最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時58分54秒
代数的整数論 007 (141-210)
元スレ： http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/141-210
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1187904318/141-210
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141 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 08:28:18
命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E, F, G を K 上のノルム空間とする。
f ∈ L(E; F), g ∈ L(F; G) に対して, gf ∈ L(E; G) で |gf| ≦ |g||f|
証明 gf ∈ L(E; G) は明らかである。
任意の x ∈ E に対して、 |gf(x)| ≦ |g||f(x)| ≦ |g||f||x| よって、 |gf| ≦ |g||f| 証明終
142 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 08:36:08
K を可換体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上のノルム空間とする。
1 を E の恒等写像とする。 |1| = 1 は明らかである。
>>139 と >>141 より L(E; E) は K 上のノルム環(過去スレ006の694)に なる。
143 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 08:46:45
訂正
>>136, >>137, >>138, >>139, >>141 の K は可換体とする。
何故なら、K が非可換体のとき、L((E_i); F) は K 上の線形空間に ならない!
144 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 11:50:40
命題 K を可換体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E, F を K 上のノルム空間とする。 F が完備なら L(E; F) も完備である。
証明 (f_n), n ≧ 0 を L(E; F) の Cauchy 列とする。
任意の x ∈ E と任意の整数 n, m ≧ 0に対して |f_m(x) - f_n(x)| ≦ |f_m - f_n||x|
従って、任意の x ∈ E に対して (f_n(x)), n ≧ 0 は F の Cauchy 列 である。 F は完備だから (f_n(x)) は収束する。それを f(x) と書く。
f が線形写像であることは容易にわかる。 (続く)
145 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 11:52:56
>>144 の続き。
任意の実数 ε ＞ 0 に対して整数 p ≧ 0 があり、 n, m ≧ p に対して ||f_m - f_n| ＜ ε だから
|f_m(x) - f_n(x)| ≦ ε|x|
|f_m - f_n| ＜ ε だから |f_m| ≦ |f_n| + ε
よって、任意の x ∈ E に対して |f_m(x)| ≦ (|f_n| + ε)|x|
p, n, x を固定して、m → ∞ とすると、 |f(x)| ≦ (|f_n| + ε)|x|
よって >>134 より、f は連続である。
|f_m(x) - f_n(x)| ≦ ε|x| において p, n, x を固定して、m → ∞ とすると、 |f(x) - f_n(x)| ≦ ε|x|
よって |f - f_n| ≦ ε よって f_n → f となる。 証明終
146 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 11:56:17
命題 K を可換体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間とする。 F が完備なら L((E_i); F) (>>136) も完備である。
証明 >>144 と同様である。
147 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 12:12:00
関数列および関数からなるフィルタ－の一様収束について 基本的なことを述べる。
148 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 13:09:12
X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
V が Y の近縁のとき、集合
{(f, g) ∈ F(X, Y)×F(X, Y); 任意の x に対して (f(x), g(y)) ∈ V}
を W(V) と書く。
V, V' が Y の近縁のとき、次の 1), 2), 3) が成り立つことは容易にわかる。
1) W(V) ⊂ W(V')
2) W(V)^(-1) = W(V^(-1))
3) W(V)^2 = W(V^2)
従って、V が Y の近縁全体を動くとき、W(V) 全体は F(X, Y) の一様構造の基本近縁系(過去スレ006の195)となる。
149 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 13:27:20
定義 >>148 の F(X, Y) の一様構造を一様収束の構造という。 この一様構造で定義される位相を、一様収束の位相と言う。
F(X, Y) のフィルター Φ がこの位相で f に収束(過去スレ006の131) するとき、Φ は f に一様収束すると言う。
F(X, Y) の点列 (f_n), n ≧ 0 がこの位相で f に収束するとき、 (f_n) は f に一様収束すると言う。
150 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 14:23:04
定義
X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
Σ を X の部分集合の集合とする。
A ∈ Σ のとき、写像 φ_A : F(X, Y) → F(A, Y) を φ_A(f) = f|A で定義する。ここで、f|A は f の A への制限である。
各 A ∈ Σ に対して、F(A, Y) に一様収束の構造(>>149)をいれたとき、 各 φ_A を一様連続にするような F(X, Y) の最も荒い一様構造を、 Σ 上での一様収束の一様構造、または、Σ-収束の一様構造と言う。
