最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時18分32秒
代数的整数論(1-100)
元スレ： http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231/-100
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1126510231/-100
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1126510231/-100
1 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 16:30:31
代数的整数論に関するスレッドです。
2 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 16:33:10
↓の依頼により立てますた。 ガロア理論 Part 2 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089611846/695
208さん後はよろしく。
3 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 16:57:17
隔離スレおめ
4 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 17:10:30
Neukich??
5 ：20B：2005/09/12(月) 17:21:31
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは 容赦なくたたくからよく覚えておくように！ おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
6 ：208：2005/09/12(月) 17:35:54
そう怖がらなくていい。 予備知識としてはガロワ理論と一般位相、位相群の初歩くらいか。
7 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 17:47:22
ちんこ？
8 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 17:50:47
Yes
9 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 17:59:53
まんこ？
10 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 18:04:45
No
11 ：１３２人目の素数さん：2005/09/12(月) 18:18:43
二次体の整数環の構造を教えて下さーい
12 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 02:55:27
おっぱい？
13 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 15:19:23
208さん、たくさんカキコしに来てくださ～い 他スレで浮気しちゃだめよ
14 ：208：2005/09/13(火) 16:00:38
もうちょっと待ってくれ。
15 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 18:54:02
整数的代数論って何？
16 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 18:55:28
代数的整数論って何？
17 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 18:59:53
ググればわかる
18 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 19:04:01
ググルのめんどくさい。教えて
19 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 19:40:20
整数的代数論のことか？
20 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 19:51:15
スレ主は全然面倒見てくれないな。無責任だよ。
21 ：１３２人目の素数さん：2005/09/13(火) 19:55:04
人のいるところでオナニーしないとつまらないんでしょ 208的に
22 ：208：2005/09/14(水) 09:54:06
ガロワ理論スレで述べたDedekindの判別定理の証明には以下の命題 が陰に使用されていた。
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。 BをLにおけるAの整閉包とする。 IをBの(非零な整)イデアルとする。 このときB/Iの任意の剰余類に L = K(θ) となる元θ∈B が存在する。
この証明を演習問題として提出しよう。
23 ：１３２人目の素数さん：2005/09/14(水) 16:37:26
結局圏ってなんなんですか？ 関数だか集合だかの拡張と聞いたんですが 具体的イメージが湧きません。
24 ：208：2005/09/14(水) 17:07:05
次の命題もDedekindの判別定理の証明に使われる。
命題 AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。 BをLにおけるAの整閉包とする。 PをBの任意の(非零)素イデアルとする。 p = A∩P とする。B/P は A/p の分離拡大と仮定する。 このとき、元θ∈B とモニックな多項式 P(X)∈A[X] で以下の条件を 満たすものが存在する。 1) θのmod Pの剰余類は、B/PのA/p上の(拡大体としての)生成元。 2) P(X) (mod P) はθ(mod P) の最小多項式 3) P(θ) ∈ P - P^2
この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。
25 ：208：2005/09/14(水) 17:24:12
>>24の命題のθとして、L = K(θ) となるものがとれる。
この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。
26 ：１３２人目の素数さん：2005/09/14(水) 17:37:14
