最終更新日時 2011年03月09日 (水) 22時01分25秒
代数的整数論 007 (211-300)
元スレ： http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/211-300
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1187904318/211-300
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1187904318/211-300
211 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 15:33:29
定義 集合 X とその上の σ-集合環(>>197) Φ が与えられたとき X を可測空間(measurable space)という。 Φ の要素を Φ-可測集合または単に可測集合という。
Φ を明示するときは可測空間 X を (X, Φ) と書く。
212 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 17:00:27
定義 X を位相空間とする。 >>205 より、X の開集合全体を含む最小のσ-集合環(>>197) Φ が 存在する。Φ の要素を X の Borel 集合と言う。
X は開集合だから X ∈ Φ である。 即ち、Φ は σ-集合代数(>>198)である。
213 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 17:29:38
定義 集合 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。
f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への写像とする。
S(f) = { x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } とおく。
R~ の任意の開集合 U に対して S(f) ∩ f^(-1)(U) が Φ-可測(>>211)のとき、f を可測という。
214 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 17:44:51
Kummerおやすみー びろろ～ん べろーん びろんぬ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) /⌒) (ﾟ) (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| / / ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ .（ ヽ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ ＼ ヽノ / ヽノ ./ ヽノ / ヽノ / / / ./ / ./ / ./ / | _つ / | _つ / | _つ / | _つ / | /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼| /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼ | / ) )| / ) )| / ) )| / ) ) ∪ （ ＼ （ ＼ （ ＼ （ ＼ ＼＿) ＼＿) ＼＿) ＼＿)
215 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 17:59:21
>>213 において X ∈ Φ の場合は、f の可測性の定義は次のように 簡単になる。
命題 集合 (X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。 f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への写像とする。
f が可測(>>213)であるためには R~ の任意の開集合 U に対して f^(-1)(U) がΦ-可測となることが 必要十分である。
証明 十分なこと。 R~ の任意の開集合 U に対して f^(-1)(U) がΦ-可測とする。 S(f) = f^(-1)(R~ - [0}) であるから S(f) ∈ Φ である。 よって、R~ の任意の開集合 U に対して S(f) ∩ f^(-1)(U) ∈ Φ である。 よって、f は可測である。
必要なこと。
f が可測とする。
S(f) = f^(-1)(R~ - [0}) であるから S(f) ∈ Φ である。
0 ∈ U なら f^(-1)(U) = f^(-1)(U - {0}) ∪ X - S(f)
f^(-1)(U - {0}) ⊂ S(f) で U - {0} は開集合だから
f^(-1)(U - {0}) ∈ Φ である。
X ∈ Φ だから X - S(f) ∈ Φ である。
従って f^(-1)(U) ∈ Φ である。
0 ∈ U でないなら f^(-1)(U) ⊂ S(f) だから f^(-1)(U) ∈ Φ である。 証明終
216 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 18:02:33
>>213 において S(f) が出てきたのは、X が Φ-可測とは 限らないことと、f(x) = 0 となる点 x は f の積分(後で定義する) に寄与しないからである。
しかし、応用上の大抵の場合、X ∈ Φ であり、 この場合、>>215 で見たように S(f) は可測性の定義に不要である。
217 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 18:05:34
>>209 いや、通常の代数でやる群や環のことは言ってないよ。 集合環などの定義にいくつか流儀があると言ってる。 たとえば > 対称差の代わりに和だったり というのは、対称差の変わりに単純な和集合で閉じてることを 要請したりするという話。 集合体とかまでいくと、随分と構造がきついので定義からたくさん 条件が取り出せるので、定義の違いに依るブレがあまりでなくなるが、 加法族や集合環だと、微妙に無い様にもズレがでてくるから よく分からないということ。
218 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 18:16:56
>>217
>>189 と >>193 と >>195 は全部、互いに同値なので どれをとっても集合環の定義になります。
このことを言ってるのでしたら、同値という意味でブレは全く ありません。
219 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 18:24:03
だから、何？
220 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 18:29:15
>>219
だから混乱する理由が分からない。
221 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 18:39:33
>>218 知ってるっての。
222 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 18:42:55
>>220 お前さんがどうこうではなくて、俺の個人的なことだし、 このスレの話題に限定したわけじゃなくて、もうちょっと一般のこと。 加法族とか（別に乗法族でもいいけど）に言及してるのはその所為。
ちなみに>>219とは別人。