これは、F(A, Y) の一様収束の構造の
φ_A による逆像(過去スレ006の224)を α_A としたとき、
sup {α_A; A ∈ Σ} (過去スレ006の220)である。
F(X, Y) に Σ-収束の一様構造を与えた空間を F_Σ(X, Y) と 書く場合がある。
F(X, Y) に一様収束の構造(>>149)を入れた空間を F_u(X, Y) とも 書く。
Σ-収束の一様構造から定まる位相をΣ-収束の位相または Σでの一様収束の位相と言う。
F(X, Y) のフィルター Φ がこの位相で f に収束(過去スレ006の131) するとき、Φ は Σ 上で f に 一様収束すると言う。
151 ：１３２人目の素数さん：2007/08/27(月) 14:25:43
Kummerおはようー びろろ～ん べろーん びろんぬ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ ∩＿＿＿∩ | ノ ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) ヽ/⌒) /⌒) (ﾟ) (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| (ﾟ) | .| / / ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ ( _●_) ミ/ .（ ヽ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ |∪| ／ ＼ ヽノ / ヽノ ./ ヽノ / ヽノ / / / ./ / ./ / ./ / | _つ / | _つ / | _つ / | _つ / | /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼| /UJ＼ ＼.| /UJ＼ ＼ | / ) )| / ) )| / ) )| / ) ) ∪ （ ＼ （ ＼ （ ＼ （ ＼ ＼＿) ＼＿) ＼＿) ＼＿)
152 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 14:35:29
例
X をハウスドルフ位相空間とし、K を実数体または複素数体とする。 Σ を X のコンパクト部分集合全体とする。
F(X, K) の点列 (f_n), n ≧ 0 が Σ 上で f に一様収束する(>>150) とは、X 上で (f_n) が f にコンパクト一様収束または広義一様収束((杉浦の解析入門) することと同じである。
153 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 16:02:07
定義 X と Y を集合とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H ⊂ F(X, Y) と x ∈ X に対して、H(x) = { f(x) ; f ∈ H } と
書く。
Φ が F(X, Y) 上のフィルター基底のとき、{H(x) ; H ∈ Φ} を
Φ(x) と書く。Φ(x) は Y 上のフィルター基底である。
A ⊂ X のとき H|A = { f|A ; f ∈ H } と書く。
f|A は f の A への制限である。
H|A ⊂ F(A, Y) である。
154 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 16:03:49
定義 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
Σ を X の各点よりなる集合の集合とする。 Σ 上での一様収束の一様構造(>>150)を X での単純収束の 一様構造という。
F(X, Y) のフィルター Φ がこの位相で f に収束(過去スレ006の131) するとき、Φ は X 上で f に単純収束すると言う。
これは、X の各点 x で Φ(x) (>>153) が f(x) に収束すること と同値である。
155 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 16:13:15
X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
Σ を X の部分集合の集合とする。 Γ_0 を Y の基本近縁系とする。
A ∈ Σ と V ∈ Γ_0 に対して
W(A, V) =
{(f, g) ∈ F(X,Y)×F(X,Y);任意の x ∈ A に対して (f(x), g(y)) ∈ V}
と書く。
>>150 の sup {α_A; A ∈ Σ} より、
A が Σ の元を動き、V が Γ_0 を動いたとき W(A, V) の有限個の
共通部分全体が Σ 上での一様収束の一様構造の基本近縁系となる。
156 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 16:30:40
>>155 の記号を使う。
Σ 上での一様収束の一様構造(>>150)において、 Σ' を Σ の元の有限個の合併に含まれる集合の全体とする。
A, B ∈ Σ と V ∈ Γ_0 に対して
A' ⊂ A なら W(A, V) ⊂ W(A', V) W(A ∪ B) = W(A, V) ∩ W(B, V) だから
Σ' 上での一様収束の一様構造と Σ 上での一様収束の一様構造は 同じである。
よって Σ ははじめから次の性質をもつと仮定してよい。
1) A ∈ Σ で A' ⊂ A なら A' ∈ Σ 2) A, B ∈ Σ なら A ∪ B ∈ Σ
このとき、A が Σ の元を動き、V が Γ_0 を動いたとき W(A, V) の 全体が Σ 上での一様収束の一様構造の基本近縁系となる。
157 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/27(月) 18:44:14
X を集合、 Y を位相アーベル群とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 F(X, Y) は自明な仕方でアーベル群になる。
Σ を X の部分集合の集合とする。 (f_i), i ∈ I を F(X, Y) の元の族とする。
I の有限部分集合全体を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して Σf_i, i ∈ J を S(J) とおく。
Ψ(J) = { S(H) ∈ Φ(I) ; J ⊂ H } とおく。
J を動かしたとき Ψ(J) 全体は F(X, Y) のフィルター基底である。 これを Ψ_0 とする。
Ψ_0 が Σでの一様収束の位相(>>150)で極限をもつとき、 族 (f_i) は Σ 上で一様に総和可能と言う。