てす
27 ：208：2005/09/14(水) 17:38:40
>>24の命題のθとして、L = K(θ) かつθ∈ I となるものが取れる。 ここで I は、前もって任意に与えられた P と素なBのイデアル。
この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。
28 ：１３２人目の素数さん：2005/09/14(水) 17:39:36
と
29 ：208：2005/09/15(木) 09:15:54
>>22のヒント
θ∈ B で、L = K(θ) となる元をとる。 α∈B を任意にとる。 t ∈ A∩I で0でないものをとる。 m > 0 を整数として、K(α+(t^m)θ) を考える。
30 ：208：2005/09/15(木) 09:58:29
命題 BをDedekind環、Pをその(非零)素イデアルとする。 πを P - P^2 の任意の元とし、S を B/P の剰余類の完全代表系とする。 αをBの任意の元とし、m > 0 を任意の整数とする。 α = a_0 + a_1π + ... + a_(m-1)π^(m-1) (mod P^m) となる。ここで、各 a_i ∈ S
この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。
31 ：208：2005/09/15(木) 10:05:14
高木の代数的整数論の前半の各命題（全部ではない）の証明を 現代的に書き直すのは、いい勉強になる。 後半(類体論)を書き直すのはちと手にあまる。
32 ：208：2005/09/15(木) 10:13:30
高木の本は必要とされる予備知識が少ないのに驚く。 ガロワ理論さえも仮定されていない(本文の中で導入している)。 群論の初歩はさすがに必要かな。 体論は、本文の中で殆ど自己完結しているが、予備知識ゼロだと 少しきついかもしれない。
33 ：208：2005/09/15(木) 10:24:47
良く知られてはいないが、抽象代数の勃興はDedekindの影響が大きい。 Dedekindの代数的整数論は非常に明快かつ驚くほど現代的。 代数的整数論は抽象代数の母体であるといえる。 そして抽象代数の勃興が現代数学の他の分野の抽象化を促した。 こう見てくると代数的整数論というのは一見非常に特殊な分野に見えるけど、 現代数学に大きな影響を持っていた(そしてたぶん今も)と言える。
34 ：208：2005/09/16(金) 09:43:11
命題 BをDedekind環、Pをその(非零)素イデアルとする。 πを P - P^2 の任意の元とし、S を B/P の剰余類の完全代表系とする。 αをBの任意の元とし、m > 0 を任意の整数とする。 α = a_0 + a_1π + ... + a_(m-1)π^(m-1) (mod P^m) となる。ここで、各 a_i ∈ S
この証明も演習問題として提出しておく(証明は高木に載っているが)。
35 ：１３２人目の素数さん：2005/09/16(金) 10:12:04
ガロワ理論のスレで書いたことやや一般にして再度述べる。
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。 BをLにおけるAの整閉包とする。 判別定理の証明のために以下の仮定をする。
Aの各(非零)素イデアルpに対して、A/p は完全体である。
Kが代数体のときは A/p は有限体だから、この仮定は当然満たされる。
TrをLからKへのトレース写像とする。
M(L/K) = {ξ∈B; Tr(ξB) ⊂ A} とおく。
M(L/K)は B を含むBの分数イデアルである。
D(L/K) = M(L/K)^(-1) とおく。D(L/K)をL/Kの共役差積という。
D(L/K)はLの整イデアルである。
L = K(θ) となるθ∈B に対して、F = {ξ∈B; ξB ⊂ A[θ]}
を環 A[θ] の導手(fuhrer)と呼ぶ。F は B のイデアルである。
f(X)∈A[X] をθの最小多項式とする。f'(X) をf(X)の微分とする
と、f'(θ)B = D(L/K)F という関係が成立つ。これはf(X)に関する
Eulerの公式から得られる(例えば高木の代数的整数論参照)。
命題 PをLの任意の(非零)素イデアルとしたとき、P が F を含まないような θ∈B が存在する。
36 ：１３２人目の素数さん：2005/09/16(金) 12:20:41
おい学生、せっかく俺が問題出したんだ、少しは解けや。 高木を見てもいいよ。その代わり自分で理解して書いてくれ。 この問題は、判別定理で使うし、問題自体基本的なことばかり。
37 ：１３２人目の素数さん：2005/09/16(金) 12:38:13
面白いアーベル多様体の例を教えてくだーさい
38 ：１３２人目の素数さん：2005/09/16(金) 13:02:08
今、大学の試験時期か？ どのスレも閑散としてるな
39 ：１３２人目の素数さん：2005/09/16(金) 18:17:01
問題がオモロナイ。
40 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 09:17:36
高木の代数的整数論の前半で一番難しい部分を噛み砕いて教えようと してるのにオモロナイとはいい度胸だ。 誤解のないように言っておくけど、ここで俺が出す問題は基本的には 代数的整数論の基本部分を分かりやすく説明するために出したものであり、 問題を出すことそれ自体を目的にしたものではない。今後もその予定。 問題はどれも素直なものばかり。これ等の問題を解くことにより基本が 身につくように配慮した。問題の意味は後になってわかるようになっている。 ちょうどプラモデルの組み立てみたいなもの。各問題は最終完成品の 部品に過ぎない。
41 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 09:18:11
命題 AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。 BをLにおけるAの整閉包とする。 PをBの(非零)素イデアルで、B/P は A/p 上分離的とする。 ここで、p = A∩P。 I を P と素なBの(非零)イデアルとする。 このとき、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。 1) L = K(θ) 2) θ∈I 2) 任意のω∈B と任意の整数 m > 0 に対して、 ω = G(θ) (mod P^m) となる多項式 G(X) ∈ A[X] がある。
