は有限区間 (0, c] または 無限区間 (0, ∞) である。
証明 >>442 より |x|^r が絶対値となる r ＞ 0 の全体は ある実数 c ＞ 0 に対して区間 (0, c) または (0, c] となるか 無限区間 (0, ∞) である。
ある実数 c ＞ 0 に対して 0 ＜ r ＜ c となる任意の r に対して |x|^r が絶対値であるとする。
|x + y|^r ≦ |x|^r + |y|^r の両辺の r → c の極限を取れば |x + y|^c ≦ |x|^c + |y|^c となって |x|^c も絶対値である。 証明終
445 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 06:23:18
補題 a, b を実数で a ≧ 0, b ≧ 0 とする。
r ＞ 0 を実数とする。 r → ∞ のとき lim (a^r + b^r)^(1/r) = sup(a, b) となる。
証明 b ≦ a と仮定してよい。
a^r ≦ (a^r + b^r) ≦ 2a^r
よって
a ≦ (a^r + b^r)^(1/r) ≦ 2^(1/r)a
よって r → ∞ のとき lim (a^r + b^r)^(1/r) = a 証明終
446 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 06:29:09
命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の絶対値(>>414)とする。
任意の r ＞ 0 に対して |x|^r が絶対値となるなら K の任意の２元 x, y に対して |x + y| ≦ sup(|x|, |y|) となる。
証明 仮定より任意の r ＞ 0 に対して |x + y|^r ≦ |x|^r + |y|^r となる。
よって |x + y| ≦ (|x|^r + |y|^r)^(1/r) となる。
>>445 より r → ∞ のとき lim (|x|^r + |y|^r)^(1/r) = sup(|x|, |y|) となる。
よって |x + y| ≦ sup(|x|, |y|) となる。 証明終
447 ：１３２人目の素数さん：2007/08/14(火) 07:59:14
>>445 ご飯食べた？
448 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 08:11:03
定義 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の絶対値(>>414)とする。
集合 {φ(n・1) ; n は有理整数 n ＞ 0 全体} が有界でないとき
φ をアルキメデス的と言う。
このとき付値体 K もアルキメデス的と言う。
φ がアルキメデス的でないとき φ を非アルキメデス的と言う。 このとき付値体 K も非アルキメデス的と言う。
>>435 より φ がアルキメデス的か否かは φ の同値類のみにより 決まる。
449 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 08:55:45
補題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の非アルキメデス的(>>448)な絶対値とする。
|x| ≦ 1 となる K の全ての元 x に対して |1 + x| ≦ 1 となる。
証明 任意の有理整数 n ＞ 0 に対して |n・1| ≦ M とする。
x を K の元で |x| ≦ 1 とする。
1 と x は K の乗法で可換だから二項定理より (1 + x)^n = 1 + nx + . . . + x^n
よって |1 + x|^n ≦ (n + 1)M よって |1 + x| ≦ ((n + 1)M)^(1/n)
n → ∞ のとき ((n + 1)M)^(1/n) → 1 だから |1 + x| ≦ 1 証明終
450 ：Kummer ◆p5Ne5aK0Lg ：2007/08/14(火) 09:00:21
∩＿＿＿∩ | ノ ヽ / ● ● | Kummer──！！ | ( _●_) ミ 彡､ |∪| ､｀＼ / ＿＿ ヽノ /´> ) (＿＿＿） / (_／ | / | ／＼ ＼ | / ) ) ∪ （ ＼ ＼＿)
451 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 09:03:24
命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の非アルキメデス的(>>448)な絶対値とする。 K の任意の２元 x, y に対して |x + y| ≦ sup(|x|, |y|) となる。
証明 |y| ≦ |x| と仮定して良い。
x = 0 なら y = 0 だから |x + y| ≦ sup(|x|, |y|) は自明である。 よって x ≠ 0 と仮定する。
|y(1/x)| ≦ 1 だから >>449 より |1 + y(1/x)| ≦ 1 である。
よって |x + y| = |1 + y(1/x)||x| ≦ |x| である。 証明終
452 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 09:21:25
命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の絶対値(>>414)とする。
以下の条件は同値である。
1) |x| は非アルキメデス的(>>448)である。
2) K の任意の２元 x, y に対して |x + y| ≦ sup(|x|, |y|) となる。
3) 任意の実数 r ＞ 0 に対して |x|^r は絶対値となる。
証明 1) ⇒ 2) は >>451 で証明されている。
2) ⇒ 1) は |1 + . . . + 1| ≦ 1 より出る。
2) ⇒ 3) r ＞ 0 を任意の実数とする。 |x|^r ≦ 1 のとき |x| ≦ 1 だから |1 + x| ≦ 1 である。 よって |1 + x|^r ≦ 1 となる。 これから >>451 と同様にして K の任意の２元 x, y に対して |x + y|^r ≦ sup(|x|^r, |y|^r) となる。 よって |x|^r は絶対値である。
3) ⇒ 2) は >>446 で証明されている。 証明終
453 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 10:39:50
定義
実数体を R とする。
R の部分集合 { x ∈ R; x ≧ 0 } を R+ で表す。
K を可換とは限らない体とする。 写像 φ : K → R+ が以下の条件を満たすとき、φ を K の一般絶対値(この名前は一般に通用してるわけではない)と言う。
1) φ(x) = 0 と x = 0 は同値である。
2) K の任意の２元 x, y に対して φ(xy) = φ(x)φ(y)
3) A ＞ 0 があり K の任意の２元 x, y に対して φ(x + y) ≦ A sup(φ(x), φ(y))
454 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 11:03:23
注意
>>453 の 3) において x = 1, y = 0 とすれば φ(1) ≦ A sup(φ(1), φ(0)) よって 1 ≦ A である。
455 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/14(火) 11:04:22
命題 K を可換とは限らない体とする。 >>453 の 1) と 2) を満たす写像 φ : K → R+ が一般絶対値で あるためには、
A ＞ 0 があり φ(x) ≦ 1 となる全ての x に対して φ(1 + x) ≦ A となることが必要十分である。
証明 φ が一般絶対値なら >>453 の 3) において y = 1 とおけば、 φ(1 + x) ≦ A sup(φ(x), 1) 従って、φ(x) ≦ 1 なら φ(1 + x) ≦ A となる。
従って、この条件は必要である。
逆に φ がこの条件を満たしているとする。 φ(y) ≦ φ(x) と仮定して良い。 x = 0 なら φ(x) = 0 だから φ(y) = 0 で y = 0 である。 この場合、φ(x + y) ≦ A sup(φ(x), φ(y)) は自明である。 よって x ≠ 0 とする。
φ(y) ≦ φ(x) だから φ(y(1/x)) ≦ 1 である。 よって φ(1 + y(1/x)) ≦ A である。
よって φ(x + y) = φ(1 + y(1/x))φ(x) ≦ Aφ(x) である。 証明終