223 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 18:54:18
>>222
どこが混乱するのか分かりやすく書いてもらえませんかね。 ただし、個人的なことなら書かないでください。
224 ：219：2007/08/29(水) 18:56:37
Kummer ◆g2BU0D6YN2氏 ゴメン >>219は>>217宛
個人レベルの理解を云々書き込む意図が不明だ 結局何が言いたいのか全くわからない
225 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 19:07:32
補題 X を集合とし、A, B, C を X の部分集合とする。
C ∩ (A - B) = (C ∩ A) - (C ∩ B)
証明 x ∈ C ∩ (A - B) なら x ∈ C かつ x ∈ A かつ x ∈ X - B よって、x ∈ (C ∩ A) - (C ∩ B) 即ち、C ∩ (A - B) ⊂ (C ∩ A) - (C ∩ B)
逆に x ∈ (C ∩ A) - (C ∩ B) なら x ∈ C かつ x ∈ A かつ (x ∈ X - C または x ∈ X - B) よって x ∈ C かつ x ∈ A かつ x ∈ X - B よって、x ∈ C ∩ (A - B) 即ち、(C ∩ A) - (C ∩ B) ⊂ C ∩ (A - B) 証明終
226 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 19:28:08
>>223-224 ２ちゃんの共有財産であるスレを私物化か？ つか、個人的な感想なんだから感想は要らないって 思ってるなら一読して放っておけばいいのに、 延々と引きずってるのはお前らだろ？
227 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 19:28:41
命題 集合 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。 f を X から集合 Y への写像とする。
Ω = {A ⊂ Y ; f^(-1)(A) ∈ Φ} とおく。
Ω は Y 上の σ-集合環(>>197)である。
証明 空集合は明らかに Ω に属す。 従って Ω は空ではない。
よって、Ω に関して >>197 の 1) と 2) を確かめればよい。
1) A_n ∈ Ω, n =1 , 2, ... なら f^(-1)(A_n) ∈ Φ, n =1 , 2, ... よって f^(-1)(∪A_n) = ∪f^(-1)(A_n) ∈ Φ よって ∪A_n ∈ Ω
2) A, B ∈ Ω なら f^(-1)(A) ∈ Φ, f^(-1)(B) ∈ Φ よって、f^(-1)(A - B) = f^(-1)(A) - f^(-1)(B) ∈ Φ よって A - B ∈ Ω 証明終
228 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 19:35:29
>226 >２ちゃんの共有財産であるスレを私物化か？
だからどこが混乱するのか分かるように説明しろって言ってるんだよ。 単に個人的な感想で説明の必要がないと思ってるならスレ違いだから 書くなっての。
229 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 19:44:14
命題 集合 (X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。 f を X から集合 Y への写像とする。
Ω = {A ⊂ Y ; f^(-1)(A) ∈ Φ} とおく。
Ω は Y 上の σ-集合代数(>>198)である。
証明 X = f^(-1)(Y) ∈ Φ だから Y ∈ Ω である。
>>227 より Ω はσ-集合環だから σ-集合代数でもある。 証明終
230 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 19:49:25
>>229 にID入れるのを忘れたｗ
231 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 19:55:37
定義 (X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。 f を X から位相空間 Y への写像とする。
Y の任意の開集合 U に対して f^(-1)(U) ∈ Φ のとき、 f を可測または Φ-可測という。
232 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 19:59:08
>>215 より >>231 は Y = R~ の場合と矛盾しない。
233 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 20:03:59
命題 集合 (X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。 f を X から位相空間 Y への写像とする。
f が可測(>>231)なら Y の任意の Borel 集合(>>212) E に対して f^(-1)(E) ∈ Φ である。
証明
Ω = {A ⊂ Y ; f^(-1)(A) ∈ Φ} とおく。
>>229 より Ω は σ-集合代数である。 f は可測だから Ω は Y の開集合を全て含む。 よって Ω は Y の Borel 集合を全て含む。 証明終
234 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 20:09:21
>>233 にあるような集合 (X, Φ) という言い方は不正確だった。
235 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 20:53:20
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。 f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への写像とする。
f が可測(>>213)であるためには 任意の a ∈ R に対して f^(-1)((a, +∞]) ∈ Φ となることが 必要十分である。
証明 必要性は (a, +∞] が R~ の開集合であること(>>7)と、 >>215 から出る。
Ω = {A ⊂ R~ ; f^(-1)(A) ∈ Φ} とおく。
a_n ＜ a で n → ∞ のとき a_n → a となる数列 (a_n) をとる。 [-∞, a) = ∪[-∞, a_n] = ∪(R~ - (a_n, +∞])
>>229 より Ω は σ-集合代数である。 (a_n, +∞] ∈ Ω だから [-∞, a) ∈ Ω
a, b ∈ R で a ＜ b のとき (a, b) = [-∞, b) ∩ (a, +∞] ∈ Ω
>>7 より、R~ の任意の開集合は (a, +∞], [-∞, b), (a, b) の形の 区間の和集合だから Ω に含まれる。 よって >>215 より f は可測である。 証明終
236 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 21:45:29
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。 f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への写像とする。 f が可測(>>213)であるためには、R の任意の Borel 集合(>>212) E に対して S(f) ∩ f^(-1)(E) ∈ Φ となり、 f^(-1)(+∞) ∈ Φ, f^(-1)(-∞) ∈ Φ となることが必要十分である。