証明 >>24, >>25, >>27 より、 元θ∈B とモニックな多項式 φ(X)∈A[X] で以下の条件を 満たすものが存在する。 1) θのmod Pの剰余類は、B/PのA/p上の生成元。 2) φ(X) (mod P) はθ(mod P) の最小多項式 3) φ(θ) ∈ P - P^2 4) L = K(θ) 5) θ∈I
>>30から、このθが求めるものである。 証明終
42 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 09:59:45
問題 AをDedekind環、I, J をその(非零)イデアルとする。 α∈I で αA = IR, R + J = A となるものが存在する。 ここで、R は A の(非零)イデアル
ヒント：中国式剰余定理を使う。
43 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 10:03:54
>>35の命題を改めて書く。 命題 AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。 BをLにおけるAの整閉包とする。 PをBの(非零)素イデアルで、B/P は A/p 上分離的とする。 ここで、p = A∩P。 このとき、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。 1) L = K(θ) 2) A[θ] の導手 F はPと素である。
44 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 10:05:19
>>43の命題の証明
pB = (P^e)I, I + P = B とする。 >>41より、以下の条件を満たすθ∈B が存在する。 1) L = K(θ) 2) θ∈I 2) 任意のω∈B と任意の整数 m > 0 に対して、 ω = G(θ) (mod P^m) となる多項式 G(X) ∈ A[X] がある。
c ∈ f'(θ)B ∩ A となる c ≠ 0 をとる。 f'(θ) ≠ 0 だから、このような c は存在する。 c が p に含まれないとすると、f'(θ)B は P に含まれない ことになり、f'(θ)B = D(L/K)F より、F は P に含まれない。 よって、この場合は証明が終了する。 よって、 cA = (p^h)J, h > 0, J + p = A とする。ここで J は A のイデアル。 >>42より、dA = JR, R + p = A となる元 d ∈ J と A のイデアルRが 存在する >>41より、任意のω∈B に対して、ω = G(θ) + β となる、 G(X) ∈ A[X] と β∈P^(eh) がある。 θ∈ I だから、(θ^h)β∈(I^h)P^(eh) = (IP^e)^h = (p^h)B d(θ^h)β ∈ (p^h)JRB = cRB ⊂ f'(θ)B ⊂ F ⊂ A[θ] よって、d(θ^h)ω = d(θ^h)G(θ) + d(θ^h)β ∈ A[θ] ωは任意のB の元だから、d(θ^h) ∈ F となる。 d と θ は P に含まれないから F は P に含まれない。 証明終
45 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 10:16:09
>>29のヒントでもまだたりない？
mを変化させると、KとLの中間体 K(α+(t^m)θ) の列が得られる。 L/Kは分離的だから、中間体の数は有限(ガロワ理論より)。 だから、この列は実質有限。つまり、K(α+(t^m)θ) = K(α+(t^n)θ)]、 m ≠ n となる整数m, n がある。
46 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 10:20:37
>>45
実は、t^m = 1 となるケースがある。この場合、上の論法は使えない。 ただし、これが起きるのは I = A のときだけだから、問題ない。
47 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 10:23:46
>>46の訂正
>これが起きるのは I = A のときだけだから、
これが起きるのは I = B のときだけだから、
48 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 11:08:22
>>45はDirichletの部屋割り論法の一種。 この論法は数論でよく使われる。簡単だけど強力。
49 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 14:03:16
高木の初等整数論はガウスのDA＋デデキントの整数論の本のサマリ。 高木の代数的整数論は、ヒルベルトの（１９世紀数学百科）報文の 引き写し＋自分の類体論 だと誰かが言ってたが、そこらへんどうなの？
（ヒルベルトの報文って、手に入らないので、高瀬さんでも翻訳本 出してくれないものかな）
50 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 14:33:48
>>49
ヒルベルトの報文は当然参考にしてるだろうだろうが、それが主要 なソースかどうかは知らない。 邦訳があったような。記憶違いかな。
自分の類体論といっても、ArtinとかChevalleyとかの改良を 取入れている。Artinのは改良と言うより、類体論の主定理と 言っていいものだが。
51 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 19:55:21
ガロアスレでx^3+x+1の分解体で31Z以外は分岐しないことが即答できない程度の 人間が何をいきがってんだろ？
52 ：１３２人目の素数さん：2005/09/21(水) 20:28:35
ここは王国なんだから干渉しちゃだめ
53 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 09:32:43
なんだレスついたと思ったら煽りかよ。
54 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 09:56:37
