最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時26分43秒
代数的整数論 II(201-300)
元スレ： http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/201-300
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/201-300
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/201-300
201 ：208：2005/12/05(月) 17:56:40
>>200
Rotmanのホモロジー代数の入門書にその証明が載っている。
202 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 18:11:29
そうですか。やはりこの辺も進歩しているのですね。 どうもありがとうございます。
203 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 18:31:34
パプアニューギニアにはどうやって行ったのですか？ 船ですか？
204 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 19:12:37
426 ：１３２人目の素数さん ：2005/08/07(日) 10:24:29 >>425 お前最近各所で荒らしまわってる208だな。不快な文調とピントはずれ な論点で有名そうだな。虚数乗法説明してくれるんじゃなかったの かｗｗｗ
英訳が手に入らないor入りにくい書籍や論文なんて山ほどあるだろ。 論文をフランス語で書いてるやつもいっぱいるだろ。いい年した おっさんなんだからさっさと働け！
205 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 06:05:17
Furtwangler..
206 ：208：2005/12/06(火) 09:48:45
>>114 >ところで何故今ブルバキなの？ 今時はやらないんでしょ？
Bourbakiが扱ってるのは基礎的な部分なんだよ。基礎に流行りも 廃りもない(例外もあるが)。パラダイムが変化しない限り。 Bourbakiは基礎的事項のreferenceとして便利。 すべての命題に丁寧な証明をつけていて自己完結してるからね。 因みに俺が持ってるのは、集合、位相、積分は日本語版(位相の後半は フランス語版も持ってる)、その他は英語版とフランス語版。
それからBourbakiはまだ刊行が続いている(例えば、可換代数)。
207 ：208：2005/12/06(火) 11:45:04
補題 A を環、M を 射影的 A-加群とする。 B を A-代数とすると、M(x)B は B-加群として射影的である。
証明 任意の B-加群 E に対して Hom_B(M(x)B, E) = Hom_A(M, E) となる(A-加群としての同型)。ここで、右辺の E は 構造射 A → B により A-加群とみなす。 仮定より、関手 Hom_A(M, *) は完全だから関手 Hom_B(M(x)B, *) も完全となる。よって、M(x)B は射影的である。 証明終
208 ：208：2005/12/06(火) 11:53:51
命題 A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。 A の各素イデアル p に対して M_p は A_p-加群として自由である。
証明 >>207 と >>191 より。
209 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 15:04:35
大文字焼きひとつください
210 ：209：2005/12/06(火) 16:52:56
補題 A を環、M を A 上の有限生成加群とする。 p を A の素イデアルとする。 M_p = 0 なら、f ∈ A - p が存在し、M_f = 0 となる。
証明 M の生成元を x_1, ..., x_n とする。 各 i に対して M_p において x_i/1 = 0 となる。 よって、s_ix_i = 0 となる、s_i ∈ A - p がある。 f = Πs_i とおけばよい。 証明終
211 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 17:10:17
>>209 はい。いらっしゃいませ。 Ｓ、Ｌ、Ｍとございますが。 お飲み物はよろしかったでしょうか？
212 ：209：2005/12/06(火) 17:20:06
命題 A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。 A の各素イデアル p に対して f ∈ A - p が存在し M_f は A_f-加群として自由である。
証明 >>208 より M_p は A_p-加群として自由である。 M_p のA_p-自由加群としての基底を x_1/s, ..., x_n/s とする。 ここで、x_i ∈ M, s ∈ A - p である。 >>207より M_f は A_f-加群として自由であるから、 A を A_s, M を M_f で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。 L = A^n とし、L の標準基底を e_1, ..., e_n とする。 A-加群としての射 φ: L → M を φ(e_i) = x_i で定義する。 R = Coker(φ) とおく。 完全列 L → M → R → 0 より L_p → M_p → R_p → 0 も完全。 一方、L_p → M_p は同型だから、R_p = 0 となる。 >>210 より、R_g = 0 となる g ∈ A - p が存在する。 よって、L_g → M_g → 0 は完全となる。 再び A を A_g, M を M_g で置き換えて、g = 1 と仮定してよい。 つまり、L → M → 0 は完全となる。 K = Ker(L → M) とおくと、 0 → K → L → M → 0 は完全となる。 >190 より M は有限表示を持つから、>>179 より K は有限生成となる。 0 → K_p → L_p → M_p → 0 は完全だから、K_p = 0 となる。 再び >>210 より K_f = 0 となる f ∈ A - p が存在する。 よって、 0 → L_f → M_f → 0 は完全となる。 証明終