証明
f が可測であるとする。
Ω = {A ⊂ R; S(f) ∩ f^(-1)(A) ∈ Φ} とおく。
Ω が σ-集合環であることを示す。
A_n ∈ Ω, n =1 , 2, ... なら S(f) ∩ f^(-1)(A_n) ∈ Φ, n =1 , 2, ... よって S(f) ∩ f^(-1)(∪A_n) = S(f) ∩(∪f^(-1)(A_n)) = ∪(S(f) ∩ f^(-1)(A_n))) ∈ Φ よって ∪A_n ∈ Ω
A, B ∈ Ω なら、S(f) ∩ f^(-1)(A) ∈ Φ, S(f) ∩ f^(-1)(B) ∈ Φ よって、>>225 より、 S(f) ∩ f^(-1)(A - B) = S(f) ∩ (f^(-1)(A) - f^(-1)(B)) = (S(f) ∩ (f^(-1)(A)) - (S(f) ∩ (f^(-1)(B)) ∈ Φ よって A - B ∈ Φ 以上から Ω は σ-集合環である。
Ω は R の任意の開集合を含むんでいるから Ω は任意の Borel 集合を
含む。
f^(-1)(+∞) = ∩{f^(-1)((n, +∞]); n = 1, 2, ...}
f^(-1)(-∞) = ∩{f^(-1)([-∞, -n)]); n = 1, 2, ...}
であるから f^(-1)(+∞) ∈ Φ, f^(-1)(-∞) ∈ Φ である。
(続く)
237 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 21:47:45
>>236 の続き。
逆に、本命題の条件が成り立っているとする。
f^(-1)((a, +∞]) = f^(-1)((a, +∞)) ∪ f^(-1)(+∞) よって、 S(f) ∩ f^(-1)((a, +∞]) = (S(f) ∩ f^(-1)((a, +∞))) ∪ (S(f) ∩ f^(-1)(+∞)) ∈ Φ
f^(-1)([-∞, a)) = f^(-1)((-∞, a)) ∪ f^(-1)(-∞) よって、 S(f) ∩ f^(-1)([-∞, a)) = (S(f) ∩ f^(-1)((-∞, a))) ∪ (S(f) ∩ f^(-1)(-∞)) ∈ Φ
(a, b) は R の開集合だから Borel 集合であり、 S(f) ∩ f^(-1)((a, b)) ∈ Φ
>>7 より、R~ の任意の開集合 U は (a, +∞], [-∞, b), (a, b) の形の 区間の和集合だから S(f) ∩ f^(-1)(U) ∈ Φ よって、 f は可測である。 証明終
238 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 22:04:06
>>236 の補足説明
>f^(-1)(+∞) = ∩{f^(-1)((n, +∞]); n = 1, 2, ...}
>f^(-1)(-∞) = ∩{f^(-1)([-∞, -n)]); n = 1, 2, ...}
>であるから f^(-1)(+∞) ∈ Φ, f^(-1)(-∞) ∈ Φ である。
f^(-1)(+∞) ⊂ S(f) であるから S(f) ∩ f^(-1)(+∞) = f^(-1)(+∞) である。
よって、 f^(-1)(+∞) = S(f) ∩ f^(-1)(+∞) = S(f) ∩ (∩f^(-1)((n, +∞]) = ∩(S(f) ∩ f^(-1)((n, +∞])) ∈ Φ である。
同様に、f^(-1)(-∞) ∈ Φ である。
239 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 22:07:03
>>228 そんなに引きずるほどこの話題がすきなの？
240 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 22:08:55
>>239
荒らすな。バカ。
241 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 22:09:59
Kummerおやすみー びろろ～ん べろーん びろんぬ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) /⌒) (ﾟ) (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| / / ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ .（ ヽ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ ＼ ヽノ / ヽノ ./ ヽノ / ヽノ / / / ./ / ./ / ./ / | _つ / | _つ / | _つ / | _つ / | /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼| /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼ | / ) )| / ) )| / ) )| / ) ) ∪ （ ＼ （ ＼ （ ＼ （ ＼ ＼＿) ＼＿) ＼＿) ＼＿)
242 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 22:11:08
>>240 まともな議論もできないのか？ べろーん びろんぬ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) /⌒) (ﾟ) (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| / / ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ .（ ヽ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ ＼ ヽノ / ヽノ ./ ヽノ / ヽノ / / / ./ / ./ / ./ / | _つ / | _つ / | _つ / | _つ / | /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼| /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼ | / ) )| / ) )| / ) )| / ) ) ∪ （ ＼ （ ＼ （ ＼ （ ＼ ＼＿) ＼＿) ＼＿) ＼＿)
243 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 22:12:48
>>239 そもそもこのスレはコテが占有していてルール違反 びろんぬ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) /⌒) (ﾟ) (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| / / ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ .（ ヽ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ ＼ ヽノ / ヽノ ./ ヽノ / ヽノ / / / ./ / ./ / ./ / | _つ / | _つ / | _つ / | _つ / | /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼| /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼ | / ) )| / ) )| / ) )| / ) ) ∪ （ ＼ （ ＼ （ ＼ （ ＼ ＼＿) ＼＿) ＼＿) ＼＿)