命題 AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。 BをLにおけるAの整閉包とする。 Bの任意の(非零)素イデアルPに対して、B/P は A/p 上分離的とする。 ここで、p = A∩P。 このとき、L/K の共役差積 D(L/K) は、f'(θ) 全体で生成される。 ここで、θ∈B、L = K(θ) で f(X)∈A[X] はθのK上のモニックな 最小多項式。
証明 A[θ] の導手をFとすると、f'(θ)B = D(L/K)F となる。 これと、>>43 からわかる。 詳しくは演習問題(簡単)とする。
55 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 10:26:10
AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。 BをLにおけるAの整閉包とする。 θをB の元で L = K(θ) とする。 A[θ] の導手をFとする。 p を A の(非零)素イデアルで、pB + F = B とする。 包含射 A[θ] → B と標準射 B → B/pB の合成 A[θ] → B/pB は、同型 A[θ]/pA[θ] = B/pB を誘導する。
証明 pB + F = B と F ⊂ A[θ] より、A[θ] → B/pB は全射。
A[θ] ∩ pB = (pB + F)(A[θ] ∩ pB) ⊂ pA[θ] + pA[θ] ⊂ pA[θ] 逆の包含関係 pA[θ] ⊂ A[θ] ∩ pB は明らかだから、 A[θ] ∩ pB = pA[θ] となる。 よって, A[θ] → B/pB の核 A[θ] ∩ pB = pA[θ] となる。 証明終
56 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 10:41:45
命題 Aを(可換)環、p をAの極大イデアルとする。 f(X)∈A[X] をモニックな多項式とする。 A[X]/(f(X)) = B とおく。 このとき、B/pB = κ[X]/(φ(X)) となる。 ここで、κ= A/p、φ(X) は κ[X] のモニックな多項式で f(X)の係数を mod p で考えたもの。
証明 演習問題(簡単)とする。
57 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:03:27
高木のp.83の付記の証明、つまりDedekindの判別定理の証明の 初めの部分、f(X) = P(X)^eA(X) (mod p) が良く分からない。 これほんとに成立つのかな？ p がθの導手と素なら>>55で述べたように 言えるけど、この場合、そうとは限らない。あの付記で言えるのは pの上にある特定の素イデアルPと素になることだけ。
58 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:07:09
>>55と>>56を組み合わせると、θのK上のモニックな最小多項式 f(X)∈A[X] の mod p での既約多項式の分解により pB の素イデアル 分解が得られる。詳しくは、演習問題とする。
59 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:11:45
結局、高木のDedekindの判別定理のイデアル論による証明は よく分からない。Zariski-Samuelに綺麗な証明があるので それを後で紹介する。その前にDedekind環の基本からやり直す。
60 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:17:27
>>49 確か、Springerから、英訳が出ていたのがそうだと思う。これじゃない？ The Theory of Algebraic Number Fields" David Hilbert (著) ところで、ガロアスレでWeberの代数学の本の話があったけど、 どうやれば手にはいるか知ってる人いる？ 独、英訳どちらでもいい。
61 ：208：2005/09/22(木) 11:21:01
>>60 >ガロアスレでWeberの代数学の本の話があったけど、
amazon.comにあったので最近注文した。まだ届いてない。 それが最後の在庫だったらごめん。
62 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:40:22
>>60 AMSのBookstoreで購入可能！ ttp://www.ams.org/bookstore
63 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:42:58
まず、可換代数の初歩から復習する。 今後、環と言えば可換環を意味する。
定義 A を環、SがAの積閉集合とは、次の条件を満たすAの部分集合である。 1) 1 ∈ S 2) a∈ S, b ∈ S なら ab ∈ S
64 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:59:38
>>63 零元は含まない、という条件も加えたら？
65 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 11:59:50
A を環、SをAの積閉集合とする。
I = {x ∈ A; sx = 0 となる s ∈ S がある}
とおく。
I はA のイデアルである。
φ: A → A/I を標準射とする。
φ(S) の各元は B = A/I の非零因子である(演習問題)。
よって、φ(S) の各元は B の全商環 Q において逆元を持つ。
よって、Qの部分環 A_S = {φ(x)/φ(s); x ∈ A, s ∈ A} が定義
出来る。
A_S を A の S による局所化という。
A_S は A[1/S]とも書く。
A_S の元 φ(x)/φ(s) は、普通略して x/s と書く。
66 ：208：2005/09/22(木) 12:05:28
>>64
やだw 何故なら環というとき零環、つまり 1 = 0 となる環も含めたいから。 これがBourbakiやGrothendieckの流儀。 こうすると、f ∈ A のとき A[1/f] がfがベキ零でも定義できて 場合分けの面倒がない。
67 ：64：2005/09/22(木) 12:15:28
>>66 了解！ そのほうが形式的にすっきりします。
68 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 12:15:33