213 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 17:22:28
俺は位相仏語版は全部持ってるぞ 海賊版っぽいけどな 勝ったな。圧倒的に勝った（＠藁ぷ
まあそれはおいといてBourbakiってまだ刊行してるにせよ ほとんど停止状態だろ 絶版になってるやつもあるし
214 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 17:32:28
>>211 じゃあLで 飲み物は餃子ジュース
215 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 18:18:41
>>214 はい。かしこまりました。（奥へ）大文字焼きＬひとつ入りまーす。 相済みません。餃子ジュースは午前中のみの販売となっております。 焼売ジュースのＬということでよろしいでしょうか？ 穴子はみ出し丼もご一緒にいかがですか。
216 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 18:29:56
ええっ餃子ジュースたのしみにしてたのに！ しょうがないな じゃあ焼売ジュースでいいです。 それと穴子よりサソリのほうがいいんだけど サソリも午前中だけ？
217 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 18:41:17
ヴェイユの講義姿は格好良かったな もちろん京都賞じゃないよ そのときはかなり弱ってた
218 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 18:56:22
すいませーーん 行者ジュースありませんか？
219 ：１３２人目の素数さん：2005/12/06(火) 19:29:13
比叡山の雪景色をみながら 大文字焼きをたべ餃子ジュースを飲む至福
ヴェイユにも味あわせてやりたかった
220 ：208：2005/12/07(水) 09:37:47
>>212 >>>207より M_f は A_f-加群として自由であるから、 >A を A_s, M を M_f で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。
>>207より M_s は A_s-加群として射影的であるから、 A を A_s, M を M_s で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。
221 ：208：2005/12/07(水) 10:52:07
定義 A を環、B を A-代数とする。 B が A-加群とみて平坦(>>181)なとき、平坦な A-代数と呼ぶ。
222 ：208：2005/12/07(水) 10:52:51
命題 A を環、M を A 上の有限表示を持つ加群とする。 B を平坦な A-代数とする。任意の A-加群 N に対して Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B) となる。ここで、等号は B-加群としての同型を表す。
証明 任意の A-加群 P に対して F(P) = Hom(P, N)(x)B G(P) = Hom(P(x)B, N(x)B) とおく。 任意の射φ: P → N は φ(x)1: P(x)B → P(x)B を誘導するから、射 F(P) → G(P) が得られる。
M は有限表示を持つから完全列 L_2 → L_1 → M → 0 が存在する。ここで、L_1, L_2 は有限生成自由加群。 よって次の可換図式が得られる。
0 → F(M) → F(L_1) → F(L_2) ｜ ｜ ｜ ｜ 0 → G(M) → G(L_1) → G(L_2)
水平の列は完全である。 F(A) = Hom(A, N)(x)B = N(x)B G(A) = Hom(A(x)B, N(x)B) = N(x)B だから、L が A 上の有限生成自由加群のとき、 F(L) → G(L) は同型である。 よって、上の可換図式の右の縦２列は同型である。 よって、左端の F(M) → G(M) も同型である。 証明終
223 ：208：2005/12/07(水) 10:59:59
>>222 の系 A を環、M を A 上の有限表示を持つ加群とする。 S を A の積閉部分集合(前スレの63)とする。 任意の A-加群 N に対して Hom(M, N)_S = Hom(M_S, N_S) となる。ここで、等号は A_S-加群としての同型を表す。
証明 A_S は A-加群として平坦(前スレの86)だから >>222 より明らか。
224 ：208：2005/12/07(水) 11:25:12
補題 A を環、M を A-加群とする。 A の任意の極大イデアル m に対して標準射 M → M_m がある。 よって射 φ: M → ΠM_m が得られる。ここで、右辺は、A の全ての 極大イデアル m を動く。 このとき、Ker(φ) = 0 である。