(u_n), n ≧ 0 が F(X, Y) の元の列のとき、 部分和 Σu_i (0 ≦ i ≦ n) を S_n とおく。 列 (S_n) が Σ 上で一様収束するとき、 級数 Σu_i は Σ 上で一様に収束すると言う。
158 ：3：2007/08/28(火) 00:50:47
すまん、俺が>>3で貼ったばかりに…
159 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 04:53:21
命題 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Σ を X の部分集合の集合とする。
Y が分離的で Σ が X の被覆なら F(X, Y) の Σ-収束の一様構造 (>>150)は分離的である。
証明 任意の A ∈ Σ と Y の任意の近縁 V に対して (f, g) ∈ W(A, V) とする。 ここで、W(A, V) は >>155 で定義したもの。
Y は分離的だから過去スレ006の214より A 上で f = g である。 Σ は X の被覆だから X 上で f = g である。
過去スレ006の214より F(X, Y) は分離的である。 証明終
160 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 05:25:00
補題 α, β を集合 X 上の一様構造で、β ⊂ α とする。 α の基本近縁系で β の位相で閉な近縁からなるものがあるとする。
X のフィルター Φ が α で収束するためには Φ が α の Cauchy フィルターで β で収束することが 必要十分である。
証明 必要性は明らかである。
Φ が α の Cauchy フィルターで β の位相で x に収束するとする。
V を β の位相で閉な α の対称近縁とする。 M ∈ Φ で V 程度に小さい(過去スレ006の235)ものがある。 y ∈ M なら M ⊂ V(y) である。 V(y) は β の位相で閉だから β の位相 での M の閉包 cls(M) は V(y) に含まれる。x ∈ cls(M) だから x ∈ V(y) である。 V は対称近縁だから y ∈ V(x) よって M ⊂ V(x) である。 即ち Φ は α の位相で x に収束する。 証明終
161 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 05:51:26
定義(>>154 の一般化) X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
A を X の部分集合、Σ を A の各点よりなる集合の集合とする。 Σ 上での一様収束の一様構造(>>150)を A での単純収束の 一様構造という。
F(X, Y) のフィルター Φ がこの位相で f に収束(過去スレ006の131) するとき、Φ は A 上で f に単純収束すると言う。
これは、A の各点 x で Φ(x) (>>153) が f(x) に収束すること と同値である。
162 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 06:01:58
命題 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Σ を X の部分集合の集合とする。
F(X, Y) のフィルター Φ が Σ-収束の位相(>>150)で
f に収束するためには、Φ が Σ-収束の一様構造(>>150)で
Cauchy フィルターであり、B = ∪{A ∈ Σ} で f に
単純収束(>>161)することが必要十分である。
証明 B での単純収束の一様構造(>>161) は Σ-収束の一様構造より荒い。 >>160 より、任意の A ∈ Σ と Y の任意の閉近縁 V に対して W(A, V) が B での単純収束の位相で閉であることを言えばよい。
x ∈ A のとき、u ∈ F(X, Y) に u(x) を対応させる写像は B での単純収束の位相で一様連続である。
よって (u, v) ∈ F(X, Y)×F(X, Y) に (u(x), v(x)) を
対応させる写像 ψ_x も連続である。
W(A, V) = ∩{(ψ_x)^(-1)(V); x ∈ A} であり、V は閉だから
W(A, V) は単純収束の位相で閉である。
証明終
163 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 06:33:27
定理 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Σ を X の部分集合の集合とする。
Y が完備なら F(X, Y) の Σ-収束の一様構造(>>150)も完備である。
証明
Φ を Σ-収束の一様構造での F(X, Y) の Cauchy フィルターとする。
B = ∪{A ∈ Σ} とおく。
x ∈ B のとき、u ∈ F(X, Y) に u(x) を対応させる写像は
Σ-収束の一様構造で一様連続である。
よって、Φ(x) (>>153) は Y 上の Cauchy フィルター基底である (過去スレ006の240)。
Y が完備なら Φ(x) は Y で収束する。 その極限点の一つを f(x) とおく。 x が B に含まれないとき、f(x) は Y の任意の点にする。 このとき、Φ は B 上で f に単純収束する。
>>162 より Φ は Σ-収束の位相で f に収束する。 証明終
164 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 09:23:11
命題 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
Φ を X 上のフィルター(過去スレ006の75)とする。
H = {f ∈ F(X, Y); f(Φ) は Y の Cauchy フィルターの基底}
とおくと、H は F(X, Y) の一様収束の位相(>>149)で閉である。
証明 g が H の一様収束の位相での閉包に含まれるとする。
Y の任意の対称近縁 V と任意の x ∈ X に対して (g(x), f(x)) ∈ V となる f ∈ H がある。
f(Φ) は Y の Cauchy フィルターの基底だから、M ∈ Φ があり、 任意の x, y ∈ M に対して (f(x), f(y)) ∈ V となる。
(g(x), f(x)) ∈ V, (g(y), f(y)) ∈ V だから (g(x), g(x)) ∈ V^3 である。 即ち、g ∈ H である。 証明終
165 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 09:39:40