ちなみに、可換代数でもっとも重要な概念は>>65の局所化である。 この概念を自由自在に使いこなせるようになることが、可換代数を 学ぶ上での最初のハードルである。この重要な概念がやっと1940年代に 定式化されたのは驚くべきことだろう。
69 ：64：2005/09/22(木) 12:18:32
>>69 さらに任意の可換環に対する局所化の定式化は これからかなり遅れて成された、ということも驚き。
70 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 12:20:57
>>69 はあ？ >>65は任意の可換環の局所化だけど
71 ：60：2005/09/22(木) 12:40:55
>>62 ありがとう！
72 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 12:59:17
A_S を圏論的に特徴つけると以下のようになる。
可換環の圏を Ring と書く。
A を環、SをAの積閉集合とする。
B を環としたとき、
F(B) = {f ∈ Hom(A, B); f(S)の任意の元は可逆 } とおく。
対応 B → F(B) により、Ring から集合の圏 Setへの共変関手 F が
得られる(確かめよ)。
F は A_S により表現可能である。
つまり、関手 B → Hom(A_S, B) は 関手 F と標準的に同型になる。
これを、噛み砕くと f ∈ F(B) に対して、g∈ Hom(A_S, B) で、gφ = f となるものが 一意に存在する(図を書くとよくわかる)。
ここで、φ: A → A_S は a ∈ A に a/1 ∈ A_S を対応させる標準射。
73 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 13:14:11
>>72 圏と関手の定義を簡単に説明してくれんか？ できればわかりやすく！
74 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 13:47:50
>>73 英語が読めればwikipedeiaでcategory theoryを検索すればいい。 英語が読めないときは、図書館に行って日本語の圏論の入門書を調べてくれ。
75 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 13:54:06
ところで、学部では圏論やらないの？
76 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 14:01:23
非可換環の場合、局所化はどうなるんですか？
77 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 14:02:57
>>75 学部でやるとかやらないとか関係ねーじゃん 公式のカリキュラムなんてほんの目安で 必要と思えば自分で勉強すればいいじゃん
小学生じゃねんだからさ
78 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 14:13:27
>>74 けちなこと言うなよ。お前の悪いところだ。自分のいいたいことは延々と 垂れ流すくせに、こういうときは妙に素っ気ない。
79 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 14:59:21
>>78
英語読めないやつはいっていいよ。数学やってるのに英語読めないってのは 話にならない。さらに独、仏も読めないとな。 高木は、ドイツ語だけでなくフランス語もよく出来たらしいね。 むこうで、フランス語で発表したらしい。発表だけでなく会話も。
80 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 15:43:17
>>79 なら、このスレも英語で書いてみな。書けるものなら。 フランス語でもいいぞｗ
81 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 15:45:12
環Aの素イデアルの集合をSpec(A)と書く。
SをAの積閉集合とする。
T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合} とおく。
p∈S に p(A_S) を対応させるとT(S)からSpec(A_S)への全単射が
得られる。この写像の逆写像は、P ∈ Spec(A_S) に P のφによる
逆像φ^(-1)(P) を対応させるもの。ここで、φ: A → A_S は標準射。
以降、この全単射により、T(S)とSpec(A_S)を同一視する。
82 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 15:48:32
>>80
残念でした。俺は英語は得意。しゃべりも書くのも。 外人とりラックスして話せる。食事を楽しみながらな。
83 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 15:49:12
非可換環の場合はどうなるんですか？
84 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 15:55:53
A をネーター環とし、SをAの積閉集合とすると、 A_S もネーター環である。
85 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:07:09
A を環とし、MをA-加群とする。 SをAの積閉集合とする。 M_S = M(x)A_S と定義する。 ここで、M(x)A_S は M とA_Sの A 上のテンソル積。 M_S は A_S-加群となる。M_S を M[1/S] と書くこともある。
x ∈ M, s ∈ S のとき、x(x)(1/s) を x/s と書く。
x/s = 0 とすると、ある t ∈ S があり、tx = 0 となる。
86 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:10:30
M → M_S は完全関手である。 つまり、A-加群の完全列 0 → N → M → L → 0 があると 0 → N_S → M_S → L_S → 0 も完全である。
87 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:12:26