証明 x ∈ Ker(φ) で x ≠ 0 とする。 Ann(x) ≠ A だから、Ann(x) ⊂ m となる極大イデアル m がある。 仮定より M_m において x/1 = 0 となる。 よって、s ∈ A - m があって sx = 0 となる。 よって、s ∈ Ann(x) ⊂ m となって矛盾。 証明終
225 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 12:32:00
>>217 ＞ヴェイユの講義姿は格好良かったな ＞もちろん京都賞じゃないよ
ああ、55年のときね。永田君も話してたな。 谷山君が欠席したのが惜しかった。 あのときにたしかヴェイユが南禅寺で 写経しながら大文字焼き食べてたよ。 当時はまだ餃子ジュースがなくて、 生八つ橋シェイク飲んでたっけ。懐かしいな～。
226 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 12:42:12
>>225 そうだったな。岡先生が餃子コーヒーを注文したら 店の人が「そんなもんあらしませんえ」とかいって 笑ったっけ。あれが、餃子ジュースを思いつくきっかけ になったらしいね。後で店長から聞いたことだけど。
227 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 12:58:25
永田君はなにをしゃべったんだい？
228 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 13:17:44
ヒルベルト・永田の定理の原型だったかな？ 志村君がいつものように意地の悪い質問していたけど、 どこか的が外れていたな。
229 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 13:23:15
志村君ね。嫌われ者だったな。あの当時から。 ジーゲル先生が嫌がって志村君とは口もきかなかった。
230 ：208：2005/12/07(水) 14:26:27
A を環とする。
E を A の部分集合としたとき
V(E) = {p ∈ Spec(A); E ⊂ p} と書く。
さらに、D(E) = Spec(A) - V(E) と書く。
補題 A を環とする。 Spec(A) は準コンパクト(前スレの215)である。
証明 Spec(A) = ∪D(E_λ) とする。ここで、λ はある添字集合 L を動き、 E_λ は A の部分集合である。E = ∪E_λ とすれば、 ∪D(E_λ) = D(E) である。よって、V(E) は空集合となる。 よって E で生成されるイデアルを J とすれば、J = A となる。 何故なら、J ≠ A とすれば J ⊂ m となる極大イデアルが存在 するから。よって、1 = Σ(g_i)(f_i) となる有限個の元 g_i ∈ A, f_i ∈ E がある。これから Spec(A) = ∪D(f_i) となり、 f_i ∈ E_λ(i) とすれば、Spec(A) = ∪D(E_λ(i)) となる。 証明終
231 ：208：2005/12/07(水) 14:53:31
補題 A を環、M を A-加群とする。 f_1, ..., f_n を A の元とし、 Spec(A) = ∪D(f_i) とする。 各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として有限生成なら M も A-加群として 有限生成である。
証明
各 i に対して x_ij/(f_i)^m, j = 1, ..., i_r を M_(f_i) の
生成元とする。m は 各 i で共通としてよい。
{x_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} で生成される M の
部分加群を N とする。
x ∈ M に対して、x/1 ∈ M_(f_i) より、
((f_i)^t)x ∈ N となる整数 t > 0 がある。
t は 各 i で共通としてよい。
D(f_i) = D((f_i)^t) だから
Spec(A) = ∪D((f_i)^t) = D((f_1)^t, ..., (f_n)^t) となる。
よって、(f_1)^t, ..., (f_n)^t が生成するイデアルは A となる。
よって、1 = Σg_i(f_i)^t となる元 g_1, ..., g_n がある。
よって、x = Σg_i((f_i)^t)x ∈ N となる。
x は任意だから、M = N である。
証明終
232 ：208：2005/12/07(水) 15:03:14
フフン
233 ：208：2005/12/07(水) 15:04:04
はっきり書くよ。 ノーベル賞をとった科学者で、「故人」になった人で、 天国にも地獄にも行けず、「人間に転生」するしかなくなった人は、 全員「日本人の科学者」に「輪廻転生」しています。 だから、日本ならば、ノーベル賞を１００個くらい、とれなければ「おかしい」。
234 ：208：2005/12/07(水) 15:27:19
補題 A を環、M を A-加群とする。 f_1, ..., f_n を A の元とし、 Spec(A) = ∪D(f_i) とする。 各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として有限表示を持てば M も A-加群として 有限表示を持つ。
証明
各 i に対して x_ij/(f_i)^m, j = 1, ..., i_r を M_(f_i) の
生成元とする。
>>231の証明より M は {x_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} で
生成される。
L を {e_ij; i = 1, ..., n, j = 1, ..., i_r} を基底とする
A-自由加群とする。射 φ: L → M を、φ(e_ij) = x_ij で定義する。
Ker(φ) = K とおく。
完全列
0 → K → L → M → 0