244 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 22:13:22
>>242 の、どこがまともな議論だ？
245 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 22:15:26
>>243
そんなに引きずるほどこの話題がすきなの？
246 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 22:16:01
まあKummerも自分のHPでやるべきだな 自己顕示欲が強すぎてそれもできないんだろうが
247 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 22:16:50
>>246 死ね
248 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 22:17:46
>>246 は、このスレの内容について行けない乙
249 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 22:18:58
>>247 Kummer乙
250 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 22:23:48
>>248 お前は >>242 について行けそうだなw
251 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 22:40:13
>>238 は以下の様に修正する。
{+∞} = ∩{(n, +∞]; n = 1, 2, ...} で (n, +∞] ∈ Ω だから
{+∞} ∈ Ω である。
よって、f^(-1)(+∞) ∈ Φ である。
同様に、f^(-1)(-∞) ∈ Φ である。
252 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 22:45:54
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。 f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への写像とする。 f が可測(>>213)であるためには、 f^(-1)(-∞) ∈ Φ となり、 任意の a ∈ R に対して S(f) ∩ f^(-1)((a, +∞]) ∈ Φ となることが 必要十分である。
証明 f が可測であるとする。 >>236 より、f^(-1)(-∞) ∈ Φ である。 (a, +∞] は R~ の開集合だから S(f) ∩ f^(-1)((a, +∞]) ∈ Φ と なる。
逆に、f^(-1)(-∞) ∈ Φ となり、
任意の a ∈ R に対して S(f) ∩ f^(-1)((a, +∞]) ∈ Φ とする。
Ω = {A ⊂ R; S(f) ∩ f^(-1)(A) ∈ Φ} とおく。
>>236 の証明より Ω は σ-集合環である。
{+∞} = ∩{(n, +∞]; n = 1, 2, ...} で (n, +∞] ∈ Ω だから
f^(-1)(+∞) ∈ Φ である。
>>225 より、S(f) ∩ f^(-1)((a, b]) = S(f) ∩ (f^(-1)((a, +∞]) - f^(-1)((b, +∞])) = (S(f) ∩ (f^(-1)((a, +∞])) - (S(f) ∩ (f^(-1)((b, +∞])) ∈ Φ よって、(a, b] ∈ Ω である。
a, b ∈ R で a ＜ b のとき、 a ＜ b_n ＜ b で n → ∞ のとき b_n → b となる数列 (b_n) をとる。 (a, b) = ∪(a, b_n] ∈ Ω である。 よって、Ω は R の任意の Borel 集合を含む。 >>236 より f は可測である。 証明終
253 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 22:50:28
つかそもそも見づらいしスレ跨ぐと参照性も悪いし、 こんなスレでやらずに、いっそのこと専用サイト作って TeX(+Hyperref pkg)かなんかで書いてうｐして、 ここはソレを肴にヲチスレを決め込むってほうが よほど建設的だと思うんだが。
254 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 23:21:23
そんな高級なことは知らないだろう。このスレは若い頃にブルバキにかぶれていた オッサンが昔を懐かしむスレなんだから。
255 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 23:32:20
うはｗ 自演カッコワルイｗｗ
256 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 23:42:12
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。
Y を X の部分集合とする。
Y ∩ Φ = { Y ∩ A; A ∈ Φ} とおく。
Y ∩ Φ は Y 上の σ-集合環(>>197)である。
証明 A_n ∈ Φ, n =1 , 2, ... なら Y ∩ (∪A_n) = ∪(Y ∩ A_n) ∈ Y ∩ Φ
A, B ∈ Φ なら A - B ∈ Φ >>225 より、 Y ∩ (A - B) = (Y ∩ A) - (Y ∩ B) ∈ Y ∩ Φ 証明終
257 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 23:44:31
KummerはKY
258 ：254：2007/08/29(水) 23:48:07
>>255 俺は253じゃない。
259 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 23:50:27
>>253と>>254がフシアナして証明すれば信じるよｗ
260 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 23:50:31
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。
Y を X の部分集合とする。
Φ|Y = { A ⊂ Y; A ∈ Φ} とおく。
Φ|Y は Y 上の σ-集合環(>>197)である。
証明 A_n ∈ Φ|Y, n =1 , 2, ... なら A_n ∈ Φ, n =1 , 2, ... だから ∪A_n ∈ Φ よって、∪A_n ∈ Φ|Y
A, B ∈ Φ|Y なら A, B ∈ Φ よって A - B ∈ Φ よって A - B ∈ Φ|Y 証明終
261 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 23:56:36
>>259 お前とKummerが節穴すれば、お前がKummerの自演じゃないことを 信じてやるよ。
262 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 23:58:44
>>225 の前に次の補題を述べておけば良かった。
補題 X, Y を集合とし、f : X → Y を写像とする。 A, B を Y の部分集合とする。
f^(-1)(A - B) = f^(-1)(A) - f^(-1)(B)
証明 自明である。
263 ：259@fushianasan：2007/08/30(木) 00:00:29