命題 X を位相空間、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
x ∈ X に対して、
E(x) = {f ∈ F(X, Y); f は x で連続}
とおく。
E(x) は F(X, Y) の一様収束の位相(>>149)で閉である。
証明 Φ を x の近傍全体とする。
f ∈ E(x) なら f(Φ) は f(x) に収束する。 従って、f(Φ) は Y の Cauchy フィルターの基底である。
逆に、f ∈ F(X, Y) で、 f(Φ) が Y の Cauchy フィルターの基底であるとする。
任意の U ∈ Φ に対して x ∈ U だから f(x) ∈ f(U) である。 即ち、f(x) は f(Φ) の接触点(過去スレ006の132)である。 従って、過去スレ006の248より、f(Φ) は f(x) に収束する。 よって、f は x で連続、即ち f ∈ E(x) である。
以上から E(x) は >>164 の H と一致する。 従って、>>164 より E(x) は一様収束の位相で閉である。 証明終
166 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 09:52:50
定理(Weierstrass) X を位相空間、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とし、 C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
C(X, Y) は F(X, Y) の一様収束の位相(>>149)で閉である。
証明
x ∈ X に対して、
E(x) = {f ∈ F(X, Y); f は x で連続}
とおく。
C(X, Y) = ∩{E(x); x ∈ X} である。
>>165 より、任意の x に対して、E(x) は一様収束の位相で 閉であるから C(X, Y) も閉である。 証明終
167 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 10:11:23
命題 X を位相空間、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とし、 C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
F(X, Y) は一様収束の一様構造(>>149)で一様空間と考える。 C(X, Y) は F(X, Y) の部分空間として一様空間である。
Y が完備なら C(X, Y) もこの一様構造で完備である。
証明 >>163 より F(X, Y) は一様収束の一様構造(>>149)で完備である。
>>166 より、C(X, Y) は F(X, Y) の一様収束の位相(>>149)で閉である。 従って、完備一様空間の閉集合として C(X, Y) は完備である (過去スレ006の250)。 証明終
168 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 10:20:46
定義 X を位相空間、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
Σ を X のコンパクト部分集合全体とする。
F(X, Y) の Σ-収束の一様構造(>>150)をコンパクト収束の一様構造と 言い、これで定まる位相をコンパクト収束の位相という。
169 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 10:30:31
命題 X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
F(X, Y) を X から Y への写像全体とし、 C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
C(X, Y) は F(X, Y) のコンパクト収束の位相(>>168)で閉である。
証明 f ∈ F(X, Y) をコンパクト収束の位相での C(X, Y) の接触点とする。
X の任意のコンパクト集合 K と Y の任意の近縁、任意の x ∈ K に 対して (f(x), g(x)) ∈ V となる g ∈ C(X, Y) がある。
>>166 より、C(K, Y) は F(K, Y) の一様収束の位相(>>149)で閉である。 よって f|K ∈ C(K, Y) である。
X は局所コンパクトだから f ∈ C(X, Y) である。 即ち、C(X, Y) はコンパクト収束の位相で閉である。 証明終
170 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 10:33:52
命題 X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
F(X, Y) を X から Y への写像全体とし、 C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
Y が完備なら C(X, Y) はコンパクト収束の一様構造(>>168)で 完備である。
証明 >>163 より F(X, Y) はコンパクト収束の一様構造で完備である。
>>169 より、C(X, Y) は F(X, Y) のコンパクト収束の位相で閉である。 従って、完備一様空間の閉集合として C(X, Y) は完備である (過去スレ006の250)。 証明終
171 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 11:03:39
命題 X を集合、 Y を距離空間とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
F(X, Y) の一様収束の構造(>>149)は距離付け可能(>>98)である。
証明 d を Y の距離とする。
δ(f, g) = sup {d(f(x), g(x)); x ∈ X} は F(X, Y) の擬距離(>>47)
である。
δ が定義する一様構造(>>59)は明らかに F(X, Y) の一様収束の構造と 一致する。
>>62 より δ と同値な有限な擬距離 δ' が存在する。
>>159 より、F(X, Y) の一様収束の構造は分離だから >>64 より、δ' は距離である。 証明終
172 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 13:49:57
定義 X を集合、 Y を距離空間とする。 f を X から Y への写像とする。
f(X) が Y の有界集合であるとき、f を有界写像と言う。
173 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 13:57:52