より、各 i に対して完全列
0 → K_(f_i) → L_(f_i) → M_(f_i) → 0
が得られる。
L_(f_i) は A_(f_i)-加群として自由であるから、>>179 より K_(f_i) は
A_(f_i)-加群として有限生成である。
よって、>>231 より K は A-加群として有限生成である。
証明終
235 ：208：2005/12/07(水) 15:47:32
命題 A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。 A の各極大イデアル m に対して M_m が A_m-加群として自由なら M は射影的である。
証明 P → Q → 0 を A-加群の完全列とする。 Hom(M, P) → Hom(M, Q) の余核を T とする。 よって、 Hom(M, P) → Hom(M, Q) → T → 0 は完全である。 m を A の任意の極大イデアルとすると、 Hom(M, P)_m → Hom(M, Q)_m → T_m → 0 も完全である。 >>223 より Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) → T_m → 0 は完全である。 一方、M_m は自由であるからもちろん射影的なので、 完全列 P_m → Q_m → 0 より、 Hom(M_m, P_m) → Hom(M_m, Q_m) は全射である。 よって、T_m = 0 である。 m は任意の極大イデアルだから、>>224 より T = 0 となる。 証明終
236 ：208：2005/12/07(水) 16:07:11
命題 A を環、M を A-加群とする。 A の各素イデアル p に対して f ∈ A - p が存在し M_f は A_f-加群として自由であるとする。 このとき、M は有限生成射影加群である。
証明 >>230 より Spec(A) は準コンパクトだから、 A の元 f_1, ..., f_n があり、Spec(A) = ∪D(f_i) となり、 各 M_(f_i) が A_(f_i)-加群として自由となる。 よって、>>234 より M は有限表示を持つ。 A の各極大イデアル m に対して、m ∈ D(f_i) とすれば、 mA_(f_i) は A_(f_i) の極大イデアルであり、 M_m は M_(f_i) の mA_(f_i) による局所化とみなせる。 よって、M_m は A_m-加群として自由である。 よって >>235 より M は射影的である。 証明終
237 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 16:15:44
nikuudaaa!!!! sanyushiii!!!!! okumimooooo!!!! sanyushiiii!!!!!! omaira suugaku bakari yattorande yasukuni sampai shirooooooo!!!!!!!!!
238 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 16:20:58
>>237 靖国神社にはあえなく戦死した数学崩れの御霊も祀られているが。
239 ：208：2005/12/07(水) 16:28:36
>>236 の証明はBourbakiとは違う。 Bourbakiの証明が思い出せないんで自分で考えた。 もっとも、昔、何かで読んだ証明が潜在意識にあったのかもしれん。 だけど、それが何か思い出せない。
240 ：208：2005/12/07(水) 17:15:57
定義 X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 F~ を O_X-加群の層とする。X の各点 p に対してその近傍 U が 存在して F~|U が (O_X|U)-係数の階数有限の自由加群の層 になるとき、F~ を階数有限の局所自由層という。 (F~)_p の (O_X)_p 上の自由加群としての階数を rank(F~)_p と書く。 関数 p → rank(F~)_p は X 上の局所定数関数である。 よって、X の各連結成分上では定数になる。 rank(F~)_p が X のすべての点で一定値 n のとき F~ を階数 n の 局所自由層という。
241 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 18:03:00
ヴェイユ全集もってないの？
242 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 22:26:02
持ってるわけないじゃん！
243 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 06:20:47
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは 容赦なくたたくからよく覚えておくように！ おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
244 ：208：2005/12/08(木) 09:40:21
>>243
勝手に俺に成り代わらないでくれ。
245 ：208：2005/12/08(木) 10:01:28
X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 X 上の階数 n の局所自由層 F~ は (U_i) を X の開被覆としたとき (O_X|U_i)^n を張り合わせたものとみなせる。 よって、このような層の同型類は(集合論における通常の意味の) 集合となる。これに反して、O_X-加群の任意の層の同型類は集合には ならない。これを見るには、例えば、T を任意の集合として、 O_X の直和 (O_X)^T を考えればよい。 S を別の集合で その濃度が T の濃度と異なるものとする。すると、(O_X)^T と (O_X)^S は同型ではないし(何故か？)、濃度の全体は集合ではない。