えーと これででてるかな よっぽど偶然が重ならない限り俺とKummer氏のIPが一致することはないと思うけど
264 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 00:01:00
>>225 は、f: C → X を標準単射として >>262 を適用すればよい。
265 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 00:01:07
やる気のなさにﾜﾛﾀ
266 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 00:01:17
>>263 下手くそｗ
267 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 00:04:54
過去ログも参照しにくくなったし、ここでやる大義名分はもうないんだよな
268 ：[email protected]：2007/08/30(木) 00:11:21
今度はどうだ ま、Kummer氏がフシアナするかどうかはともかくとして俺と氏は全くの別人だ
269 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 00:30:03
命題
(X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。
f と g を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への写像とする。
f と g が可測(>>213)なら、A = {x; f(x) ＞ g(x) } ∈ Φ である。
証明
f(x) ＞ g(x) なら f(x) ＞ r ＞ g(x) となる有理数がある。
よって、A = ∪({x; f(x) ＞ r} ∩ {x; r ＞ g(x)}), r ∈ Q
>>215 より {x; f(x) ＞ r} ∈ Φ, {x; r ＞ g(x)} ∈ Φ
よって、A ∈ Φ である。
証明終
270 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 00:39:13
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。 f と g を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への写像とする。
f と g が可測(>>213)なら、
(1) {x; f(x) ≧ g(x) } ∈ Φ
(2) {x; f(x) = g(x) } ∈ Φ
証明
(1)
{x; f(x) ≧ g(x) } = X - {x; f(x) ＜ g(x) }
>>269 より、{x; f(x) ＜ g(x) } ∈ Φ だから
{x; f(x) ≧ g(x) } ∈ Φ である。
(2)
{x; f(x) = g(x) } = {x; f(x) ≧ g(x) } ∩ { x; f(x) ≦ g(x) }
(1) より、{x; f(x) = g(x) } ∈ Φ である。
証明終
271 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 01:31:56
補題 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。 f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への可測写像とする。
U を R~ の開集合で 0 を含まないものとする。 f^(-1)(U) ∈ Φ である。
証明
S(f) = { x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } とおく。
f は可測だから >>213 より S(f) ∩ f^(-1)(U) ∈ Φ である。 U は 0 を含まないから f^(-1)(U) ⊂ S(f) である。 よって、f^(-1)(U) ∈ Φ である。 証明終
272 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 01:36:50
補題 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。 f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への可測写像とする。
任意の A ∈ Φ に対して A ∩ {x; f(x) = 0 } ∈ Φ である。
証明
A ∩ {x; f(x) = 0 } = A - ({x; f(x) ＞ 0 } ∪ {x; f(x) ＜ 0 })
>>271 より {x; f(x) ＞ 0 } ∈ Φ, {x; f(x) ＜ 0 } ∈ Φ
よって、A ∩ {x; f(x) = 0 } ∈ Φ である。
証明終
273 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 01:44:38
補題 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。 f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への可測写像とする。
任意の A ∈ Φ と R~ の任意の開集合 U に対して
に対して A ∩ f^(-1)(U) ∈ Φ である。
証明 U が 0 を含まない場合は、>>271 より f^(-1)(U) ∈ Φ だから A ∩ f^(-1)(U) ∈ Φ である。
0 ∈ U とする。
f^(-1)(U) = f^(-1)(U - {0}) ∪ f^(-1)(0) だから
A ∩ f^(-1)(U) = (A ∩ f^(-1)(U - {0})) ∪ (A ∩ f^(-1)(0))
U - {0} は開集合だから、
>>271 より A ∩ f^(-1)(U - {0}) ∈ Φ である。
>>272 より A ∩ f^(-1)(0) ∈ Φ である。 よって、A ∩ f^(-1)(U) ∈ Φ である。 証明終
274 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 01:46:42
Kummerおやすみー びろろ～ん べろーん びろんぬ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) /⌒) (ﾟ) (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| / / ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ .（ ヽ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ ＼ ヽノ / ヽノ ./ ヽノ / ヽノ / / / ./ / ./ / ./ / | _つ / | _つ / | _つ / | _つ / | /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼| /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼ | / ) )| / ) )| / ) )| / ) ) ∪ （ ＼ （ ＼ （ ＼ （ ＼ ＼＿) ＼＿) ＼＿) ＼＿)
275 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 01:48:51
命題
(X, Φ) を可測空間(>>211)とする。