命題 X を集合、 Y を距離空間とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 B(X, Y) を X から Y への有界写像(>>172)全体とする。
B(X, Y) は F(X, Y) の一様収束の位相(>>149)で開かつ閉である。
証明 f ∈ B(X, Y) とする。
f は有界だから、任意の x, y ∈ X に対して、 d(f(x), f(y)) ≦ M となる実数 M ≧ 0 がある。
任意の x, y ∈ X に対して、d(f(x), g(x)) ≦ 1 なら d(g(x), g(y)) ≦ d(g(x), f(x)) + d(f(x), f(y)) + d(f(y), g(y)) ≦ M + 2
従って、g ∈ B(X, Y) である。 即ち、B(X, Y) は開集合である。
逆に f ∈ F(X, Y) で f が一様収束の位相で B(X, Y) の接触点なら 任意の x ∈ X に対して、d(f(x), g(x)) ≦ 1 となる g ∈ B(X, Y) が 存在する。上と同様に、f ∈ B(X, Y) である。 従って、B(X, Y) は閉集合である。 証明終
174 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 14:05:53
命題 X を位相空間、 Y を距離空間とする。 C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。 C^b(X, Y) を X から Y への有界連続写像全体とする。
C^b(X, Y) は C(X, Y) の一様収束の位相(>>149)で開かつ閉である。
さらに Y が完備なら C^b(X, Y) も完備である。
証明 C^b(X, Y) = B(X, Y) ∩ C(X, Y) だから >>173 より C^b(X, Y) は C(X, Y) の一様収束の位相で開かつ閉である。
Y が完備なら >>167 より C(X, Y) は完備である。 従って、完備一様空間の閉集合として C^b(X, Y) も完備である (過去スレ006の250)。 証明終
175 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 14:20:43
K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 X を集合、 Y を K 上のノルム空間とする。
B(X, Y) を X から Y への有界写像(>>172)全体とする。 B(X, Y) は K 上の線形空間である。
f ∈ B(X, Y) に対して、|f| = sup {|f(x)|; x ∈ X} とおく。
B(X, Y) は | | により K 上のノルム空間になる。
このノルムによる一様構造は一様収束の構造(>>149)である。
176 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 14:38:59
命題 K を可換体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 X を集合、 Y を K 上のノルム環(過去スレ006の694)とする。
B(X, Y) を X から Y への有界写像(>>172)全体とする。
B(X, Y) は >>175 のノルム | | により K 上のノルム環になる。
証明 B(X, Y) が単位元 1 をもつ K 上の結合的な代数になることは 明らかである。
>>175 より B(X, Y) は K 上のノルム空間である。
f, g ∈ B(X, Y) に対して
|fg| = sup {|f(x)g(x)|; x ∈ X} ≦ sup {|f(x)||g(x)|; x ∈ X}
≦ sup{|f(x)|; x ∈ X}sup{|g(x)|; x ∈ X} = |f||g|
1 ∈ B(X, Y) にたいして、|1| = sup {|1|; x ∈ X} = 1
証明終
177 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 14:46:33
定義 X を距離空間、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
Σ を X の有界集合全体の集合とする。 Σ 上での一様収束の一様構造(>>150)を X での有界収束の 一様構造という。
F(X, Y) のフィルター Φ がこの位相で f に収束(過去スレ006の131) するとき、Φ は X 上で f に有界収束すると言う。
178 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/28(火) 15:08:58
命題 X を集合、 Y を距離空間とする。 Σ を X の部分集合の集合とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
(B_Σ)(X, Y) を Σ の元を Y の有界集合に写すような X から Y への写像全体とする。
(B_Σ)(X, Y) は F(X, Y) の Σ-収束の位相(>>150)に関して閉である。
証明
F(X, Y) から Π{F(A, Y); A ∈ Σ} への写像 ψ を、
ψ(f) = (f|A), A ∈ Σ で定義する。
ψ は F(X, Y) に Σ-収束の位相を与え、各 F(A, Y) に一様収束の 位相を与えたとき連続である。
(B_Σ)(X, Y) = ψ^(-1)(ΠB(A, Y)) である。 ここで B(A, Y) は A から Y への有界写像(>>172)全体とする。
>>173 より B(A, Y) は F(A, Y) の閉集合である。 従って、ΠB(A, Y) は ΠF(A, Y) の閉集合である。 よって、(B_Σ)(X, Y) は F(X, Y) の閉集合である。 証明終
179 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 07:12:52
命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間とする。
ΠE_i から F への連続な K-多重線形写像の全体を L(E_1, . . . , E_n; F) または略して L((E_i); F) で表した(>>136)。
E = ΠE_i (1 ≦ i ≦ n) とする。 F(E, F) を E から F への写像全体とする。
L((E_i); F) は F(E, F) の単純収束の位相(>>161)で閉である。
証明 L((E_i); F) は F(E, F) の元 f の中で
1) f(x_1, ... , x_i + y_i, ... , x_n) = f(x_1, ... , x_i, ... , x_n) + f(x_1, ... , y_i, ... , x_n)