246 ：208：2005/12/08(木) 10:35:12
定義 X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 X 上の階数１の局所自由層を可逆層という。
247 ：208：2005/12/08(木) 10:35:41
命題 X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 (L_1)~, (L_2)~ を X 上の可逆層とすると、そのテンソル積 (L_1)~(x)(L_2)~ も可逆層である。
証明 問題は局所的なので L_1 = O_X, L_2 = O_X と仮定してよい。 この場合は、(L_1)~(x)(L_2)~ = O_X となって明らか。 証明終
248 ：208：2005/12/08(木) 10:44:08
命題 X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 L~ を X 上の可逆層とすると、その双対 Hom~(L~, O_X) も可逆層である。ここで、Hom~ は花文字のHomを表す。 つまり、Γ(Hom~(L~, O_X), U) = Hom(L~|U, O_X|U) である。
証明 問題は局所的なので L = O_X と仮定してよい。 この場合は、Hom~(O_X, O_X) = O_X となって明らか。 証明終
249 ：208：2005/12/08(木) 10:59:53
命題 X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 L~ を O_X-加群の層とすると、 標準射 φ: Hom~(L~, O_X)(x)L~ → O_X が u ∈ Γ(Hom~(L~, O_X), U), t ∈ Γ(L~, U) に u(U)(t) ∈ Γ(O_X, U) を対応させることにより得られる。 L~ が可逆層なら、この標準射は同型である。
証明 問題は局所的なので L = O_X と仮定してよい。 この場合は、Hom~(O_X, O_X) = O_X となって明らか。 証明終
250 ：208：2005/12/08(木) 11:07:58
定義 X を環付空間とし、O_X をその構造層とする。 >>245 より X 上の可逆層の同型類は集合となる。 >>247, >>248, >>249 より、この集合は群となる。 この群を X の Picard 群と呼び Pic(X) と書く。
251 ：208：2005/12/08(木) 11:38:20
命題 A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。 X = Spec(A) とし、O_X をその構造層とする。 M~ を M から得られるO_X-準連接層とすれば、 M~ は階数有限の局所自由層である。
証明 >>240 の定義と>>212 より明らか。
252 ：208：2005/12/08(木) 11:59:06
命題 A を環、X = Spec(A) とし、O_X をその構造層とする。 F~ を X 上の階数有限の局所自由層とする。 Γ(F~, X) = M は A 上の有限生成射影加群であり、 F~ は M~ と標準的に同型になる。
証明 f ∈ A に対して Γ(F~, D(f)) は A_f-加群である。 M → Γ(F~, D(f)) を F~ の制限射とすれば、 これは、M_f → Γ(F~, D(f)) を誘導する(M_f = M(x)(A_f) に注意)。 よって、標準射 M~ → F~ が得られる。 F~ は明らかに準連接だから、この標準射は同型である (これはスキーム論の基本定理の１つ)。 よって、>>236 より M は有限生成射影加群である。 証明終
253 ：208：2005/12/08(木) 12:15:51
>>240 を可換代数の言葉で述べると、次の定義になる。
定義 A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。 >>208 より、A の各素イデアル p に対して、 M_p は A_p-加群として自由である。 M_p の A_p 上の自由加群としての階数を rank(M)_p と書く。 >>212 より、関数 p → rank(M)_p は Spec(A) 上の局所定数関数である。 よって、Spec(A) の各連結成分上では定数になる。 rank(M)_p が Spec(A) のすべての点で一定値 n のとき M を階数 n の 射影加群という。
254 ：208：2005/12/08(木) 13:49:48
定義 A を環とする。Spec(A) の Picard群(>>250) を Pic(A) と書く。
255 ：208：2005/12/08(木) 13:59:13
命題 A を環とする。A 上の階数１の射影加群の同型類と Spec(A) 上の可逆層の同型類は１対１に対応する。
証明 >>212 と >>252 より明らか。
256 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 14:33:24
ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに
257 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 16:04:02
>>256 このスレでは素人の発言は厳禁。したときは 容赦なくたたくからよく覚えておくように！ おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