f と g を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への写像とする。
f と g が可測(>>213)なら、任意の A ∈ Φ に対して、
A ∩ {x; f(x) ＞ g(x) } ∈ Φ である。
証明
f(x) ＞ g(x) なら f(x) ＞ r ＞ g(x) となる有理数がある。
よって、
{x; f(x) ＞ g(x) } = ∪({x; f(x) ＞ r} ∩ {x; r ＞ g(x)}), r ∈ Q
よって、>>273 より、A ∩ {x; f(x) ＞ g(x) } ∈ Φ である。
証明終
276 ：１３２人目の素数さん：2007/08/30(木) 05:01:57
∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) /⌒) (ﾟ) (ﾟ) | .| (ﾟ) (ﾟ) | .| (ﾟ) (ﾟ) | .| (ﾟ) (ﾟ) | .| / / ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ .（ ヽ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ ＼ ヽノ / ヽノ ./ ヽノ / ヽノ / / / ./ / ./ / ./ / | _つ / | _つ / | _つ / | _つ / | /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼| /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼ | / ) )| / ) )| / ) )| / ) ) ∪ （ ＼ （ ＼ （ ＼ （ ＼ ＼＿) ＼＿) ＼＿) ＼＿)
277 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 08:26:58
補題 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。 f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への写像とする。 α ≠ 0 を(有限)実数とする。
αf は可測(>>213)である。
証明 >>252 を使う。
任意の a ∈ R に対して
α ＞ 0 のとき、{x ; αf(x) ＞ a} = {x ; f(x) ＞ a/α}
α ＜ 0 のとき、{x ; αf(x) ＞ a} = {x ; f(x) ＜ a/α}
>>236 より、
S(f) ∩ {x ; f(x) ＞ a/α} ∈ Φ
S(f) ∩ {x ; f(x) ＜ a/α} ∈ Φ
よって、いづれの場合も、S(f) ∩ {x ; αf(x) ＞ a} ∈ Φ である。
>>36 より、
α ＞ 0 のとき、{x ; αf(x) = -∞} = {x ; f(x) = -∞}
α ＜ 0 のとき、{x ; αf(x) = -∞} = {x ; f(x) = +∞}
>>236 より、
S(f) ∩ {x ; f(x) = -∞} ∈ Φ
S(f) ∩ {x ; f(x) = +∞} ∈ Φ
よって、いづれの場合も、S(f) ∩ {x : αf(x) = -∞} ∈ Φ である。
証明終
278 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 08:34:43
補題 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。 f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への写像とする。 α を(有限)実数とする。
f + α は可測(>>213)である。
証明 >>252 を使う。
任意の a ∈ R に対して
{x ; f + α ＞ a} = {x ; f(x) ＞ a - α}
>>252 より、
S(f) ∩ {x ; f(x) ＞ a - α} ∈ Φ
よって、S(f) ∩ {x ; f + α ＞ a} ∈ Φ である。
>>45 より、
{x ; f + α = -∞} = {x ; f(x) = -∞}
>>252 より、
S(f) ∩ {x ; f(x) = -∞} ∈ Φ
よって、S(f) ∩ {x ; f + α = -∞} ∈ Φ である。
証明終
279 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 08:36:30
訂正
>>277, >>278 >f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への写像とする。
f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への可測(>>213)な 写像とする。
280 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 09:31:39
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。 f と g を X から(有限)数直線 R = (-∞, +∞) への写像とする。
f と g が可測(>>213)なら、 f + g も可測である。
証明 >>252 を使う。
任意の a ∈ R に対して
{x ; f(x) + g(x) ＞ a} = {x ; f(x) ＞ a - g(x)}
>>277 と >>278 より、a - g(x) は可測である。
>>269 より、{x ; f(x) ＞ a - g(x)} は可測である。
よって、f + g は可測である。
証明終
281 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 09:42:34
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。
f を X から位相空間 Y への写像とする。 g を X から位相空間 Z への写像とする。
f と g がそれぞれ可測(>>231)なら
X から Y×Z への写像 h(x) = (f(x), g(x)) も可測である。
証明 U と V をそれぞれ Y と Z の開集合とする。 h^(-1)(U×V) = f^(-1)(U) ∩ f^(-1)(V) である。
よって、h^(-1)(U×V) ∈ Φ である。
U×V の形の集合の有限個の共通部分全体は Y×Z の開集合の 基底である。 従って、Y×Z の任意の開集合 W に対して h^(-1)(W) ∈ Φ である。 証明終
282 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 09:50:25
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。
f : X → Y を可測(>>231)写像、 g : Y → Z を連続写像とする。
gf: X → Z は可測である。
証明 U を Z の任意の開集合とする。
(gf)^(-1)(U) = f^(-1)(g^(-1)(U)) g は連続だから g^(-1)(U) は Y の開集合である。 f は可測だから、f^(-1)(g^(-1)(U)) は X の可測集合である。 証明終
283 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 09:54:41
>>280 の別証
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。 f と g を X から(有限)数直線 R = (-∞, +∞) への写像とする。