2) f(x_1, ... , λx_i, ... , x_n) = λf(x_1, ... , x_i, ... , x_n)
という関係をもつもの全体である。
x_1, ... , x_i, y_i, ... , x_n を固定したとき、 1) の両辺は f の関数として、F(E, Y) の単純収束の位相で連続である。
同様に、x_1, ... , λ, x_i, ... , x_n を固定したとき、 2) の両辺は f の関数として、F(E, Y) の単純収束の位相で連続である。
Y はハウスドルフだから(過去スレ006の264)より L((E_i); F) は F(E, F) の単純収束の位相で閉である。 証明終
180 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 07:38:44
補題 X を集合、 Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。 F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。 Σ と Σ' を X の部分集合の集合とする。
Σ ⊂ Σ' なら、F(X, Y) 上の Σ-収束の一様構造(>>150)は Σ'-収束の一様構造より粗い。
証明 X 上の Σ-収束の一様構造を σ とし、 Σ'-収束の一様構造を σ' とする。
>>155 より、A が Σ の元を動き、V が Y に近縁全体 を動いたとき W(A, V) の有限個の共通部分全体が σ の基本近縁系となる。
W(A, V) ∈ σ' でもあるから σ ⊂ σ' である。 証明終
181 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 10:03:34
>>179 を次のように修正する。
命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間とする。
E = ΠE_i から F への(連続とは限らない) K-多重線形写像の全体は、 F(E, F) の単純収束の位相(>>161)で閉である。
証明 E から F への K-多重線形写像の全体は、F(E, F) の元 f の中で
1) f(x_1, ... , x_i + y_i, ... , x_n) = f(x_1, ... , x_i, ... , x_n) + f(x_1, ... , y_i, ... , x_n)
2) f(x_1, ... , λx_i, ... , x_n) = λf(x_1, ... , x_i, ... , x_n)
という関係をもつもの全体である。
x_1, ... , x_i, y_i, ... , x_n を固定したとき、 1) の両辺は f の関数として、F(E, F) の単純収束の位相で連続である。
同様に、x_1, ... , λ, x_i, ... , x_n を固定したとき、 2) の両辺は f の関数として、F(E, F) の単純収束の位相で連続である。
F はハウスドルフだから、過去スレ006の264より 本命題の主張が得られる。 証明終
182 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 10:07:19
命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間とする。
ΠE_i から F への連続な K-多重線形写像の全体を L(E_1, . . . , E_n; F) または略して L((E_i); F) で表した(>>136)。
E = ΠE_i (1 ≦ i ≦ n) とする。 F(E, F) を E から F への写像全体とする。
L((E_i); F) は有界収束(>>177)の位相で F(E, F) の閉集合である。
証明 E から F への連続とは限らない K-多重線形写像の全体を M(E, F) とする。
>>180 より、単純収束の位相は有界収束の位相より粗い。 よって >>181 より M(E, F) は有界収束(>>177)の位相で F(E, F) の閉集合である。
Σ を E の有界集合全体とする。 (B_Σ)(E, F) を Σ の元を F の有界集合に写すような E から F への写像全体とする。
>>134 より、 L((E_i); F) = M(E, F) ∩ (B_Σ)(E, F)
>>178 より、(B_Σ)(E, F) は有界収束の位相でF(E, F) の閉集合である。 よって L((E_i); F) も有界収束の位相でF(E, F) の閉集合である。 証明終
183 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 10:13:52
命題 >>182 の条件のもとで F が完備なら L((E_i); F) は有界収束の一様構造で完備である。
証明 >>163 より F(E, F) は有界収束の一様構造で完備である。 >>182 より、L((E_i); F) は F(E, F) の有界収束の位相で閉である。 従って、完備一様空間の閉集合として L((E_i); F) は完備である (過去スレ006の250)。 証明終
184 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12:11:05
命題 K を実数体または複素数体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(>>414)とする。 E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間とする。
>>139 より L((E_i); F) は | | によりノルム空間となる。 このノルムによる一様構造は有界収束の一様構造(>>177)と一致する。
証明 E = ΠE_i とおく。 A ⊂ E が有界であるとは、 実数 M ＞ 0 があり、任意の x ∈ A に対して |x_i| ≦ M (1 ≦ i ≦ n) となることである。
任意の M ＞ 0 と ε ＞ 0 に対して W(M, ε) を |x_i| ≦ M (1 ≦ i ≦ n)となる任意の x = (x_i) ∈ E に対して |f(x) - g(x)| ＜ ε となる (f, g) ∈ L((E_i); F)×L((E_i); F) 全体の集合とする。
W(M, ε) 全体は L((E_i); F) の有界収束の一様構造の 基本近縁系である。
任意の M ＞ 0 と ε ＞ 0 に対して、 >>137 より、|x_i| ≦ M (1 ≦ i ≦ n) なら |f(x) - g(x)| ≦ |f - g|M^n よって、|f - g| ＜ ε/M^n なら (f, g) ∈ W(M, ε)
逆に、任意の ε ＞ 0 に対して、(f, g) ∈ W(1, ε) なら |x_i| ≦ 1 (1 ≦ i ≦ n) のとき |f(x) - g(x)| ＜ ε よって過去スレ006の 690 と 692 より |f - g| ≦ ε 証明終