940 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/21(月) 18:18:48 で、お前等、俺の講義を聞きたくないの？
69 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/02(金) 19:45:18 > 荒らしは黙ってろ！ > ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！ > お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！ > 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
> 荒らしども！ > ありがたく読ませてもらえ！ > まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！
258 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 16:21:06
ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに
図星だったくせに
259 ：208：2005/12/08(木) 16:29:08
5 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/22(火) 16:36:48 ひとまず礼を言っておこう。有難う。 ただ、せっかく上げてもらって何だけど、このシリーズは類体論まで いく予定なんで一桁じゃ済まないだろうから、次からはローマ数字 じゃなく普通の数字で「代数的整数論３」などの様にお願いします。
ここは、俺様208が降臨した伝説のスレとして語り継がれる場所だ。 貴様のようなクズが書き込んでいいと思っているのか？ 悔しかったら、俺様よりもいいネタを提供しろ、蛆虫が！
260 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 16:38:39
ヴェイユとワイルの区別もつかなかったくせに
図星だったくせに
ヴェイユ全集もってないくせに
261 ：208：2005/12/08(木) 16:40:36
環 A 上の階数１の射影加群の同型類は、テンソル積 により可換群になることは、>>250 と >>255 より明らかだが スキーム論を知らない人のために直接の証明を行う。
命題 環 A 上の有限生成射影加群 P, Q のテンソル積 P(x)Q は有限生成射影加群である。
証明 p を A の素イデアルとする。 >>212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として自由である。 同様に、g ∈ A - p が存在し Q_g は A_g-加群として自由である。 g/1 を A_f の元と考えて局所化 (A_f)_(g/1) をとる。 (A_f)_(g/1) は A_(fg) に標準的に同型である。 同様に、(P_f)_(g/1) は P_(fg) に標準的に同型である。 同様に、(Q_g)_(f/1) は Q_(fg) に標準的に同型である。 P_(fg), Q_(fg) は、ともに自由加群の局所化だから A_(fg)-加群として自由である。 よって、初めから f = g と仮定してよい。 (P(x)Q)_f = (P_f)(x)(Q_f) であり、(P_f)(x)(Q_f) は A_f-加群として自由である。 よって、>>236 より P(x)Q は有限生成射影加群である。 証明終
262 ：208：2005/12/08(木) 16:54:47
命題 環 A 上の階数１の射影加群 P, Q のテンソル積 P(x)Q は階数１の射影加群加群である。
証明 >>261 とその証明より明らか。
263 ：208：2005/12/08(木) 17:05:58
命題 環 A 上の階数１の射影加群 P に対して Hom(P, A) も階数１の射影加群である。
証明 p を A の素イデアルとする。 >>212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として A_f と 同型である。P は射影加群だから >>190 より有限表示を持つ。 よって、>>223 より Hom(P, A)_f = Hom(P_f, A_f) となる。 Hom(P_f, A_f) は Hom(A_f, A_f) = A_f に同型だから、 >>236 より Hom(P, A) は階数１の射影加群である。 証明終
264 ：208：2005/12/08(木) 17:41:06
補題 A を環とする。 φ: M → N を A-加群の射とする。 A の各極大イデアル m に対して φ_m: M_m → N_m が単射なら、φも単射である。
証明 Ker(φ) = K とおく。 完全列 0 → K → M → N より、完全列 0 → K_m → M_m → N_m が得られる。 M_m → N_m は単射だから K_m = 0 となる。 よって、>>224 より K = 0 である。 証明終
265 ：208：2005/12/08(木) 17:42:19
補題 A を環とする。 φ: M → N を A-加群の射とする。 A の各極大イデアル m に対して φ_m: M_m → N_m が全射なら、φも全射である。
証明 >>264 と同様。
266 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 17:46:05
ヴェイユ全集もってないくせに
267 ：208：2005/12/08(木) 17:47:56
補題 A を環とする。 φ: M → N を A-加群の射とする。 A の各極大イデアル m に対して φ_m: M_m → N_m が同型なら、φも同型である。
証明 >>264 と >>265 より。