f と g が可測(>>213)なら、 f + g も可測である。
証明 >>281 より、X から R×R への写像 h(x) = (f(x), g(x)) は可測である。
R×R から R への写像 μ(x, y) = x + y は連続である。
f + g = μh であるから、>>282 より f + g は可測である。 証明終
284 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 09:57:00
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。 f と g を X から(有限)数直線 R = (-∞, +∞) への写像とする。
f と g が可測(>>213)なら、 fg も可測である。
証明 >>281 より、X から R×R への写像 h(x) = (f(x), g(x)) は可測である。
R×R から R への写像 μ(x, y) = xy は連続である。
fg = μh であるから、>>282 より fg は可測である。 証明終
285 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 10:10:43
可測空間 (X, Φ) で X ∈ Φ の場合は可測関数の性質は簡単に 証明される。 これに較べて X ∈ Φ でない場合はかなり面倒である。
しかも、応用上は X ∈ Φ の場合が圧倒的に多い。 費用対効果比は非常に悪い。 これが多くの測度論の教科書で X ∈ Φ を仮定している理由だろう。
しかし、局所コンパクト空間上の測度を考える上で、 X ∈ Φ を仮定するのは応用上はともかく理論上は制限が強いように 思われる。
286 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 10:21:43
>>283 と >>284 の証明は、よくある証明(例えば >>280)より 分かりやすいだろう。
従来の証明は技巧的である。
287 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 10:30:06
測度論を我々のように、可測空間 (X, Φ) の定義から初めて、 可測関数の性質について述べるのは、初心者には不親切だろう。 しかし、理論的にはこれが一番すっきりしていると思われる。 位相空間論と同様である。
288 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 10:50:38
定義 (a_n), n ≧ 0 を補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] の数列とする。
b_k = sup{a_n ; n ≧ k} とおく。
inf{b_k; k ≧ 0} を、
lim sup(a_n) = または lim sup{a_n; n ≧0} と書く。
lim sup(a_n) を数列 (a_n) の上極限と言う。
c_k = inf{a_n ; n ≧ k} とおく。
inf{c_k; k ≧ 0} を、
lim inf(a_n) = または lim inf{a_n; n ≧0} と書く。
lim inf(a_n) を数列 (a_n) の下極限と言う。
289 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 11:04:29
定義 (f_n), n ≧ 0 を集合 X 上の補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] に 値をとる関数列とする。
lim sup(f_n)(x) = lim sup((f_n)(x)) により 関数列 (f_n) の上極限関数 lim sup(f_n) を定義する。
下極限関数 lim inf(f_n) も同様に定義する。
290 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 11:31:55
定義 (f_n), n ≧ 0 を集合 X 上の補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] に 値をとる関数列とする。
sup(f_n)(x) = sup((f_n)(x)) により 関数列 (f_n) の上限関数 sup(f_n) を定義する。
下限関数 inf(f_n) も同様に定義する。
291 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 11:50:07
補題 (f_n), n ≧ 0 を集合 X 上の補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] に 値をとる関数列とする。
α を有限実数とする。
{x ; (sup f_n)(x) ＞ α} = ∪{x ; f_n(x) ＞ α}, n = 0, 1. ...
である。
証明 自明である。
292 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 12:02:33
補題 (f_n), n ≧ 0 を集合 X 上の補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] に 値をとる関数列とする。
α を有限実数とする。 (α_n), n ≧ 0 を有限実数列で、 α_n ＜ α かつ lim α_n = α とする。
A_nk = {x ; f_n(x) ＜ α_k }
A_k = ∩{A_nk ; n = 0, 1, 2, ...}
とおく。
{x ; (sup f_n)(x) ＜ α} = ∪A_k, k = 0, 1, 2, ...
である。
証明 (sup f_n)(x) ＜ α とする。 (sup f_n)(x) ＜ α_k ＜ α となる k ≧ 0 がある。
任意の n ≧ 0 に対して、f_n(x) ＜ α_k である。 よって、x ∈ A_k である。 よって、x ∈ ∪A_k, k = 0, 1, 2, ... である。
逆に、x ∈ ∪A_k, k = 0, 1, 2, ... とする。 x ∈ A_k となる k ≧ 0 がある。 任意の n ≧ 0 に対して、f_n(x) ＜ α_k である。 よって、(sup f_n)(x) ≦ α_k ＜ α である。 証明終
293 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 12:23:05
補題 (X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。 (f_n), n ≧ 0 を X 上の補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] に 値をとる関数列とする。
f = sup(f_n) とおく。
f が可測(>>213)なら S(f) = {x ; f(x) ≠ 0} ∈ Φ である。
証明
S(f) = {x ; f(x) ＞ 0} ∪ {x ; f(x) ＜ 0}
>>291 より、
{x ; f(x) ＞ 0} = ∪{x ; f_n(x) ＞ 0}
>>271 より、{x ; f_n(x) ＞ 0} ∈ Φ である。
よって、{x ; f(x) ＞ 0} ∈ Φ である。
整数 k ＞ 0 に対して
A_nk = {x ; f_n(x) ＜ -1/k } とおく。
A_k = ∩{A_nk ; n = 0, 1, 2, ...}
とおく。
>>292 より、
{x ; f(x) ＜ 0} = ∪A_k, k = 1, 2, ...