185 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12:15:43
>>184 を K が自明でない絶対値をもつ任意の可換体の場合に証明しようと したが出来なかった。
Bourbaki には出来るように書いてあるが良くわからない。
186 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12:25:12
訂正
>>136 において K が可換でないとき L((E_i); F) は K 上の線形空間に ならない。
何故なら、λ, μ ∈ K, f ∈ L((E_i); F) のとき λf(μx) = λμf(x) は μ(λf(x)) と等しいとは限らないから。
K が可換なら L((E_i); F) は K 上の線形空間である。
187 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12:49:17
命題(Weierstrass) K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 X を集合、 Y を K 上のノルム空間とする。
B(X, Y) を X から Y への有界写像(>>172)全体とする。 >>175 より B(X, Y) は K 上のノルム空間になる。
Y が完備で (f_n), n ≧ 0 を B(X, Y) の点列とする。 Σ|f_n| ＜ +∞ なら Σf_n は B(X, Y) で一様収束する。
証明 >>163 より F(X, Y) の 一様収束の一様構造は完備である。 >>173 より B(X, Y) は F(X, Y) の一様収束の位相で閉である。 よって B(X, Y) は完備である(過去スレ006の250)。 よって、過去スレ006の735より、Σf_n は B(X, Y) において 総和可能である。 よって、Σf_n は X で一様収束する。 証明終
188 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12:55:47
代数的整数論では Haar 測度が効果的に使われる。 準備として、これについて述べようと思う。
Haar 測度についてはその重要性にもかかわらず良書が少ない。 このスレが Haar 測度を理解しようと思っている読者の一助になれば 幸いである。
測度論についてはその基本事項は知っているのが望ましいが、 ここで使用する範囲の事項は述べる。 従って、測度論を知らない読者でもここで述べる範囲の事柄は 理解できると思う。
Haar 測度については次の書物を参考にする予定である。
Hewitt-Roth の Abstract harmonic analysis I, II Bourbaki の積分論 Weil の L'integration dans les groupes topologiques et ses applications 壬生の位相群論概説(岩波書店) Rudin の Real and complex analysis Halmos の Measure theory
189 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12:58:29
定義 X を集合とする
X の部分集合の集合 Φ で空でないものが次の条件を満たすとき、 Φ を集合環(ring of sets)と言う。
1) A, B ∈ Φ なら A ∪ B ∈ Φ
2) A, B ∈ Φ なら A - B ∈ Φ
190 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12:59:06
命題 Φ を集合環とすると次が成り立つ。
1) 空集合は Φ に属す。
2) A, B ∈ Φ なら A ∩ B ∈ Φ
3) A, B ∈ Φ なら A△B = (A - B) ∪ (B - A) ∈ Φ
証明 1) Φ は空でないから A ∈ Φ がある。 A - A は空集合で、Φ に属す。
2) A, B ∈ Φ なら A ∩ B = A - (A - B) ∈ Φ
3) は明らかである。 証明終
191 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 12:59:47
>>190 の A△B = (A - B) ∪ (B - A) を A と B の対称差と言う。
192 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 13:00:46
>>185
K を自明でない絶対値を持つ可換体とする。
t ∈ K を、0＜|t|＜1 なるようにとって固定する。 E_i の単位球を B_i, B=Π B_i とする。(積は、i = 1,・・・,n に関してとる) u,v ∈ L((E_i); F) とする。
|u - v| ≦ ε ならば、任意の 整数 m, 任意の z ∈ |t|^m B に対して、
|u(z) - v(z)| ≦ |t|^{mn} ε
したがって、ノルム | | から定まる L((E_i); F) の一様構造は、
有界収束の一様構造より細かい。
逆に、任意の z ∈ B に対して、|u(z) - v(z)| ≦ a とする。
x_i ∈ E_i, x_i ≠ 0 をとる（ 1 ≦ i ≦ n ）。 整数m(i) を、|t| ≦ |t|^m(i) |x_i| ≦ 1 なるようにとる。 しからば、z = (x_1,・・・, x_n), および z'=(t^m(1) x_1,・・・, t^m(n) x_n) に対して、 |u(z) - v(z)| / Π|x_i| = |u(z') - v(z')| / Π |t|^m(i) |x_i| ≦ |u(z') - v(z')| / Π |t|^n ≦ a / Π |t|^n すなわち、|u - v| ≦ a / Π |t|^n . （） したがって、有界収束の一様構造は、ノルム || で定まる一様構造より細かい Q.E.D
193 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 13:01:12
命題 X を集合とする X の部分集合の集合 Φ で空でないものが集合環であるためには 次の条件を満たすことが必要十分である。
1) A, B ∈ Φ なら A ∩ B ∈ Φ
2) A, B ∈ Φ なら A△B = (A - B) ∪ (B - A) ∈ Φ
証明 必要性は >>190 で証明済みである。
1) と 2) が成り立つとする。
まず、A と B が交わらなければ A ∪ B = A△B であることに注意する。
A, B ∈ Φ なら A - B = A△B ∩ A ∈ Φ