268 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 17:51:56
ねえねえねえどうしてヴェイユ全集もってないの？
269 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 18:00:27
お金はあったでしょ
270 ：208：2005/12/08(木) 18:04:25
命題 環 A 上の階数１の射影加群 P に対して Hom(P, A)(x)P は A-加群として A に標準的に同型である。
証明 u ∈ Hom(P, A), x ∈ P に対して u(x) ∈ A を対応させる ことにより、標準射 φ: Hom(P, A)(x)P → A が得られる。 よって、A_m をテンソル積することにより φ_m: Hom(P, A)_m(x)P_m → A_m が得られる。
P は射影加群だから >>190 より有限表示を持つ。 よって、>>223 より Hom(P, A)_m = Hom(P_m, A_m) となる。 P_m = A_m だから、φ_m は同型である。 よって、>>267 より Hom(P, A)(x)P → A は同型である。 証明終
271 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 18:13:34
志村先生すき？
272 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 18:34:05
五郎ちゃんって呼んで
273 ：１３２人目の素数さん：2005/12/08(木) 21:39:14
208の性格が悪いから、ここまで粘着されるんだろうな。
70 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 11:05:15 勉強も大切だが、心も磨けよ
72 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 11:07:12 >>70 やだ
274 ：208：2005/12/09(金) 11:35:17
環付空間の射 f:X → Y があるとする。 Y 上の可逆層 L~ に f による引き戻し f^*(L~) を対応させる ことにより、アーベル群の射 Pic(Y) → Pic(X) が得られる。 これにより、X → Pic(X) は環付空間の圏からアーベル群の圏への 反変関手になる。
このことを、可換環の圏において翻訳しよう。
275 ：208：2005/12/09(金) 11:52:17
命題 A を環、 B を A-代数とする。 P を A 上の階数１の射影加群とすると、P(x)B は B 上の階数１の射影加群である。
証明 φ: A → B を構造射とする。 >>207 より P(x)B は B-加群として射影的である。 q を B の素イデアルとし、p ∈ Spec(A) を q の逆像 φ^(-1)(q) とする。 (P(x)B)_q = (P(x)B)(x)B_q = P(x)B_q = (P(x)A_p)(x)B_q = (P_p)(x)B_q = A_p(x)B_q = B_q よって、P(x)B は射影加群として階数１である。 証明終
276 ：208：2005/12/09(金) 11:56:22
>>275 よりアーベル群の射 Pic(A) → Pic(B) が得られ、 A → Pic(A) が可換環の圏からアーベル群の圏への共変関手になる ことは明らかだろう。
277 ：208：2005/12/09(金) 15:25:51
可換環のPicard群は、ある程度その環の複雑性を反映している。 例えば、局所環のPicard群は、>>191 より自明である。 同様に以下に示すように半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)の Picard群も自明である。 まず、環が体の有限個の直和となる場合に、これを示す。
278 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 15:44:33
示さなくともよろしい
279 ：208：2005/12/09(金) 16:10:54
定義 A を環とする。A が極小イデアルの有限個の直和となるとき A を (可換な)半単純環と呼ぶ。明らかにこれは、A が環として体の有限個の 直和になることと同値である。
280 ：208：2005/12/09(金) 16:30:02
命題 A を半単純環とし、M を単純 A-加群とする(前スレの253)。 M は A の極小イデアルのひとつに同型である。
証明 A = I_1 + ... I_n を A の極小イデアルの直和とする。 x を M の 0 でない元とする。M の単純性より、M = Ax である。 よって、 M = (I_1)x + ... + (I_n)x となる。 よって、(I_k)x ≠ 0 となる k がある。 M の単純性より、M = (I_k)x である。 A-加群としての射 φ: I_k → M を φ(a) = ax により定義する。 Ker(φ) = I_k では有り得ないから、I_k の極小性より Ker(φ) = 0 である。よって、M は I_k と同型である。 証明終
281 ：208：2005/12/09(金) 16:32:37
最近めっぽう寒くなってきたね。
そんな代数幾何。
282 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 16:40:06
だからウォームアップをしてるんだろう
283 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 16:43:35
ああヴェイユ先生がみたら嘆くなあ
284 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 16:44:31