である。
>>271 より、A_nk ∈ Φ である。
よって、{x ; f(x) ＜ 0} ∈ Φ である。
以上から、S(f) = {x ; f(x) ≠ 0} ∈ Φ である。
証明終
294 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 12:27:27
訂正
>>293 >(X, Φ) を可測空間(>>211)で X ∈ Φ とする。
(X, Φ) を可測空間(>>211)とする。
295 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 12:45:41
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。 (f_n), n ≧ 0 を X 上の補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] に 値をとる関数列とする。
各 f_n が可測なら、f = sup(f_n) もは可測である。
証明
S(f) = {x ; f(x) ≠ 0} とおく。
>>291 より、S(f) ∈ Φ である。
α を有限実数とする。
>>291 より、
{x; f(x) ＞ α} = ∪{x ; f_n(x) ＞ α}, n = 0, 1. ...
S(f) ∩ {x; f(x) ＞ α} = ∪(S(f) ∩ {x; f_n(x) ＞ α})
S(f) ∈ Φ であり、f_n は可測だから >>273 より、
(S(f) ∩ {x; f_n(x) ＞ α}) ∈ Φ である。
よって、S(f) ∩ {x; f(x) ＞ α} ∈ Φ である。
{x; f(x) = -∞} = ∩{x ; f_n(x) = -∞} である。
>>252 より、{x; f_n(x) = -∞} ∈ Φ だから、
よって、{x; f(x) = -∞} ∈ Φ である。
以上から、>>252 より f は可測である。 証明終
296 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 12:53:35
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。 (f_n), n ≧ 0 を X 上の補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] に 値をとる関数列とする。
各 f_n が可測なら、f = inf(f_n) も可測である。
証明 >>295 と同様に証明してもいいが、次のようにしても証明できる。
inf(f_n) = -sup(-f_n) であり、>>277 より、各 -f_n は可測である。 よって、>>295 より、sup(-f_n) は可測である。 再び、>>277 より、inf(f_n) = -sup(-f_n) は可測である。 証明終
297 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 12:56:39
訂正 >>277
>>>236 より、
>S(f) ∩ {x ; f(x) = -∞} ∈ Φ
>S(f) ∩ {x ; f(x) = +∞} ∈ Φ
>
>よって、いづれの場合も、S(f) ∩ {x : αf(x) = -∞} ∈ Φ である。
>>236 より、
{x ; f(x) = -∞} ∈ Φ
{x ; f(x) = +∞} ∈ Φ
よって、いづれの場合も、{x : αf(x) = -∞} ∈ Φ である。
298 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 13:21:34
定義 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。 f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への写像とする。
f(X) が R~ の有限集合であるとき f を単関数という。
299 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 13:44:45
補題 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。 f を X から補完数直線(>>7) R~ = [-∞, +∞] への写像とする。
f が可測(>>213)なら、
α ∈ f(X) - {0} のとき、f^(-1)(α) ∈ Φ である。
証明 >>236 より、f^(-1)(+∞) ∈ Φ、f^(-1)(-∞) ∈ Φ であるから α は有限としてよい。
α ≠ 0 だから、b ＜ α ＜ c となる実数 b, c で 区間 I = (b, c) に 0 が含まれないようなものがある。
>>271 より、f^(-1)(I) ∈ Φ である。
I - {α} は開集合だから、やはり >>271 より、
f^(-1)(I - {α}) ∈ Φ である。
f^(-1)(α) = f^(-1)(I) - f^(-1)(I - {α}) ∈ Φ である。
証明終
300 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/30(木) 13:57:58
命題 (X, Φ) を可測空間(>>211)とする。 f を X 上の単関数(>>298)とする。
f が可測であるためには、
α ∈ f(X) - {0} のとき、f^(-1)(α) ∈ Φ であることが
必要十分である。
証明 必要性は >>299 で証明されている。
条件が十分なことを証明する。
f(X) - {0} = {a_1, . . . , a_n} とする。
S(f) = { x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } とおく。
任意の実数 α に対して
S(f) ∩ { x ∈ X ; f(x) ＞ α }
= ∪{ x ∈ X ; f(x) = a_n }, a_n ＞ α
仮定より、{ x ∈ X ; f(x) = a_n } ∈ Φ だから
S(f) ∩ { x ∈ X ; f(x) ＞ α } ∈ Φ である。
明らかに、{ x ∈ X ; f(x) = -∞ } ∈ Φ である。
よって >>252 より f は可測である。
証明終