A ∪ B = A△B ∪ (A ∩ B) だから、上の注意より A ∪ B = (A△B)△(A ∩ B) ∈ Φ 証明終
194 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 13:16:59
>>192
有難うございます。
195 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 13:19:28
命題 X を集合とする X の部分集合の集合 Φ で空でないものが集合環であるためには 次の条件を満たすことが必要十分である。
1) A, B ∈ Φ なら A ∪ B ∈ Φ
2) A, B ∈ Φ なら A△B = (A - B) ∪ (B - A) ∈ Φ
証明 必要性は明らかである。
1) と 2) が成り立つとする。 まず A ⊃ B なら A△B = A - B に注意する。
A, B ∈ Φ なら A ∩ B = (A ∪ B) - A△B = (A ∪ B)△(A△B) ∈ Φ >>193 より Φ は集合環である。 証明終
196 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 13:21:38
定義 X を集合とする X の部分集合の集合 Φ が集合環(>>189)で X ∈ Φ のとき Φ を集合代数(algebra of sets)と言う。
197 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 13:22:29
定義 X を集合とする
X の部分集合の集合 Φ で空でないものが次の条件を満たすとき、 Φ をσ-集合環と言う。
1) A_n ∈ Φ, n =1 , 2, ... なら ∪A_n ∈ Φ
2) A, B ∈ Φ なら A - B ∈ Φ
198 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 13:23:15
定義 X を集合とする X の部分集合の集合 Φ が σ-集合環(>>197)で X ∈ Φ のとき Φ を σ-集合代数と言う。
199 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14:20:27
命題 Φ を σ-集合環(>>197) とする。
A_n ∈ Φ, n =1 , 2, ... なら ∩A_n ∈ Φ
証明 A = ∪A_n とおく。
A ∈ Φ であり、各 n ＞ 0 に対して A - A_n ∈ Φ である。 よって ∩A_n = A - ∪(A - A_n) ∈ Φ 証明終
200 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14:25:00
命題 σ-集合環(>>197) は集合環(189)である。
証明 Φ は空でないから A ∈ Φ がある。 A - A は空集合で Φ に属す。
A_1, A_2 ∈ Φ とし、A_n (n ≧ 3)を空集合とする。
A_1 ∪ A_2 = ∪A_n ∈ Φ 証明終
201 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14:39:38
補題 X を集合とする (Φ_i), i ∈ I を X 上の集合環 Φ_i の族とする。
Φ = ∩Φ_i は集合環である。
証明 任意の i ∈ に対して空集合は Φ_i に属すから ∩Φ_i にも属す。 従って、∩Φ_i は空ではない。
Φ が >>189 の 1) と 2) を満たすことは自明である。 証明終
202 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14:40:59
補題 X を集合とする (Φ_i), i ∈ I を X 上の集合代数(196) Φ_i の族とする。
Φ = ∩Φ_i は集合代数である。
証明 >>201 と同様である。
203 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14:42:41
補題 X を集合とする (Φ_i), i ∈ I を X 上の σ-集合環(>>197) Φ_i の族とする。
Φ = ∩Φ_i はσ-集合環である。
証明 >>201 と同様である。
204 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14:43:22
補題 X を集合とする (Φ_i), i ∈ I を X 上の σ-集合代数(>>198) Φ_i の族とする。
Φ = ∩Φ_i はσ-集合代数である。
証明 >>201 と同様である。
205 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14:49:22
命題 X を集合とする。 Ψ を X の部分集合の集合とする。
Ψ を含む最小の集合環が存在する。
集合代数、σ-集合環、σ-集合代数についても同様である。
証明 Ψ を含む集合環の全体を (Φ_i), i ∈ I とする。 >>201 より Φ = ∩Φ_i は集合環である。 Φ が求めるものである。
集合代数、σ-集合環、σ-集合代数についても同様である。 証明終
206 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 14:51:45
>>205 の補足。
X の部分集合全体は、集合環だから Ψ を含む集合環は必ず存在する。
集合代数、σ-集合環、σ-集合代数についても同様である。
207 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 14:57:43
俺は未だに、（有限/完全）加法族、（""/σ/δ）集合（環/代数/体）の 区別が付かない。というか、それぞれの定義に要請される要件が 対称差の代わりに和だったり、文脈で微妙に違うらしいので 混乱する。内容的にはいくつかの条件が定義の要件から出てきて 結果として多くの部分が重なるので、それほど気にしなくても いいのかもしれないが、いつも何かが引っかかる。
208 ：１３２人目の素数さん：2007/08/29(水) 15:05:26
あっそう
209 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/29(水) 15:08:12
>>207 >それぞれの定義に要請される要件が対称差の代わりに和だったり、 >文脈で微妙に違うらしいので
意味が良くわからないんですが。 定義が異なれば、要請される要件も当然違います。
集合環と代数学における環のことを言ってるのでしたら両者はまったく 別ものです。
210 ：1stVirtue ◇.NHnubyYck：2007/08/29(水) 15:23:45
思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く地球から去ったほうが良い。