>>281 ニューカレドニアからは何時帰ってきたんだ
285 ：208：2005/12/09(金) 17:01:50
補題 A を環とし、M を A-加群とする。 M が有限個の単純部分加群の和となるとする。 このとき、M はこれらの単純部分加群の一部または全ての直和となる。
証明 M = M_1 + ... + M_n (単なる和)で、各 M_i は単純とする。 各 M_i は相異なると仮定してよい。 M = M_1 ならこの場合は証明が終わるから、M ≠ M_1 と仮定してよい。 M_1 ∩ M_2 ≠ 0 なら M_1 = M_2 だから M_1 ∩ M_2 = 0 である。よって M_1 + M_2 は直和である。 M = M_1 + M_2 ならこの場合は証明が終わる。 よって、M ≠ M_1 + M_2 と仮定する。 (M_1 + M_2) ∩ M_k ≠ 0 が全ての k > 2 で成立つなら、 M_k ⊂ M_1 + M_2 となり、M = M_1 + M_2 となって仮定に反する。 よって、(M_1 + M_2) ∩ M_k = 0 となる k がある。 k = 3 と仮定してよい。よって M_1 + M_2 + M_3 は直和である。 以下、これを繰り返せばよい。 証明終
286 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 17:28:26
優拳固にする必要はなかろう
287 ：208：2005/12/09(金) 17:32:28
おまえらクズどもが荒らすのをやめるまで、しばらく書き込むのをやめるぞ。 蛆虫どもめ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
288 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 17:33:40
政界も財界も官界も数学界も建築界も どこもかしこも腐りきっている
先祖を大事にしろ？！ やす国の英霊をたてまつれ？！
馬鹿いうんじゃねえ
こんな腐った日本をつくって それを俺たちに押しつけている連中に なんの感謝の必要がある？
289 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 17:35:50
>しばらく書き込むのをやめるぞ。
ネタがなくなったのなら正直にいえばいいのに しばらくどころか金輪際書かなくても どうせ誰も惜しまない内容だよね
290 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 17:37:14
優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう
291 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 17:53:35
695 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/09(金) 09:58:35 崩れだとかボスだとか公募だとか関係ないスレまで進出してきてウザイ
ここで引き取って貰えませんか？
292 ：208：2005/12/09(金) 18:00:47
補題 A を環とし、M を A-加群とする。 M が有限個の単純部分加群の直和となるとする。 N を M の任意の部分加群とすると、N は M の直和因子となる。
証明 M = M_1 + ... + M_n (直和)で、各 M_i は単純とする。 M ≠ N と仮定してよい。 各 k で N ∩ M_k ≠ 0 なら N ∩ M_k = M_k 即ち M_k ⊂ N となって M = N となるから、N ∩ M_k = 0 となる k がある。k_1 はこのような k の最小値とする。N + M_(k_1) は直和である。M ≠ N + M_(k_1) なら 同様にして、(N + M_(k_1) ∩ M_(k_2) = 0 となる k_2 がある。 よって、N + M_(k_1) + M_(k_2) は直和である。 以下、これを繰り返せばよい。 証明終
293 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:06:30
208復活おめ。 少なくとも俺は、このスレを楽しみにしているよ！
294 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:06:45
優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう
295 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:07:24
>>1 > 前スレ > http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231
前スレが見られないのですが、誰か保存していないでしょうか？
296 ：208：2005/12/09(金) 18:10:04
>>292 において N は M/(M_(k_1) + M_(k_2) + ...) に同型だから N も、M_iの１つと同型な単純加群の直和となることが分かる。
297 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:12:18
ブルバキの劣化コピーか
298 ：208：2005/12/09(金) 18:12:57
>>293
復活もなにも、そもそも >>287 は俺じゃない。
299 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:13:55
ブルバキの劣化コピー！
300 ：１３２人目の素数さん：2005/12/09(金) 18:14:53
前スレのログきぼん