A を環とし、MをA-加群とする。
x ∈ M に対して、Ann(x) = {a∈A; ax = 0 } とおく。
Ann(M) = {a∈A; aM = 0 } とおく。
Supp(M) = {p∈Spec(M); M_p ≠ 0 } とおく。
88 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:17:57
>>87
>Supp(M) = {p∈Spec(M); M_p ≠ 0 } とおく。
M_p は M の S = A - p による局所化。 同様に A_p も定義される。
89 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:19:10
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。 p ∈ Spec(A) で、ある x ∈ M に対して p = Ann(x) となるとき p を M の随伴素因子という。M の随伴素因子全体を Ass(M) と書く。
90 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:41:44
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。 x ∈ M, x ≠ 0 とすると、 Ann(x) を含む p ∈ Ass(M) がある。
証明
A イデアルの集合 T = {Ann(y); 0 ≠ y ∈ M, Ann(x) ⊂ Ann(y)}
は空でない(すくなくともAnn(x)がその要素)。
A はネーター環だから、T に極大元 Ann(y) がある。
a ∈ A - Ann(y)、b ∈ A とする。
Ann(y) ⊂ Ann(ay) で、ay ≠ 0 だから、Ann(y) の極大性から
Ann(y) = Ann(ay) となる。ab ∈ Ann(y) とすると、b ∈ Ann(ay) だから、
b ∈ Ann(y) となる。これは、Ann(y) が素イデアルであることを示す。
証明終
91 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 16:47:13
非可換環の場合はどうなるんですか？
92 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 17:01:04
>>91
うるせえな。すこしは自分で調べろよ。
93 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 17:48:06
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。 p ∈ Ass(M) であるためには、A-加群としての単射 A/p → M が 存在することと同値である。
94 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 17:59:04
>>91のような質問を完全にスルーするのは感心できないな。
Ore setで調べてみ。
95 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 18:00:01
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。 SをAの積閉集合とする。 Ass(M_S) = Ass(M) ∩ Spec(A_S) となる。 ここで、M_S は A_S-加群として考え、>>81 の同一視をしている。
証明 p ∈ Ass(M) ∩ Spec(A_S) とする。 >>93より、A-加群の単射 A/p → M がある。この像をNとする。 よって A-加群の完全列 0 → p → A → N → 0 が得られる。 >>86より、0 → p_S → A_S → N_S → 0 は完全。 よって、N_S = A_S/p(A_S) となる。 仮定より、p(A_S) ∈ Spec(A_S) である。 A-加群の完全列 0 → N → M → M/N → 0 より、A_S-加群の完全列 0 → N_S → M_S → (M/N)_S → 0 が得られる。つまり、A_S-加群の単射 A_S/p(A_S) → M_S が存在する。よって、p(A_S) ∈ Ass(A_S) となる。
逆に、p(A_S) ∈ Ass(A_S) とする。 Ann(x/s) = p(A_S) となる、x ∈ M、s ∈ S がある。 A はネーターだから、p は有限個の生成元 a_1, ..., a_n をもつ。 (a_i/1)(x/s) = 0 だから、t(a_i)x = 0 がすべての a_i で成立つような t ∈ S がある。よって、p = Ann(tx) となる（詳細はまかす）。 証明終
96 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 18:02:07
>>94 スレ違いだろ。可換環論と関係ない
97 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 18:06:38
>>96 一言キーワード与えるくらい別に大したことないじゃん。 しかし、おぬしの口からスレ違いとは。。。
98 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 18:17:03
Aを環、p ∈ Spec(A) とする。
>>81 より Spec(A_p) = {q ∈ Spec(A); q ⊂ p } となる。
よって、A_p はpA_pをただ１つの極大イデアルにもつ。
つまり、A_pは局所環である。
A_p/pA_p は A/pの商体に同型である。
99 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 18:37:09
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。 Ass(M) ⊂ Supp(M) となる。
証明 p ∈ Ass(M) とする。 A/p ⊂ M とみなせる。 よって、(A/p)_p ⊂ M_p 一方、(A/p)_p = A_p/pA_p ≠ 0 よって、M_p ≠ 0 証明終
100 ：１３２人目の素数さん：2005/09/22(木) 19:11:50
208がここに落ち着いてくれのたはうれしい。 いちいち、あげないでくれというのはさすがに無理か？
